Appunti Ingegneria dei sistemi meccanici

Metodo di Newton per la risoluzione di un sistema di equazioni non lineari

(, , ) = 01 {Solitamente bisogna risolvere sistemi del tipo , cercano e (, , ) = 02

Per risolverlo si può utilizzare il metodo delle tangenti (metodo di Newton).

Si conosce il grafico della funzione e, in base ai valori probabili degli angoli (visibili dal problema), si fa un primo tentativo con un valore ,0)( = 0 valutando se 0. Se non lo è sarà presente un resto .0

Il secondo tentativo sarà l’intersezione tra la tangente al grafico in )( e l’asse orizzontale.0

Si procede in modo iterativo finché non si raggiunge una tolleranza (imposta a priori) per il valore del resto.

| | < : L’algoritmo si arresta quando ho trovato la soluzione. ′) ( )( )() ≍ ( + − Si sta approssimando che )( = − = −

L’algoritmo cerca il valore +1 ′ ′( ) ( )

Nei casi limite, ovvero funzione che tende a una retta orizzontale e che tende a una retta verticale, è necessario che anche | |− < la distanza tra due soluzioni trovate in successione si trovi all’interno di una certa tolleranza, quindi che +1 2

Nel caso di funzione in due variabili si utilizza un’estensione del metodo, ovvero il metodo Newton-Raphson.

+1 −1 = = − [ ]

In questo caso si ha un vettore +1 +1 | | < 1

Le soluzioni sono determinate quando | | < 2

Analisi cinematica

L’analisi cinematica può essere svolta con metodi diversi:

• Metodi numerici: man mano che si hanno valori noti li si sostituisce nelle relazioni.
• Metodi analitici: si sottolineano le relazioni tra le grandezze cinematiche; possono essere eseguite le derivate della posizione per trovare velocità e accelerazioni.
• Metodi grafici: non si eseguono i conti e i calcoli, ma si guarda all’evoluzione del sistema.

Questo metodo è basato sull’applicazione del teorema dei moti relativi; il significato fisico dei loop vettoriali riporta al teorema dei moti relativi.

Utilizzo questo metodo se voglio studiare il funzionamento del sistema in una certa configurazione.

Le velocità dipendono dal sistema relativo scelto; esso viene scelto rotante o traslante.

Nei quadrilateri e nei manovellismi si considera il sistema di riferimento posto all’estremità della biella e traslante (in questo modo si annulla l’accelerazione di Coriolis, che è legata alla velocità del sdr relativo).

Si può costruire il “poligono delle accelerazioni” e trovare l’accelerazione di ogni punto del sistema. .

Nel caso del glifo, si considera il sistema rotante centrato in ; in questo moto si vede traslare il punto 2

Il problema inverso (conosco il moto e devo determinare le forze) è formato da equazioni algebriche.

Il problema diretto (conosco le azioni sul corpo e voglio capirne il moto) è formato da equazioni differenziali.

Considerazione sulla cinematica del corpo rigido

Il CIR (centro d’istantanea rotazione) è il punto del corpo rigido che in un certo istante ha velocità nulla; esso dipende dal moto del corpo rigido (può anche essere esterno ad esso).

La posizione del CIR può essere determinata dai vincoli presenti sul corpo rigido.

Se è presente una cerniera, il CIR della trave coinciderà con essa quindi sarà un punto fisso nello spazio.

Nel caso un cilindro ruoti senza strisciamento su un piano, il CIR della ruota sarà nel punto di contatto.

L’andamento della velocità della ruota varia linearmente al variare della distanza dal CIR.

In un istante successivo, il punto che all’istante precedente era il CIR non lo è più ed ha velocità non nulla.

La traiettoria di un punto appartenente al cerchio è una cicloide.

( ), = × − La velocità di un qualsiasi punto è dove è il CIR 0 0

Ingegneria dei sistemi meccanici 292

( ) ( ) = + ̇ − − − ≠ 0 L’accelerazione è invece con 0 0 0 0

L’accelerazione di un generico punto è data dall’accelerazione del centro del cerchio sommata all’accelerazione del punto rispetto al centro.

Note le direzioni delle velocità di 2 punti appartenenti al corpo rigido è possibile trovare il CIR.

L’esistenza di un CIR e la sua posizione sono spesso dovute ai vincoli che agiscono sul corpo.

In caso contrario è necessario trovarlo: esso si trova nel punto di intersezione tra le perpendicolari alle velocità di due punti del corpo rigido.

Per trovare la velocità angolare di un punto è necessario dividere la sua velocità per la distanza tra il punto e il CIR.

La posizione del CIR può variare nel tempo.

Il CIR è il punto rispetto a cui si calcolano le velocità, ma non quello rispetto a cui si calcolano le accelerazioni; l’accelerazione del CIR è non nulla (mentre la sua velocità è nulla).

Bisogna cercare un altro modo per calcolare le accelerazioni: per farlo si utilizzano le polari, ovvero i luoghi dei punti di istantanea rotazione visti tramite i sistemi di riferimento relativi.

Per capire il moto relativo tra due corpi ci si mette dal punto di vista di uno d