Appunti Geometria e algebra lineare

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

1. Numeri complessi

z = x + iy

proprietà di somma e prodotto

modulo di z: |z| = √(x² + y²)

coniugato di z: z̅ = x - iy

inverso di z: 1/z = z̅ / |z|²

Proprietà di modulo e coniugazione

|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

z̅₁ · z̅₂ = z̅₁ · z̅₂

z̅₁ + z̅₂ = z̅₁ + z̅₂

ARGOMENTO DI z: l'angolo formato dal segmento congiungente z con O e la direzione positiva dell'asse x misurato in senso antiorario se l'angolo appartiene a (-π, π] è detto ARGOMENTO PRINCIPALE (arg(z))

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FORMULA TRIGONOMETRICA DI z

z = |z| (cosθ + isinθ)

zⁿ = e^iθ (cos(nθ) + isin(nθ))

modulo di z (rho)

FORMA ESPONENZIALE DI z

z = ρe^iθ = ρ (cosθ + isinθ)

LE RADICI DEI NUMERI COMPLESSI

zⁿ = a se e º {0}

z = ρe^iθ

w₀ = √̅n ρ eⁱ

2. MATRICI

matrice m × n → m righe n colonne

OPERAZIONI:

• (A+B) = a_ij + b_ij
• (λA)_ij = λa_ij

Valgono le stesse proprietà illustrate per i n. complessi

(A·B)_ij = Σ_k=1 a_ikb_kj

solo se a (m×n) e B (n×p)

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

1. numeri complessi

z = x + yi

proprietà di somma e prodotto

• el. neutro (somma e prodotto)
• opposto (somma)
• associativa (somma e *)
• commutativa (somma)
• inverso (prodotto)
• distributiva

modulo di z: |z| = √(x² + y²)

coniugato di z: _- z = x - yi

inverso di z: _-1z = _z/^|z|2

Proprietà di modulo e coniugazione

• |z₁| = |z₂|
• z₁ * z₂ = |z₁| * |z₂|
• |_-z₁| = |z₁|
• z₁ + _-z₂ = z₁ - z₂

ARGOMENTO di z: l'angolo formato dal segmento congiungente z con O e la direzione positiva dell'asse x, misurato in senso antiorario.

Se l'angolo appartiene a [-π, π[ è detto ARGOMENTO PRINCIPALE

• arg(z₁ * z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• arg(_-z) = - arg(z)
• arg(_-z₁) - arg(z₂)

MODULO multipli interi di 2π

• arg(z₁) + arg(z₂)

FORMA TRIGONOMETRICA di z

z = |z| (cosθ + isenθ)

zⁿ = eⁱ(cos(nθ) + isen(nθ))

modulo di z (rho)

FORMA ESPONENZIALE di z

z = ρ^eiθ = ρ(cosθ + isenθ)

LE RADICI DEI NUMERI COMPLESSI

z² = ρ^iθ ∈ C\{0}

z = ρe^iθ

• Wo = √ρe^{i_{θ + 2kπ}}

z = √ρ^{ei_{θ + 2kπ/i}}

2. MATRICI

matrice m x n → m righe n colonne

OPERAZIONI:

• (A + B)_ij = a_ij + b_ij
• (λA)_ij = λa_ij

Valgono le stesse 8 proprietà illustrate per i n. complessi:

• (A * B)_ij = Σ_k=1ⁿ a_ikb_kj

...vale la proprietà associativa: A(B * C) = (A * B)C

matrice identica di ordine n(I)_ij = δij = {^{1 i=j0 i≠j}} e.s. I₃=diagole principale

A ∈ M (n x n, 1ℂ)Im: A ≡ A

matrice quadrata: A ∈ M (n x n, 1ℂ) ⇔det (A) → determinante di A se n = 3 : A = (a_ij) ⇒ det (A) = a₁₁

det A = ...(-1)^i+j a_ij where a_ij is the determinante della matrice (n-1) x (n-1)che si ottiene da A eliminando lo prima rige i a-j-esina colonaFISSATO -det A = (–1)^i+j a_ij

A ∈ M (n x n, 1ℂ) si define tracia di A trace (A) = = somma dell’egli elementi sulla diagonale della matrice

A ∈ M (m x n, 1ℂ) = T^{trasposta di A} =Sommatrica A = A^t simmetrica se A = - A^tantisemimettica se A = - A^t

A ∈ M (m x n, 1ℂ) e^triangol