Appunti Fondamenti di scienza delle costruzioni

PLV

im            in            su            s.u

             in         s.u             su deltamu Omega :

es. elem.

in domenio vincolato

forma di restitutione

                      H  

es.

termed.  

termo nulla x termo limita to = 0

LEGAME COSTITUTIVO DI GREEN ( materiali iperelastici )

en. restituita

(V) =            

energia di deformazione

μ

-&partial;P Σ

P

Ω

μ &partial;Σ

-&partial;P Σ

σ_ij,j + b_i = 0

in Σ

σ_ij = σ_ji

in Σ

ε = ε

μ Σ: ε

su &partial;P Σ

-σ_mn

= p^p

μ &partial;μ Ω

; μ =

∮

σ_ij ε_ij

dV = ∫

Σ

σ_ij ε_ij dV

= ∫

&partial;Σ

σ_ij ε_ij dA

n_i μ_i dA

Σ

Σ

= Σ

&partial;Σ

&partial;σ_ij

m_i^j dV + Σσ_ij ε_ij m_i, dA +

Σσ_ij m_i dA

Σ

Σ

Σ

Σσ_ij m_i dV + ΣΣ

ΣΣ

ΣΣΣ m_i

dA

-ΣΣ

xi

ΣΣ

= Σ

σ_ij m_i dA

g maxi tributo

= Σ

Σσ_ij

dA

∂ r

σ_ij x_j • ω

+ ∑

σ_ij z

-≡≡≡

limiti

= 0

σ_ij

= μ_ij^k ε_ka

σ = [ε

y³

monomotosio

Ζ

∑         

00

LE GAME COSTITUCIÓN DI GRE μ N ( materiali éperolici )

ω[ω]

ω

Σ

∑

ω

∑    

=

ω[ p ] ¹ &sub2;

σ

σ⁽ g)",

-λω

Ζ

-

μ_esodio e de fatazione

-σ_{qq = f ≡ ≡}

ω:

= ∑(:

ö:

∂μ

ΣΣ

p&

ω^m∑

-

ω””

≡≡≡≡≡ε∂

-≡≡

≡≡≡≡≡&lDa;≡

ω

-

≡≡≡≡≡≡σnaticmaniara

T^er

W^* = ∫ξ∈S⁰ ⇒ ϕ^*(ξ*) = ϕ*(ξ)

ψ = ∂ϕ^* / ∂ξ*

Maguglismo di Legendre.

γ(ξ) + ϕ*(ξ*) = ξ · ξ*

γ(ξ) = ξ∈E⁰ ⎢Taylor

γ(ξ) = ξ∈E_E→0 ⎢⎢ϕ(ξ)_k + ₁/₂ ⎢ _∂²ϕ/_∂ξi∂ξk ⎢ _ξi=0⎢ _ξk=0 ( C_ijkl = ξ_k )

⎢⎩_{. . . .} ψ(ξ) ≅ ₁/₂ ∂²ψ ⎪_∂ξi∂ξk (C_ijkl = ξ )

σ_lm = ₁/₂ (C_limk ξ + C_limk ξ) → ϕ_i = ₁/₂ C_lm ξ_l + ξ_i,lim ξ

C_ijkl → simmetric primi → 81 = 36 → 21 premi

E_ij = ∂ϕ* / ∂σ_ij = D_ij ℵ_ik

Q^σ → [σ₁ σ₂ σ₃]_interno → – _minc – _ciazade

ϕ(σ_ij) = ₁/₂ (D^*_111iσ_ij + D_111iσ_ij²)

+ D^*_121i σ_iσ₃

= ₁/₂ (D_1111^* σ² + D^*₃₃₃₃σ² + D^*₂₂₂₂

= ↬

Consider ISOTROPIA

D₁₁₁₁₁₁ D₃₃₃₃₁₂ D₃₃₃₃₁₃︠⎩dred

D_ijkl = modulus di →– _form– _1/^E = _casdi^Rama?

ϕ* = ₁/_2σ C_{11, C²} = ∑(O, 1, 2) ϕ(_{σ？ sigma}

J_2σ² = ⑬₂ϕ_3ξ

= _1/2 C₃₃₃₃ σ J₃ =^B(){

– ϕ* = ₁/_2σ (J) 2 (2σ)

E₁₂₃ = ^{∂ ϕ * (J₃₁)}/_{∂ J1} + ^{∂ ϕ *}/_{∂ J2} + ^{∂ ϕ *}/_{∂ J3} + ^{∂ J₃}/_{∂ σi} =

E₁₁ = ¹/_E ( σ₁₁ + (ν/E)* (σ₁₁ + σ₃₃)) = 1 -(1-2 ν) (σ₂₂ + σ₃₃)

E₁₂ = ¹/_E (σ₁₂ - ν (σ₁₁ + σ₃₃))

E₃₃ = ¹/_E (σ₃₃ - ν (σ₁₁ + σ₂₂))

E₂₃ = ^{2 (1+ν)}/_E σ₂₃

E₁₃ = ^{2 (1+ν)}/_E σ₁₃

γ₁₂ = 2 E₁₂ = ^{2 (1+ν)}/_E σ₁₂

¹/_G → G = ^E/_{2 (1+ν)} modulo di elasticità tangenziale (G)

φ^*= ¹⁄_2ϵ (σ₁² + σ₂² + σ₃² - 2ν (σ₄υ₃ + σ₁υ₃ + σ₂ε₃))

= ¹⁄_2ϵ [σ₁ -ν˩ -νφ₁ υ₁]

= [-ν 1 -ν] ⁄_2ϵ [σ₁ σ₂ σ₂ υ₃

4

φ^*(ε) > 0   A definita positiva

φ(ϵ) > 0

¹⁄_2ϵ > 0

-1υ² > - (1-ν) (1+ν)&υ₀ ^>-1

-¹⁄_x   -1

1   +

=>-¹⁄_2ϵP(ϵ)

-1-2ν+ν^22⁄(1+υ) (4+1-ł)0 >

• Oυ
• ν<

ϵ₂ > 0

-1ν