Appunti Fondamenti di informatica teoria - virgola mobile

Numeri in virgola mobile

Rappresentazione normalizzata dei numeri reali

In generale qualunque A può essere rappresentato da:

• S = segno di A (con la convenzione: 0 rappresenta + e 1 rappresenta -);
• M (mantissa) = cifre significative di A, rappresentate in una forma normalizzata; se sono le cifre utilizzate e B è la base del sistema di numerazione, l’intervallo di variabilità della mantissa in valore assoluto è: 1/B < M < 1;
• L’esponente (E) a cui bisogna elevare la base B per ottenere il fattore per cui moltiplicare la mantissa per ottenere A.

EA = S 0.M x B

1758.37 = 0.175837 4×10

• S = 0, M = 175837, E = +4
• -0.001 = -0.1 -2×10
• S = 1, M = 100000, E = -2
• 11 = 0.1×10
• S = 0, M = 100000, E = +1
• 45000 = 0.5×10
• S = 0, M = 500000, E = +4

Rappresentazione in virgola mobile

Per una rappresentazione effettiva si conviene di:

• Eliminare i simboli ridondanti;
• Fissare la lunghezza della mantissa;
• Fissare la lunghezza dell’esponente;
• Utilizzare per l’esponente una convenzione che permetta di rappresentare numeri positivi e negativi senza l’indicazione esplicita del segno (completo alla base o tecnica dell’eccesso, sommando una opportuna costante);
• Disporre gli elementi rimasti (segno, esponente, mantissa) in un ordine convenzionale.

Quindi il numero A viene rappresentato nella notazione in virgola mobile dalla sequenza: S E M

Esempi di formato dei dati numerici in virgola mobile

• Numeri reali in singola precisione: 32 bit (1 per il segno, 8 per l’esponente, 23 per la mantissa);
• Doppia precisione: 64 (1, 11, 52).

In singola precisione l’esponente varia quindi tra -128 e +127. Si parla di dinamica per descrivere l’intervallo dei numeri rappresentabili (dipende dal numero di bit dell’esponente): –2¹²⁷ < N < 2¹²⁷.

La mantissa di 23 bit permette di rappresentare numeri con circa 7 cifre decimali significative.

Per valori superiori a 10³⁸ o inferiori a -10³⁸ si parla di overflow (esponente positivo troppo grande, cioè > 127).

Per valori inferiori al minimo numero positivo rappresentabile (= 0) o superiori al massimo numero negativo rappresentabile si parla di underflow (esponente negativo troppo piccolo, cioè < -128).

Passi per ottenere la rappresentazione binaria

• Trasformazione in binario;
• Normalizzazione;
• Memorizzazione.

Riepilogo

• Conversione da base 10 a binario in virgola mobile;
• Conversione parte intera;
• Conversione parte frazionaria;
• Normalizzazione;
• Rappresentazione sul numero di bit.