Appunti Fondamenti di Informatica teoria - sistemi di numerazione

Sistemi di numerazione

Tutto ciò che può essere rappresentato all’interno di un calcolatore è informazione. Esempi includono:

• Numeri
• Caratteri, parole e testi
• Comandi (istruzioni) e sequenze di comandi (programmi)

La rappresentazione più semplice

I I I I ..... Poco rappresentativa; difficoltà di memorizzazione.

Numeri romani: I, II, III, IV, V, VI, VII, ..... 1997 > MCMXCVII

Problemi di utilizzo nelle operazioni e nella rappresentazione di numeri “grandi”.

Rappresentazione dei numeri nei calcolatori

L’unità minima di informazione nei calcolatori è il bit. Il bit corrisponde ad un sistema fisico dotato di stati stabili: passa/non passa corrente, tensione alta/bassa, etc.

• I calcolatori si basano sul sistema numerico binario (cifre 0 e 1).
• Si utilizza cioè un insieme di bit per rappresentare i numeri. Il numero di bit utilizzati è generalmente un multiplo di 8 (cioè si utilizzano 1, 2, 4, 8 byte).

Sistemi di numerazione

Rappresentazione di numeri interi

• Si sceglie una base β.
• Si scelgono β simboli che rappresentano i numeri da 0 a β-1 (cifre).
• I numeri sono rappresentati dai coefficienti del polinomio per le potenze della base.

La rappresentazione è posizionale poiché il peso associato alla generica cifra A_i dipende dalla posizione di A_i. Es: 3 2 1 0₇₅₈₂₁₀ = 7•10³ + 5•10² + 8•10¹ + 2•10⁰

Rappresentazione dei numeri nei calcolatori

b b b b b b b b_{7 6 5 4 3 2 1 0}

• Si consideri un byte (8 bit). Un byte permette di rappresentare 2⁸ stati differenti; può, pertanto, memorizzare 256 diverse configurazioni corrispondenti ai primi 256 numeri naturali (0-255).
• Nella rappresentazione in valore assoluto: N = b₇•2⁷ + b₆•2⁶ + b₅•2⁵ + b₄•2⁴ + b₃•2³ + b₂•2² + b₁•2¹ + b₀•2⁰ = 001001₂ N = 37

Sistemi di numerazione

Sistemi di numerazione: ottale

Sistemi di numerazione: esadecimale

Sistemi di numerazione: esempio conversione dalla base A nella base B

Per la parte intera: dato un numero in una base A (es. 10), si vuole rappresentarlo in base B (es. 2), cioè: N_A = N_B + B² + B³ N_A = x₀ + Bx₁ x₂ x₃ + ... à 52 110100 x₅x₄x₃x₂x₁x_{010 2}

N_A = x₀ + B(x₁ + B(...B^s)...) = x₀ + BQ₁

Se dividiamo per la nuova base B, otteniamo un quoziente ed un resto R. N_A = Q₁

Uguagliando: N_A = R + BQ₁ = x₀ + B(x₁ + B(x₂ + ...)) da cui: x₀ = R (resto della divisione) (x₁ + B(x₂ + ...)) = Q₁ (quoziente)

Iterando il procedimento con Q₁ al posto di N_A, si ottengono tutti i coefficienti del polinomio nelle potenze di B, cioè è la codifica di N_A nella nuova base, e quindi N_B.

Conversione di base: riepilogo

• Base B a base 10; Interi e frazionari calcolo polinomio.
• Da base 10 a base B; Interi divisioni per B, i resti sono le cifre del numero nella base B. Frazionari

Conversione di base: numeri frazionari

Conversione di base

Per la parte frazionaria: Dato un numero in una base A (es. 10), si vuole rappresentarlo in base B (es. 2), cioè: B^-1x^-1 B^-2x^-2 B^-3x^-3 B^-4x^-4 + ...

F_A = F_B = B^-1x^-1 + B^-1(x^-2 + B^-1(...B^-1x^-r)...) = + +

Se moltiplichiamo F_A per la nuova base B, otteniamo una parte intera I ed una parte frazionaria F₁. Uguagliando: B^-1• B = x^-1 + B(x^-2 + B(...B-r)...) = I + F₁

da cui: x^-1 = I B^-1(x^-2 B^-1(...B^-1x^-r)...) = F₁

Iterando il procedimento con F₁ al posto di F_A, si ottengono i...