Appunti Fluidodinamica

La posizione della linea di azione della forza di galleggiamento determina la stabilità

Il punto di applicazione di Fb è il centro di massa del volume sommerso.

• Nel caso a sinistra, la coppia tende a raddrizzarlo.
• Nel caso a destra, la coppia tende a rovesciarlo.

La ρ del corpo è una ρ media. Concettualmente possiamo concludere che a seconda delle forze che si generano il corpo potrà risultare stabile o meno, inoltre il corpo potrebbe rimanere dov’è, galleggiare o altro.

Se la ρ del corpo è uguale alla ρ dell’acqua rimarrà lì, se ρ del corpo è inferiore galleggerà, mentre se ρ è maggiore tenderà ad affondare, e in particolare affonderà con una determinata velocità.

Fondamentale per la determinazione di ciò, oltre alla ρ, è il volume del corpo dal quale dipenderà l’equilibrio o meno tra la forza peso e la forza di galleggiamento (infatti se ρ del corpo è inferiore, fuoriuscirà dall’acqua un volume tale da far sì che il volume immerso generi una spinta in grado di mantenere l’equilibrio tra le due forze). Nel caso invece che il corpo affondi, la velocità con cui scende il corpo sarà legata alla forza di resistenza (dipendente dalla forma del corpo). La velocità aumenterà finché la forza di resistenza non bilancerà la forza verso il basso e quindi non vedremo più un aumento di v.

In generale come già detto possiamo parlare anche di stabilità o meno, ovvero se poniamo un corpo in acqua in una determinata posizione, il corpo mantiene la posizione o no?

Per verificare la stabilità diamo al corpo una leggera inclinazione e verifichiamo se la coppia che si sviluppa è una coppia tale da riportare il corpo in posizione (1) o da ribaltarlo (2).

Di grande influenza a questo proposito è la posizione del baricentro del volume del corpo immerso. Nel primo caso la quota z del CG coincide sostanzialmente con il pelo libero. Altro fattore fondamentale è la larghezza del corpo, più è largo e più la forza di galleggiamento sarà spostata verso l’esterno (barche). Un corpo con stessa larghezza e CG più alto si ribalterà.

Quindi la stabilità di un corpo sarà dovuta alla posizione del baricentro e alla forma del corpo stesso; in generale potremo giocare su questi aspetti per influire sulla stabilità:

• Se il punto di applicazione di Fg è sotto a quello di Fb ∼> Stabilità di peso;
• Se non si verifica la precedente condizione su Fg e Fb possiamo comunque trovare la stabilità aumentando la larghezza del corpo ∼> Stabilità di forma.

Esempi

Stabilità di forma

Consideriamo ad esempio una petroliera, a seconda che sia carica o scarica varieranno molto le condizioni di stabilità, quando è carica lo scafo sarà quasi del tutto immerso. Le petroliere come le navi container sono talmente larghe che la larghezza garantisce la stabilità (di forma) anche quando sono scariche e quindi si ha un innalzamento di CG.

Aspetto costruttivo fondamentale è il pescaggio massimo della nave, la nave può infatti talvolta poggiare su un piano, si ha infatti un rialzamento della parte di poppa per garantire che timone e eliche siano immerse anche in condizioni di pescaggio massimo.

Per imbarcazioni di grandi dimensioni la stabilità di forma è raggiunta grazie all’elevata larghezza dell’imbarcazione. Nella maggior parte dei casi, per imbarcazioni di piccole dimensioni, si ottiene stabilità di forma mediante l’aggiunta di bumps (allargamento dello scafo).

Stabilità di peso

Si raggiunge spesso mediante l’aggiunta sotto lo scafo di un contrappeso solitamente in piombo (bulbo) avente una massa diverse volte maggiore a quella dell’imbarcazione stessa (barche a vela, da competizione, barche pilota, ecc..).

16 So che quello che entra deve anche uscire,

Conservazione della massa

1. Conservazione della massa: → non ho variazione di m.

- ../® ®.Ø à¥µ%%µ 0123¥(= = =0f K.# .# .# .Ø 6%±%'(¥µ .1$= å . ./ + “ .+##$ ∙ = 0.£ 6 .# 6#á.1$= å i ../ + “ i.+##$ ∙f EÀ; ÀÇ.# 6# K%±%'(¥µ À; ÀÇ integrale di Ø=£ e i=1 Ü superficie del volume di controllo

L’equazione ottenuta si chiama equazione di continuità, casi particolari:

Fluidi incomprimibili

. = costante:

1.1. Fluidi incomprimibili, 6 6/.1$ .1$. å ./ + . “ +##$ ∙ = 0 → +“ +##$ ∙ = 06# 6#À; ÀÇ ÀÇ

Regime stazionario

1.2. Regime stazionario (volume di controllo indeformabile di dimensione e Ÿ = 0: forma fissa), Ÿ6 .1$“ +##$ ∙ = 0ÀÇ

Velocità uniforme

1.3. Velocità uniforme a ciascun ingresso ed uscita:.1$+##$ ∙ = 0⁄ Nel caso di flussi mono ÀÇ dimensionali l’integrale di superficie si trasforma in un

Portata volumetrica

1.4. Portata volumetrica: integrale con i rispettivi segni (+ se esce e - se entra).

1$/ø = å +##$ ∙ →@

Velocità media

1.5. Velocità media: esprime la relazione esistente tra velocità e (nel caso di flussi /ø portata. Una volta monodimensionali) 1 .1$ definita la sezione +##$ = = å +##$ ∙^ 1 1 possiamo trovare con @ l’equazione di continuità la velocità del flusso nel volume di controllo

21 le forze che agiscono sul nostro sistema sono bilanciate dalla

Seconda legge di Newton

2. Seconda legge di Newton: → variazione della quantità di moto

#$ +##$ .- +##$ ../® ®.Y à4$ ¥µ%%µ 0123¥(= ª = = K.# .# .#%±%'(¥µ K #$.Y 64$ 4$ 4$

Forza risultante: = + .1$ª = å +##$ ../ + “ +##$.+##$ ∙zc0123¥(d Çc%3›(fifl±‡±(d .# 6#á.£ 6 À; ÀÇ%±%'(¥µ.1$f = å i ../ + “ i.+##$ ∙ K.# 6# teK%±%'(¥µ À; ÀÇ#$Y = £ e i = +##$ Ü risultato dell’applicazione del teorema del trasporto alla quantità di moto; considerando l’approccio euleriano abbiamo che la variazione della quantità di moto che non è altro che la

Poiché si ha: risultante delle forze agenti sul volume di controllo; conoscendo la forza posso vedere come varia la quantità di moto?

#$.Y4$ = ª 6.# .1$4$ 4$ 4$= + = å +##$ ../ + “ +##$.+##$ ∙‚ z Ç%±%'(¥µ 6# À; ÀÇ4$ 4$ ctempo d= #· · /%±%'(¥µ 0‡

Flusso uniforme

2.1. Flusso uniforme con un solo ingresso ed uscita: Questo, da un punto di vista pratico, lo possiamo andare Mmmad esplodere prendendo in 6 considerazione più nel .1$4$ 4$ 4$= + = å +##$ ../ + +##$.+##$ ∙⁄ dettaglio le forze che sono la z Ç 6# ÀÇ forza di volume e la forza di À; superficie

Nella meccanica dei fluidi la forza di volume è generalmente la gravità:

{$ = Accelerazione di gravità4$ ###$å „= .{$ ./ = o = Ø{$z À; ###$ ëo = Peso istantaneo dell intero volume di controlloÀ; À;

In molte applicazioni la forza di superficie è causata dalla pressione:

in caso di assenza di sforzi di taglio le forze di superficie sono ricavabili attraverso mmm la pressione; c’è il segno - perché la pressione agisce verso l’interno del nostro .1$4$ = å o|corpo mentre noi abbiamo scelto come verso positivo quello uscente. Questo ci Ç consente di sviluppare la parte delle forze di superficie ed avere relazioni @ importanti tra variazione della quantità di moto e variazione delle forze z{|

Spesso scriviamo le componenti delle forze rispetto al sistema di riferimento:

•694$ .1$4$ 4$= + = å % ../ + “ % .+##$ ∙G z ÇG G 6#K À; ÀÇ% K4G 6•4$ )4 .1$4$ 4$ 4$= e +##$ = ⟹Â Ê É Ñ = + = å ) ../ + “ ) .+##$ ∙H H z ÇH H 6#8Á4 À; ÀÇI K 6OK .1$4$ 4$ 4$= + = å Á ../ + “ Á .+##$ ∙I zI ÇI 6#7 À; ÀÇ

molto spesso tratteremo flussi stazionari, di conseguenza si elimina la componente dipendente dal tempo e mai 22 -di conseguenza è piuttosto intuitivo comprendere la relazione tra la variazione della quantità di moto (quindi della velocità) e la variazione della sezione.

Primo principio della termodinamica

3. Primo principio della termodinamica:

.æYø oø f ào = .# K%±%'(¥µ Kæ=å åm .- = m. ./ K .æ 6 .1$¿c%±%'(¥µd ;c%±%'(¥µd f å “= m ../ + m.+##$ ∙.# 6#á.£ 6 %±%'(¥µ À; ÀÇ.1$f å “= i ../ + i.+##$ ∙ K.# 6#%±%'(¥µ KÀ; ÀÇ tó) K risultato dell’unione tra primo principio della £ = æ e i = m = % + + {| Ü2 termodinamica e il teorema del trasporto; variazione di energia per il nostro volume di controllo, l’unico problema è che si tratta di una equazione non

Dunque si ha: spendibile perché non sappiamo a cosa è riferito questo T.

.æ 6Yø .1$oøo = = å m ../ + “ m.+##$ ∙f.# 6#%±%'(¥µ À; ÀÇoø

Nota bene: I termini sono valutati positivi quando il lavoro è fatto dal volume di controllo sull’esterno. Esso è suddiviso in quattro termini:

non si tratta infatti solo del lavoro sull’asse del motore, ma il lavoro di tutte le forze che compiono un determinato spostamento oø oø oø oø oø= + + + , cioè:]c¥(‡‡µË±‡1d Èc'(Ë%±1˱ Ë1fi¥µ2±d Íc'(Ë%±1˱ α 'µÏ2±1d µ2'fi1

oø① : Lavoro prodotto dalla turbina a vapore (positivo) ed il lavoro ]c¥(‡‡µË±‡1d4 speso per azionare un compressore (negativo).

È il lavoro che a noi interessa, quello applicato sull’asse del motore, ovvero lo .1$oø :② Per un elemento di area , possiamo scambio di energia meccanica con l’esterno Èscrivere un’espressione per lo sforzo normale.

4$ , che sarà dato dalla tensione normale Ë1fi¥µ2? moltiplicata per l’elemento vettore area 55.1$ (normale alla superficie di controllo), quindi la variazione del lavoro sull’elemento di area vale: .1$.4$ ∙ +##$ = ? ∙ +##$Ì 55-

Potenza infinitesima delle forze di tensione normali.

Dal momento che il lavoro esterno sul confine al volume di controllo è opposto di segno rispetto al lavoro fatto sul volume di controllo, la variazione totale del lavoro esterno al volume di controllo a causa degli sforzi normali vale:

.1$ .1$oø = o “ ? ∙ +##$ = o “ ? +##$ ∙Èc'(Ë%±1˱ Ë1fi¥µ2±d 55 55ÀÇ ÀÇ

23 Lavoro che il sistema fa sull’esterno

oø③ : Riprendendo la figura precedente, si nota che la forza di Íc'(Ë%±1˱ α 'µÏ2±1d taglio agente su un elemento di area della superfice di controllo è data da:

E$.1$ .1$y.4$ = wE$ = sforzo di tagio agente in una direzione sul piano Ó

Dal momento che il lavoro esterno sul confine al volume di controllo è opposto di segno rispetto al lavoro fatto sul volume di controllo, la variazione totale del lavoro termine dovuto alle superfici in esterno al volume di controllo a causa degli sforzi tangenziali vale: rotazione (l’asse), nel nostro caso (possiamo suddividere il lavoro relativo agli sforzi di taglio in tre termini) potrebbe essere un’elica mediante la quale estraiamo lavoro (turbina)

##$.1$ ##$.1$ ##$.1$ ##$.1$oø “ “ “ “= o E$ ∙ + = o E$ ∙ + o E$ ∙ + o E$ ∙ +Í ÀÇ @c¥(‡‡µË±‡1d %3›(fifl %12Î ±ËÏfi(%%1/3%‡±'µ+##$ = 0,

Abbiamo già calcolato il primo termine. Sulle superficie solidi, la velocità ÷ quindi il secondo integrale è nullo. Dunque: importante considerazione concettuale, anche se c’è ne teniamo già di conto nel Ws , sforzo di taglio, sulle superfici solide il lavoro è nullo (meccanico) quindi non lo contiamo nuovamente ##$.1$oø = o “ E$ ∙ +Íc'(Ë%±1˱ 'µËÏ(Ëü±µ2±d ±ËÏfi(%%1/3%‡±'µ

Questo termine vale zero se scegliamo una superficie di controllo che attraversa .1$ +##$. E$ ciascun ingresso perpendicolare al flusso, allora è parallelo a Dato che è sul .1$ E$ +##$, piano , è perpendicolare a quindi per una superficie di controllo +##$: perpendicolare a se scegliamo opportunamente oø le nostre superfici (e quindi il E$ ∙ +##$ = 0 ⟹ = 0Í volume di controllo), anche questo contributo scompare

oø④ : Dovuto all’energia elettrica od elettromagnetica. µ2'fi1

Unendo i quattro termini si ottiene: .1$oø oø oø= o “ ? +##$ ∙ + +]c¥(‡‡µË±‡1d 55 Í µ2'fi1ÀÇ

Sostituendo nel primo principio della termodinamica: 6Yø .1$ .1$oø oø oøo + “ ? +##$ ∙ o o = å m ../ + “ m.+##$ ∙]c¥(‡‡µË±‡1d 55 Í µ2'fi1 6#ÀÇ À; ÀÇ

Per far sì che l’equazione dell’energia sia spendibile è necessario che non siano presenti sforzi di taglio, quindi dobbiamo scegliere un volume di controllo vantaggioso

24 siamo quindi riusciti, assumendo di scegliere bene il nostro volume di controllo, ad ottenere una forma compiuta dell’equazione dell’energia in cui sono effettivamente presenti solo i I termini di nostro interesse

cioè: 6Yø .1$ .1$oø oø oøo o o = å m ../ + “ m.+##$ ∙ o “ ? +##$ ∙]c¥(‡‡µË±‡1d Í µ2'fi1 556# À; ÀÇ ÀÇ

Dato che:1 .1$ .1$c).= ⇒ .) = 1 = volume specificod ⇒ “ ? +##$ ∙ = “ ? .)+##$ ∙55 55) ÀÇ ÀÇ

Abbiamo che: 6Yø .1$oø oø oø cmo o o = å m. ./ + “ o ? )d.+##$ ∙]c¥(‡‡µË±‡1d Í µ2'fi1 556# À; ÀÇ

Quindi il nostro σ adeguatamente riorganizzato, non? ≈ o|: nn Per i fluidi comuni: -55 va altro che a costituire al lavoro di pulsione

6Yø .1$oø oø oø cmo o o = å m. ./ + “ + |)d.+##$ ∙]c¥(‡‡µË±‡1d Í µ2'fi1 6# À; ÀÇ_Úm = % + + {|,

Sostituendo: otteniamo il primo principio per un volume di ó controllo: lavoro di pulsione (in un sistema aperto, o in un volume di controllo entra ed esce della massa con una determinata velocità e ad una determinata pressione)÷

Equazione di Bernoulli

-# ,Ûø Ùø Ùø Ùø ##$å “ *+o o o = %& '( + + + ./ + 012 &,###$ ∙ '3ıcˆ˜¯¯˘˙˚¯¸d ˝ ˘˛!"¸ #$ -)( )4

nel caso di fluidi incomprimibili la variazione di v diviene molto piccola quindi vediamo che questo termine non è altro che il trinomio di Bernoulli, quindi

3.3 Equazione di Bernoulli: l’equazione dell’energia (in condizioni di assenza di attrito) non ci dice altro che le 1 stesse cose del trinomio di Bernoulli, con la differenza che l’equazione dell’energia, pur non avendola scritta esplicitando le τ, contiene gli effetti di esse (attriti —> causa.

se conosco la Vs posso trovare m=Vs A;. delle irreversibilità). Nell’equazione di Bernoulli abbiamo assunto in partenza le τ=0, conoscendo la distribuzione di velocità progetto-in questo caso abbiamo invece soltanto ipotizzato di considerare un volume di