Appunti Fluidodinamica 1

Lezione 13

Riscriviamo un attimo l'equazione di Navier-Stokes con al posto della viscosità il reciproco del numero di Reynolds, e usando la densità ad un modo vettoriale:

_∂^u~/_∂t + U∙^∇ou~ = -∇^p~*-¹/_Re ^∇2u*~_~

Che noi abbiamo detto spesso, non possiamo trascurare i termini viscosi quando Re _∈ e nello assoluto non possiamo trascurare i termini visosi, fesso nessare possibile portiamo a questo punto convilsa più soddisfacente le equazioni di Eulero, mutismo deve quello di NUVIER-STOKES e tra ciò non è sempre possibile.

Ficciando ci utilizzeremo prendendoci in valutante il legame tra vorticità e senza riscolsi se persi di scrivodes le equazioni di N-S.

Da una pate di vista toluse a sfruttando l'inscrivibilità (cioè ∑∙u~ = 0) resima a nostri eazioni scritte di colto sono la stessa cosa:

(La distorsione non la fa)

_∂^u*/_{∂t + u∙∇^oa^*★ - ∇^p/p + μ ∇^aω~* = D di u$\omega=$vettoriala} ^ω~ = ^{∇×u̅ ∇2 = LAPLACIANO}

Puosiamo notave che se ipotioms u~ = costante l'equazione di Euler, se Re = 0 gli spazi visosi sono nulli o costanti.

Ciò significa che dunque ipotica cambro sui termini visosi, implicimavor siano ipotizzanzo qualcosa sulla viscosità.

Oora, vediamo una tecnunica che ci ferumette di fare delle considerazioni sulla vorticità e sul suo effetto.

Per chiudere questo tenchio racconta prima parte della circolazione (chi è avosttra) su una linea chiosa in un liste non pot resissu almene terriminares ci dov e un vening in controlo!)

^CIRCOLAZIONE →M₀={_{∍→ u̅ ⨝↓}}

Lezione 23

Riscriviamo un attimo l'equazione di Navier-Stokes con al posto della velocità il reciproco del numero di Reynolds, essendo la densità d in modo vettoriale:

∂_*/∂t_* + ^* · ∇^** = - ∇^*p^* - (1/Re) ∇^*²^*

Certo abbiamo detto spesso, non possiamo trascurare i termini viscosi quando Re → oo, o meglio avrebbe è probabile di nuovo no!

Se alcuni termini non si trascurano i termini viscosi fosse sempre possibile portando a questo punto risolvendo più semplicisticamente le equazioni di Euler, piuttosto che quelle di Navier-Stokes, e in ciò non è sempre possibile.

Facciamo ora ulteriori ragionamenti per valutare il legame tra vorticità e strati viscosti e vedere di scriverlo le equazioni di N-S.

Da un punto di vista teorico sfruttando l'incompressibilità (cioè ∇^*·^* = 0) resina dalle equazioni scritte di solito, sono la stessa cosa:

(La dimostrazione non la fo)

∂/_∂t + ·∇ = -∇p/ρ + μ∇xω

∂/_∂t + ·∇ = -∇p/ρ + μ∇^*²^*

∇xω = ω=∇x∇^*²u = laplaciano

Possono notare che se ipotizziamo u = costante l'equazione di N-S diventa l'equazione di Euler, se u = 0 gli strati visosi sono nulli o costasti.

Ció significa che possiamo ipotizzare qualcosa sui termini viscosi, implicitamente stiamo ipotizzando qualcosa sulla vicosità.

Ora vediamo un momento che ci permette di fare alle considerazioni sulla vorticità e sui suoi effetti.

Circolazione

Per introdurre questo metodo parliamo prima però della circolettazione.

Circolazione -- M= ∮ _{d · e}

Teorema di Stokes

∫_A ω⃗ · m⃗ dA

Ci dice che una circolazione è uguale al flusso di velocità ( ω⃗ · n⃗ ) fatto su una superficie che si proietta sulla linea chiusa.

Teorema di Kelvin

Se il fluido è incomprimibile ( ρ=cost ), Inviscido ( µ=0 ), a forze di massa conservative vale il seguente Teorema della circolazione di Kelvin:

La variazione della circolazione calcolata attorno ad una linea contenuta sempre negl stessi particella di fluido è nulla, ossia:

d/dt ∮_c ω⃗ · dℓ⃗ = ϕ

Dimostrazione

Iniziamo con la dimostrazione!

Partiamo dalla definizione di circolazione:

Γ = ∮ ω⃗ · dℓ⃗ ora fusso di Benuamar, quindi definizione in flusso passante fatta di due parti, una descrive la velocità e una descrivere la variazione dℓ⃗

d/dt ∮_c ω⃗ · dℓ⃗ = ∮_c dω⃗ /dt · dℓ⃗ + ∮_c ω⃗ · d/dt dℓ⃗

Ora trattiamo separatamente il termine 1 ed il termine 2 per semplicità:

d/dt = -∇p/ρ - ∇g

Quindi, ∇g lo abbiamo visto nella prima eq.1 quindi ora posso sostituire nell'integrale:

- ∮_c ( ∇p/ρ + g ) · dℓ⃗ = ∮_c ∇(p/ρ + g) dℓ⃗

Ora questo integrale è zero, perché quello dentro l'integrale simboleggia un differenziale esatto, quindi integrale esatto:

- ∮_c d( p/ρ + g ) = ϕ

2d(vdt,ddt)

Per questo ci verrà necessario di più.

Desidero fare un tratto della linea l nel tempo t ed un tratto della linea l nel tempo t + Δt ed identifico un Δl.

Immaginiamo in modo che la particella in posizione 1 si sposterà nel settore in questo modo evidenziando il vettore Δt.

Gli effetti delle velocità delle particelle non sono nulli in quanto la velocità lungo un tratto infinitesimo non è costante ma cambia di d(dt).

d(t+Δt)= d(t) + () Δt - = d(t) + Δt

Dove, a questo punto io cosa dovuto fare fino dall'inizio? Dovuto valutare la derivata di d(dùdt(t)) - d(t)) / Δt= d)ddt= d

Il Calcolo puo' possiamo i terminin ₁ e ₂ riscrivered

I^z/_dt = ∮_e di/_dt d_e + ∫_e ẍ û d_e= 0 + ∫_e ẍ û di= ∫_e d(ẍ û)_⊥ = 0

Poichè e' ovvio. A loro orientare che possiamo visto prima, l'integrale di un differenzialeentro una linea chiusa e' zero.

Quindi possiamo dimostrare che sia il terminne ₁ che il termine ₂ e' zero, quindi la variazione di certezioni e' zero!

Teoria del potentiale

Vediamo ora un'ipotesi: ossia la teoria fondamentali classica o teoria del potentiale, in un fluido non viscoso non assaggiato un moto e' inrotaziona per ladefinizione. Di inciticla, pu' essere resultado rotationalic se e' rotationalic ilcampo velocita'.

Vediamo le equinioni del potenziale:

Prima di rifurori di equazioni:

I^z = ∮_e û di = ∫_A ω_⊥ û m dA = ∫_A ∇ẍ û m dA

Prima calcioso che il uso di velocita e rotazionale (ᶠₓ = ∇ ≠> 0) la sua contrazione o nulla.

Per questo e possibile che: il uso campo di velocita e conservativo, ossia ammittiuna funzione potentiale ω tale che per cui ẍ = ∇ᶠ≿

Ora vediamo applicando le consuetudere della taxa per un fluido incompressibles:

∇ · ẍ ≜ 0

Ora estendiamo quanto vivie i vivi ẋ e' di usso saro;

ο ∇Ìẍ ≜ -∇² ≠ ᶠ≿ (cui rendeendo di ᶠ≿ e volumi a zero)

∂²ᶠ≿/∂x² + ∂²ᶠ≿/∂y² + ∂²ᶠ≿/∂z² = φ

Questa e una conclusione un inferenziale liniare.

L'esistenza del potentiale ci proietta di calcolrare li case di velocita ma cheveloce la tensione P E risolulare del tutelle il capo di moto poso utilizzato ilteremino di Bernoulli:

p/p + 1/2 ẋ · û + ψϵ = Cost.

Flusso attorno a un cilindro

Veniamo dalle soluzioni di flusso attorno ad un cilindro ottenuti con la teoriadel potenziale, la prima è a circolazione nulla, al cilindro nulla, e laseconda a circolazione positiva.

In quella a circolazione nulla notiamo che la soluzione è simmetrica sia rispettoall'asse x che all'asse y, quindi quante uniche ci sono se è tutto simmetrico?

Ci sono solo nulle, perché la velocità che viene nelle parte 1 e vieneuguale che viene nella parte 2, il significa che abbiamo uguali che ènormale se ci illuminiamo bene con quella cosa, stessi effetti di discontinuitàtra pressione dall'alto e pressione (avete uno 2 e da 4 abbiamo 5 e con la v astaappena verticale).

Se invece introduciamo circolazione, ci sta in figura due, tuttavia il senso di motoè uno e otteniamo una cosa simmetrica, ossia quella rispetto all'asse y allora in questo caso cambia tutto rispetto a prima?

Ricordato che c'è simmetria rispetto all'asse y, quindi la pressione che viene nelpunto 3 è uguale a quella nel punto 4, è aspetto ad x inusuale? Anche però più flessioni?

Ave più flessioni sotto cilandro (nella zona richiamata), questo perché nellazona richiamata ci sono le linee di corrente che sono tutto attorno, rispetto a sopra,le corrispondenti a prima che la velocità è minore e di conseguenza menopressioni, per il teorema di Bernoulli.

Quindi però una fretta verso l'alto che è la portanza, perpendicolare al vettore di velocità indisturbata.