Appunti Fisica 2

Fisica II

Carica elettrica

Un materiale, quando viene elettrizzato, acquisisce una carica elettrica. Con l’espressione di “carica elettrica” si intende la proprietà calcolabile e misurabile che un corpo deve avere per esercitare una forza elettrica e, al contempo, per essere soggetto a questa forza.

Possiamo distinguere due tipi di cariche elettriche:

• Carica elettrica positiva (+)
• Carica elettrica negativa (-)

Cariche elettriche dello stesso segno si respingono e cariche elettriche di segno opposto si attraggono.

La carica si misura in Coulomb (C).

Principio di conservazione della carica elettrica

Il principio di conservazione della carica elettrica stabilisce che in un sistema elettricamente isolato, cioè che non scambia carica elettrica con l’esterno, la somma algebrica delle cariche elettriche si conserva nel tempo, cioè rimane costante.

Nell’elettrizzazione per strofino, ad esempio, la carica elettrica che compare sull’oggetto elettrizzato è uguale in valore assoluto a quella che appare sul panno, ma con segno opposto: gli elettroni si sono spostati da un corpo all’altro portando la propria carica con sé.

Se consideriamo un sistema elettricamente isolato allora:

Qi = Qf

Legge di Coulomb (forza elettrica)

Data una coppia di cariche elettriche, esse esercitano una forza l’una sull’altra che può essere attrattiva o repulsiva in base alla natura delle cariche interagenti.

La legge che ci permette di calcolare la forza elettrica esercitata tra due cariche è detta legge di Coulomb.

Essa stabilisce che la forza elettrostatica che si esercita tra due cariche puntiformi è direttamente proporzionale alle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza:

F = k Q₁ · Q₂ / r²

Questa formula ci permette di calcolare l’intensità della forza elettrica esercitata dalla prima carica sulla seconda o equivalentemente della seconda carica sulla prima.

• Q₁, Q₂: le cariche elettriche coinvolte prese in valore assoluto in C.
• r: la distanza reciproca tra le cariche espressa in m.
• k: costante di proporzionalità nel vuoto. Vale 8.99 · 10⁹ N · m² / C².

Analogie e differenze tra forza di Coulomb e forza gravitazionale

F_e = k |Q₁| · |Q₂| / r²

F_g = G m₁ · m₂ / r²

Analogie:

• Entrambe le forze dipendono da una costante universale.
• Entrambe le forze si esercitano su una coppia di corpi che interagiscono tra loro.
• Entrambe le forze sono direttamente proporzionali alle rispettive proprietà dei corpi che generano la forza.
• Entrambe le forze sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza tra i due corpi che interagiscono.
• Entrambe le forze si esercitano a distanza.

Differenze:

• Le due costanti sono molto diverse tra loro: la costante k è di 20 ordini di grandezza più grande della costante di gravitazione. La forza elettrica è di gran lunga più intensa della forza gravitazionale.
• La forza gravitazionale è sempre attrattiva, mentre la forza di Coulomb può essere attrattiva o repulsiva a seconda del segno delle cariche.
• La forza gravitazionale si esercita su qualunque coppia di corpi perché dipende unicamente dalla loro massa, la forza elettrica invece si manifesta invece solo tra corpi dotati di carica elettrica. Tra corpi neutri, infatti, non vi è alcuna interazione di natura elettrica.

Principio di sovrapposizione di cariche elettriche

Questo principio stabilisce che in un sistema di cariche puntiformi la forza di Coulomb risultante, ossia esercitata su una carica da tutte le altre, è data dalla somma vettoriale delle forze esercitate dalle singole cariche sulla carica scelta.

Campo elettrico

Consideriamo una carica Q. La sola presenza di questa carica genera attorno ad essa un campo elettrico nello spazio che la circonda.

Qualsiasi altra carica q che venga introdotta nella regione di spazio in cui agisce il campo elettrico generato da Q risentirà di una forza di Coulomb attrattiva o repulsiva.

Per definizione il campo elettrico (E) generato da una carica Q in un punto dello spazio circostante è dato dal rapporto tra la forza che la carica Q eserciterebbe su una carica collocata in tale punto, detta carica di prova q⁺, e considerata per convenzione positiva.

Da qui possiamo scrivere la prima formula (generale) del campo elettrico:

E = F / q⁺

Non c’è nessun vincolo sulla carica Q che genera il campo elettrico.

Se consideriamo la carica puntiforme Q, è possibile ricavare una formula particolare per il campo elettrico:

E = F / q⁺ = (Q · q⁺) / (4 π ε₀ r² · q⁺) = Q / (4 π ε₀ r²)

In questo caso abbiamo che il campo elettrico dipende solo dalla carica che lo genera.

Il campo elettrico si misura in N/C.

La direzione del campo elettrico non dipende dal segno della carica di prova. Dipende solamente dalla carica Q:

• Se la carica Q che genera il campo elettrico è positiva, il verso del campo elettrico è uscente.
• Se la carica Q che genera il campo elettrico è negativa, il verso del campo elettrico è entrante.

Il campo elettrico è uniforme se in qualunque punto dello spazio assume sempre lo stesso modulo, direzione e verso.

Anche in questo caso, se ho più cariche vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

Linee di campo elettrico

Ogni campo elettrico è visualizzabile graficamente per mezzo delle linee di campo elettrico. Si tratta di linee che vanno tracciate seguendo precise regole:

• Il vettore E, calcolato nel punto, deve essere tangente alla linea di campo.
• Il vettore E, calcolato nel punto, deve avere verso concorde al verso di percorrenza della linea di campo.
• Le linee di campo non devono mai intersecarsi.
• A una maggiore intensità di campo elettrico deve corrispondere una maggiore intensità di linee.

Per un dipolo elettrico:

Campo elettrico generato da un filo infinito carico

Consideriamo un filo infinito su cui è distribuita una carica elettrica positiva Q in modo uniforme.

λ = Q / l

Possiamo definire una densità di carica lineare che esprime la quantità di carica per unità di lunghezza e si misura in C/m.

Immaginiamo un filo infinito lungo la direzione x e un generico punto P che sta a una generica distanza R dal filo e vogliamo calcolare quanto vale il campo elettrico E.

Consideriamo il filo diviso in tanti trattini infinitesimi dx che trasporta una carica dQ = λ dx che produce un campo dE = λ dx / (4 π ε₀ r²).

Per ogni trattino dx ci sarà un trattino dx’ speculare che avrà un campo elettrico dE’ che avrà lo stesso modulo e sarà diretto specularmente.

Se dividiamo ogni campo dE nella loro componente lungo la direzione x e lungo la direzione perpendicolare a x, abbiamo le componenti x che andranno ad annullarsi e le componenti che si sommeranno perpendicolari a x.

Il campo prodotto da un filo infinito è un campo radiale quindi sempre perpendicolare al filo che dipenderà solo da R.

Considerando il modulo del campo elettrico risultante e il contributo dei due trattini dx e dx’ otteniamo:

dE = 2 λ dx · cosθ / (4 π ε₀ R²)

Concludiamo che il campo elettrico E generato da un filo infinito carico uniformemente è:

E = λ / (2 π ε₀ R)

Campo elettrico generato da un anello carico uniformemente

Consideriamo un anello carico uniformemente di raggio R. Vogliamo trovare il valore del campo elettrico sull’asse z dell’anello.

Consideriamo un trattino dl a una distanza r dalla coordinata z.

La carica dQ produrrà un campo elettrico dE = λ dl / (4 π ε₀ r²).

Per ogni dl ci sarà un dl’ speculare che produrrà un campo elettrico dE’ uguale in modulo e speculare rispetto a z.

La componente del campo nella direzione parallela al campo dell’anello si annullerà sempre e quindi il campo elettrico sarà dato dalla somma dei contributi lungo l’asse z.

Quindi, in modulo:

dE_z = λ dl · cosθ / (4 π ε₀ r²)

Concludiamo, che il campo elettrico E generato da un anello carico uniformemente è:

E_z = Q · z / (4 π ε₀ (R² + z²)^3/2)

• Se guardiamo l’anello dall’alto, z = 0 e il campo vale E = 0.
• Se andiamo a una distanza z >> R, possiamo trascurare R e E ≅ Q / (4 π ε₀ z²).

Campo elettrico generato da un disco carico uniformemente

Consideriamo un disco di raggio R su cui è distribuita una carica elettrica Q in modo uniforme.

σ = Q / S

Possiamo definire una densità di carica superficiale che esprime la quantità di carica per unità di superficie e si misura in C/m².

Dividiamo la superficie del disco in tanti anelli e ne prendiamo uno a distanza w dal centro. Esso avrà una superficie S = 2 π w dw e quindi la carica dQ = σ · 2 π w dw.

Posso interpretare ciascun anellino come un anello con un campo:

E_z = dQ · z / (4 π ε₀ (w² + z²)^3/2)

A queste condizioni posso considerare il disco un piano infinito il cui campo elettrico varrà:

E = σ / (2 ε₀)

Consideriamo un piano infinito se, a partire dal centro, ci poniamo a una distanza abbastanza piccola rispetto alla grandezza del piano stesso.

Flusso del campo elettrico

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie qualsiasi esprime una misura delle linee di campo elettrico che attraversano la superficie considerata.

Consideriamo una superficie Σ, dividiamo la superficie in tante piccole superfici dΣ, definiamo anche il vettore normale n̂ della superficie e possiamo scrivere il flusso infinitesimo che sarà uguale dφ = E · n̂ dΣ scalarmente a E · dΣ · cosθ, dove θ è l’angolo compreso tra E ed n.

Il flusso attraverso la superficie è definito da:

φ(E) = ∫_Σ E · n̂ dΣ.

Se abbiamo una superficie chiusa, la normale sarà sempre uscente dalla superficie e vogliamo calcolare ∯_Σ E · dΣ.

Se le linee di campo sono uscenti, il flusso sarà positivo e al centro della superficie ci sarà una carica positiva.

Se le linee di campo sono tutte entranti, il flusso sarà negativo e al centro della superficie ci sarà una carica negativa.

Se le linee di campo che entrano sono quante le linee di campo che escono, allora il flusso sarà 0 e il campo sarà prodotto da una carica che è fuori dalla superficie e all’interno ci sarà una carica nulla.

Teorema di Gauss

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie Σ è uguale a:

∯_Σ E · dΣ = q / ε₀.

Dove q è tutta la carica all’interno della superficie.

Supponiamo di avere una superficie chiusa qualunque con all’interno una carica q. La carica q produrrà un campo E in direzione radiale.

Dimostrazione:

• Consideriamo un filo infinito: sappiamo che il campo elettrico generato dal filo carico è sempre radiale e dipende dalla coordinata r.

Se consideriamo una superficie intorno al filo, possiamo sfruttare il teorema di Gauss per calcolare il valore del campo.

Per esempio, consideriamo un cilindro intorno al filo infinitesimo: il flusso del campo sarà diverso da zero sulle superficie laterale, perché E e n non sono perpendicolari, e sarà pari a zero sopra e sotto e inoltre il campo sarà sempre perpendicolare alla superficie e sarà sempre costante. Quindi:

∯_Σ E · dΣ = E ∯_Σ dΣ = E 2 π r L.

La carica totale contenuta all’interno del cilindro sarà q = λ L e quindi per Gauss:

E 2 π r L = λ L / ε₀, da cui E = λ / (2 π r ε₀).

• Se considero un piano infinito, scelgo un cilindro che prende dentro sopra e sotto il piano:

E · 2 · π r² = σ π r² / ε₀, quindi E = σ / (2 ε₀).

• Consideriamo una sfera di raggio R con una densità di carica ρ, se vogliamo calcolare il campo elettrico ad una generica coordinata r > R.

Scelgo come superficie una sfera di raggio r, per Gauss abbiamo:

E 4 π r² = ρ (4/3) π R³ / ε₀, da cui E = Q / (4 π ε₀ r²).

Se voglio calcolare il campo elettrico a una generica coordinata r < R:

E 4 π r² = ρ (4/3) π r³ / ε₀, da cui E = ρ r / (3 ε₀).

Il grafico di un campo elettrico in funzione della coordinata r è:

Andiamo a calcolare la divergenza del vettore E:

∇ · E = dE_x / dx + dE_y / dy + dE_z / dz

Teorema della divergenza + Gauss = prima equazione di Maxwell

Il teorema della divergenza dice che se abbiamo un volume τ delimitato da una superficie Σ:

∫_τ ∇ · E dτ = ∫_Σ E · n̂ dΣ.

Sappiamo anche che per il teorema di Gauss:

∯_Σ E · dΣ = q / ε₀.

Posso esprimere la carica in funzione della densità di carica per unità di volume ρ(x,y,z).

Posso anche dire che:

∫_τ ∇ · E dτ = ∫_Σ E · n̂ dΣ = 1 / ε₀ ∫_τ ρ(x, y, z) dτ.

E quindi otteniamo la prima equazione di Maxwell:

∇ · E = ρ / ε₀

Che ci dice sostanzialmente che l’origine del campo elettrico è la carica.

Se ∇ · E = 0 il vettore è detto solenoidale.

Energia e lavoro

Il lavoro compiuto da una forza è definito come:

W = ∫ F · dl

Scalarmente W = F · dl · cosθ, dove θ è l’angolo compreso tra F e dl.

Consideriamo la forza di Coulomb F_e = q E e dimostriamo che F_e è una forza conservativa, ovvero, il lavoro compiuto da questa forza non dipende dal percorso ma solamente dal punto iniziale a dal punto finale.

Consideriamo, per esempio, la forza prodotta da una carica puntiforme q₀ allora abbiamo che:

dW = q E dl = q q₀ / (4 π ε₀ r²) dl cosθ = q q₀ / (4 π ε₀ r²) dr

Integro per trovare il lavoro totale:

W = ∫_rA^rB q q₀ / (4 π ε₀ r²) dr = q q₀ / (4 π ε₀) [-1/r]_rA^rB = q q₀ / (4 π ε₀) [1/rA - 1/rB]

Il lavoro, quindi, non dipende dal percorso e noto che se rA = rB il lavoro = 0.

Anche il vettore campo elettrico sarà conservativo.

Se una forza è conservativa, è possibile esprimere un’energia potenziale:

W_ext = - W_campo = ΔU = U_f - U_i = U_B - U_A

Prendiamo come punto di riferimento l’infinito dove r à inf e quindi U(inf) = 0.

Se q > 0 e q₀ > 0 l’energia potenziale diminuisce con un andamento 1/r e devo compiere un lavoro contro le forze del campo in modo tale da portare la carica dall’infinito a un punto preciso.

Se q > 0 e q₀ < 0 l’energia potenziale tende ad aumentare e dall’esterno faccio un lavoro negativo per trattenere la carica affinché arrivi con una velocità costante.

Potenziale

La differenza di potenziale tra due punti è:

ΔV = ΔU / q

Possiamo definire una funzione che ci permette di dire il lavoro che bisogna fare per portare una seconda carica da un punto A ad un punto B immersa in un certo potenziale elettrico.

Sappiamo che:

U(rB) - U(rA) = - q ∫_rA^rB q₀ / (4 π ε₀ r²) dr = - q ∫_rA^rB E dl

Quindi diciamo che:

q[V(rB) - V(rA)] = - q ∫_rA^rB E dl

V(rB) - V(rA) = - ∫_rA^rB E dl

Per rA à inf, V(inf) = 0 e otteniamo che il potenziale V(r) = q₀ / (4 π ε₀ r).

Anche per il potenziale vale il principio di sovrapposizione degli effetti se ho più cariche da considerare.

• Se ho un filo uniformemente carico con una distribuzione λ allora un generico trattino di filo produce un potenziale infinitesimo:

dV = λ dl / (4 π ε₀ r) e quindi il potenziale totale V = ∫₀^L λ dl / (4 π ε₀ r).

• Consideriamo un guscio sferico di raggio R carico con una certa densità di carica σ.

La differenza di potenziale è:

V(B) - V(A) = - ∫_rA^rB E dl

Quando r < R il campo E = 0.

Quando r > R il campo E = Q / (4 π ε₀ r²).

Per r > R:

V(r) – V(inf) = - ∫_inf^r E dr = - ∫_inf^r Q / (4 π ε₀ r²) dr = - [ - Q / (4 π ε₀ r)] = Q / (4 π ε₀ r), à V(r) = Q / (4 π ε₀ r).

Per r < R:

V(r) – V(R) = - ∫_R^r E(r) dr = 0, à V(r) = V(R).

All’interno della sfera, infatti, il campo elettrico è nullo, il potenziale è costante e quindi non devo vincere nessuna forza e quindi devo compiere un lavoro pari a 0.

Operatore gradiente + teorema