Appunti + Esempi + esercizi teoria dei sistemi

Indice

1 Modelli di sistemi dinamici 5

1.1 L’automatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Modelli matematici di sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Rappresentazioni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Cambiamento variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Approssimazioni lineari di sistemi non lineari . . . . . . . . . . . . . 13

2 Analisi dei sistemi lineari stazionari in t 17

2.1 Dal modello implicito al modello esplicito . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Caso scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Caso matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

X × U

2.1.3 Ipotesi di linearità su . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.4 Matrici delle risposte impulsive . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.5 Evoluzioni forzate ed ingressi . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Da una descrizione esplicita alla rappresentazione differenziale . . . 27

2.2.1 Dalla forma esplicita a quella differenziale . . . . . . . . . . 29

2.3 La matrice di transizione nello stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 A diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 A operatore regolare con autovalori reali e distinti . . . . . . 33

2.3.3 A operatore regolare con autovalori reali non tutti distinti . 36

2.3.4 A operatore regolare con autovalori non tutti reali . . . . . . 37

2.3.5 A non è un operatore regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 I modi naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.1 A operatore regolare con autovalori reali distinti . . . . . . . 50

2.4.2 A operatore regolare con autovalori reali non tutti distinti . 55

2.4.3 A operatore regolare con autovalori non tutti reali e distinti 57

2.4.4 A operatore non regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5 Sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5.1 Rappresentazione esplicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.5.2 La matrice di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.5.3 I modi naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.6 Rappresentazioni a tempo discreto di sistemi a tempo continuo . . . 77

2.6.1 Rappresentazione implicita di un sistema campionario . . . . 77

2.6.2 Matrice dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12 Indice

3 Elementi di teoria della stabilità 93

3.1 Stabilità nei sistemi stazionari a tempo continuo . . . . . . . . . . . 93

3.1.1 Stabilità nei sistemi lineari stazionari a tempo continuo . . . 95

3.1.2 Stabilità interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.1.3 Stabilità esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2 Il criterio di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.2.1 Il criterio di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.3 Stabilità mediante linearizzazione sistemi a tempo continuo . . . . . 110

3.4 Il criterio di Lyapunov su sistemi a tempo continuo . . . . . . . . . 113

3.4.1 Il criterio di Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4.2 Lyapunov su sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.5 Stabilità nei sistemi stazionari a tempo discreto . . . . . . . . . . . 120

3.5.1 Stabilità nei sistemi lineari stazionari a tempo discreto . . . 121

3.5.2 Stabilità interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.5.3 Stabilità esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.6 Il criterio di Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.6.1 Relazioni tra criterio di Jury e criterio di Routh . . . . . . . 127

3.7 Stabilità mediante linearizzazione sistemi a tempo discreto . . . . . 129

3.8 Il criterio di Lyapunov per sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . 130

3.8.1 Criterio di Lyapunov per sistemi lineari . . . . . . . . . . . . 131

4 Rappresentazioni lineari stazionarie nel dominio complesso 135

4.1 Trasformata di Laplace e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.2 Trasformata di Laplace nei sistemi a tempo continuo . . . . . . . . 140

4.3 Matrice di transizione nel dominio complesso . . . . . . . . . . . . . 141

4.3.1 Operatore regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.3.2 Operatore non regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.3.3 La risposta forzata nel dominio complesso . . . . . . . . . . 149

4.4 Trasformata Zeta e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.5 Trasformata Zeta nei sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . 153

4.6 Matrice di transizione nel dominio complesso . . . . . . . . . . . . . 155

4.7 Sistemi a tempo continuo riconducibili a sistemi a tempo discreto . 158

4.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5 La risposta a regime permanente 163

5.1 La risposta a regime permanente per i sistemi a tempo continuo . . 163

5.1.1 Il regime permanente a ingressi canonici . . . . . . . . . . . 165

5.1.2 Il regime permanente a ingressi periodici . . . . . . . . . . . 169

5.2 Le rappresentazioni grafiche della risposta armonica attraverso i diagrammi di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.2.1 Forma di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.2.2 Diagrammi di Bode del guadagno . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.2.3 Diagrammi di Bode del termine monomio . . . . . . . . . . . 177

5.2.4 Diagrammi di Bode del termine binomio . . . . . . . . . . . 179

5.2.5 Diagrammi di Bode del termine trinomio . . . . . . . . . . . 185

5.3 Le rappresentazioni grafiche della risposta armonica attraverso i diagrammi polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Indice 3

5.4 La risposta a regime permanente per i sistemi a tempo discreto . . . 195

5.4.1 La risposta a regime ad ingressi periodici . . . . . . . . . . . 195

5.4.2 La risposta a regime ad ingressi canonici . . . . . . . . . . . 196

5.5 La risposta indiciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6 Le proprietà geometriche dello spazio di stato 209

6.1 Osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.1.1 Cambio di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.1.2 Scomposizione rispetto l’inosservabilità . . . . . . . . . . . . 216

6.1.3 Osservabilità nei sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . 223

6.2 Raggiungibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.2.1 Scomposizione rispetto la raggiungibilità . . . . . . . . . . . 227

6.2.2 Raggiungibilità nei sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . 232

6.2.3 Legame tra osservabilità ed eccitabilità . . . . . . . . . . . . 233

6.3 La scomposizione di Kalaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7 Modelli ingresso-uscita lineari e rappresentazioni con lo stato 245

7.1 Il problema della realizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.2 Realizzazioni in forma canonica raggiungibile . . . . . . . . . . . . . 247

7.3 Realizzazioni in forma canonica osservabile . . . . . . . . . . . . . . 250

7.4 Realizzazioni minime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.4.1 Realizzazione minima da riduzione rispetto osservabilità/raggiungibilità 255

7.4.2 Realizzazione per righe o per colonne . . . . . . . . . . . . . 257

7.4.3 Realizzazione di Gilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

7.4.4 Matrice di Henkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

7.5 Sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

8 Introduzione allo studio dei sistemi interconnessi 263

8.1 Interconnessioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.1.1 Connessione in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.1.2 Connessione in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.1.3 Connessione a retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

8.1.4 Connessione a controreazione unitaria . . . . . . . . . . . . . 269

8.2 Grafi di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

8.3 Calcolo del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.3.1 Funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.3.2 Rappresentazione con lo stato . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.4 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

8.4.1 Radici a parte reale negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

8.4.2 Presenza del guadagno variabile . . . . . . . . . . . . . . . . 280

8.4.3 Radici a parte reale negativa o nulla . . . . . . . . . . . . . 287

8.4.4 Variazioni di stabilità per variazioni di modulo e fase . . . . 290

4 Indice

Capitolo 1

Modelli di sistemi dinamici

1.1 L’automatica

Definizione (Sistema):

Un sistema è un oggetto con un numero finito di gradi di libertà che evolve nel tempo secondo una legge deterministica.

• U(t): vettore delle variabili di controllo (o degli ingressi), rappresentano i canali attraverso i quali è possibile modificare il comportamento del sistema (sono manipolabili, cioè ci si può mettere ciò che si vuole e variano con il tempo).
• Z(t): vettore dei disturbi, grandezze che influenzano il comportamento del sistema, sono talvolta misurabili ma non possono essere modificate (sono particolari ingressi non manipolabili).
• M(t): grandezze misurate.
• Y(t): vettore delle uscite del sistema, esse sono un sottoinsieme delle variabili misurate e rappresentano le grandezze su cui si vuole esercitare il controllo.
• X(t): vettore delle variabili di stato esse rappresentano con la loro evoluzione nel tempo, il comportamento del sistema nella forma più completa (condizioni complessive in cui il sistema si trova in quel momento).

Un sistema è rappresentabile come una black box che può essere stimolata da una sollecitazione (ingresso) u(t) soggetta a dei disturbi z(t) con grandezze misurate m(t) e che produce un effetto (output) y(t).

56 Capitolo 1. Modelli di sistemi dinamici

Rappresentazione di un sistema.

Definizione (Sistema dinamico):

Un sistema dinamico è un sistema in cui, dato un istante di tempo t, il valore dell’uscita y(t) dipende dal valore istantaneo e da tutti i valori passati di u(t) e di y(t).

1.2 Modelli matematici di sistemi dinamici

Proposizione:

Qualunque modello fisico può essere ricondotto ad un modello più astratto andando ad identificare lo stato (composto da alcune grandezze del sistema), l’ingresso e l’uscita.

Δx(t) = f (t, x(t), u(t), z(t))

y(t) = h(t, x(t), u(t), z(t))

m(t) = g(t, x(t), u(t), z(t))

Per ora non considereremo m(t) e z(t) che verranno incorporate rispettivamente in y(t) e u(t), quindi considereremo sistemi del tipo:

Δx(t) = f (t, x(t), u(t))

y(t) = h(t, x(t), u(t))

Δx(t) sono le variazioni dello stato.

Definizione (Sistemi a tempo continuo e a tempo discreto):

∈ Un sistema a tempo continuo è un sistema in cui t R:

dx(t)

Δx(t) = dt ∈

Un sistema a tempo discreto è un sistema in cui t Z:

Δx(t) = x(t + 1)

1.2. Modelli matematici di sistemi dinamici 7

Definizione (Sistemi dinamico lineare):

Un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un’equazione lineare.

Definizione (Sistemi a dimensione finita):

Un sistema si dice a dimensione finita se il numero degli stati è finito (x(t) ha dimensione n).

Definizione (Sistemi stazionari):

I sistemi stazionari sono sistemi che che non dipendono esplicitamente dal tempo.

Δx(t) = f (x(t), u(t))

y(t) = h(x(t), u(t))

Esempio: Massa-Molla-Smorzatore

Consideriamo un carrello collegato ad una parete fissa mediante una molla ed uno smorzatore. Il carrello è vincolato a muoversi in una prefissata direzione per effetto delle forze agenti (interne ed esterne). Il modello matematico può essere calcolato imponendo l’equilibrio delle forze che agiscono sul centro di massa del carrello.

• M : massa
• K: costante elastica
• P: spostamento
• B: coefficiente di attrito dello smorzatore

L’equilibrio delle forze si scrive come:

2d p(t) dp(t)

−kp(t) −M = b + F (t)

2dt dt

Dove:

8 Capitolo 1. Modelli di sistemi dinamici

• 2d p(t) è l’accelerazione 2dt
• Dp(t) è la velocità dt
• F (t) è la forza in ingresso (=u(t))

Vogliamo valutare l’uscita y(t) e in particolare siamo interessati alla posizione:

y(t) = p(t) p(t) x (t)1=x(t) = dp(t) x (t)2dt

dp(t) sono due grandezze che fanno parte dello stato.

p(t) e dt

In particolare si può notare che:

2d p(t) dx (t)2=2dt dt

Da cui deriva che:

dx (t) k b 12 − −= x (t) x (t) + u(t)1 2dt M M M

dx (t)1 = x (t)2dt

Che è un modo equivalente di esprimere l’equazione del sistema vista prima.

Il sistema è costituitio da 2 equazioni lineari e possiamo riscriverlo pertanto come:

!dx (t) dx 1 0 1 x (t) 01dt == + u(t)1k bdx (t) − − x (t)dt 2 2 MM Mdt x (t)11 0y(t) = x (t)2

Quindi andando a scrivere la derivata rispetto al tempo di x come ẋ otteniamo:

0 1 0ẋ(t) = x(t) + u(t)1k b−− MM M

1 0y(t) = x(t)

Quindi abbiamo ottenuto un modello matematico della forma:

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

1.2. Modelli matematici di sistemi dinamici 9

Esempio: Rete elettrica

Consideriamo una rete elettrica composta da una sola maglia con un generatore di tensione V , un’induttanza L, una resistenza R ed un condensatore C.

Per descrivere come varia la tensione ai capi della resistenza, V (t) (uscita), R al variare della tensione del generatore, v(t) (ingresso), indicando con i(t) la corrente, è sufficiente scrivere l’equilibrio delle tensioni nella maglia:

d i(t) + Ri(t) + v (t)v(t) = L cdt

Dove dalla fisica deriva che:

di(t) = C v (t)cdt

E quindi:

u(t) = v(t)

2 dd v (t) + RC v (t) + v (t)v(t) = LC c c c2dt dt

Poniamo:

x (t) = v (t)1 c

x (t) = v˙ (t)2 c

Da cui:

u(t) = LC ẋ (t) + RCx (t) + x (t)2 2 1

1 R 1− −ẋ (t) = x (t) x (t) + u(t)2 1 2LC L LC

ẋ (t) = x (t)1 2

Otteniamo:

0 1 0ẋ(t) = x(t) + u(t)11 R− − LCLC L

0 RCy(t) = x(t)

Quindi abbiamo ottenuto nuovamente un modello matematico della forma:

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

10 Capitolo 1. Modelli di sistemi dinamici

Osservazione:

Abbiamo visto che nel caso di equazioni lineari di un sistema si ritorna sempre al caso generale in cui:

Δx(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

Se il sistema è stazionario lineare (a dimensione finita) allora A, B, C, D sono indipendenti dal tempo (cioè non sono della forma A(t), B(t), C(t), D(t)).

Definizione:

Dati:

• N∈ ⊆x(t) X R
• Q∈ ⊆y(t) Y R
• P∈ ⊆u(t) U R

Con X, Y, Z spazi lineari.

Allora si ha:

• ×A matrice quadrata n n detta matrice dinamica
• ×B matrice n p detta matrice degli ingressi
• ×C matrice q n detta matrice del legame stato-uscita
• ×D matrice q p detta matrice del legame ingresso-uscita

Proposizione:

I sistemi lineari stazionari a tempo continuo e dimensione finita sono descritti da equazioni differenziali del tipo:

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

I sistemi lineari stazionari a tempo discreto e dimensione finita sono descritti da equazioni differenziali del tipo:

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

1.3 Rappresentazioni equivalenti

1.3. Rappresentazioni equivalenti 11

Proposizione:

Poiché la scelta delle variabili di stato non è univoca per descrivere un dato fenomeno dinamico, a diverse scelte corrispondono rappresentazioni diverse tra loro.

Esempio: Rete elettrica

Nel precedente esempio della rete elettrica eravamo arrivati alla seguente conclusione:

0 1 0ẋ(t) = x(t) + u(t)11 R− − LCLC L

0 RCy(t) = x(t)

Avendo considerato le seguenti variabili di stato:

x (t) = v (t)1 c

x (t) = v˙ (t)2 c

Ora consideriamo come variabili di stato:

z (t) = v (t)1 c

z (t) = i(t)2

Svolgendo nuovamente i calcoli otteniamo:

1 0 0C z(t) + u(t)ż(t) = 11 R− − LL L

0 Ry(t) = z(t)

Che è un modo equivalente per rappresentare il sistema.

1.3.1 Cambiamento variabili

Il cambiamento delle variabili di stato si realizza mediante l’applicazione di una funzione biunivoca che modifica la rappresentazione del vettore che invece di essere espresso dalle n componenti:

0x = (x , x , ..., x )1 2 n

è espresso dalle n componenti (nelle nuove coordinate):

0z = (z , z , ...z )1 2 n

” ’ ” sta per trasposto cioè è un vettore colonna.

Una trasformazione lineare di variabili di stato si realizza definendo le nuove variabili:

|T | 6z = T x , = 0

12 Capitolo 1. Modelli di sistemi dinamici

E quindi:

−1Δz(t) = T Δx(t) = T Ax(t) + T Bu(t) = T AT z(t) + T Bu(t) =−1y(t) = CT z(t) + Du(t)

Osservazione:

Chiaramente se il sistema è a tempo continuo al posto del Δ avremo la derivata rispetto al tempo.

−1x = T z

Proposizione:

Si ottiene dunque un modello matematico dello stesso tipo de