Appunti ed esercizi di Elementi di meccanica computazionale

Quaderno appunti + esercizi

Metodo degli elementi finiti (FEM)

Descrizione in tanti elementi nel dominio → soluzione approssimata.

Passaggi fondamentali per il FEM

• Divido il corpo in piccole regioni (elementi).
• Definire il comportamento dei singoli elementi.
• Assemblaggio (integrare i singoli comportamenti per ottenere il comportamento generale della struttura).

3 g.d.l. → u₁; u₂; u₃

Esempio (monodimensionale)

1. Guardiamo il singolo elemento: Lo sforzo normale al piano sarà dato da N = k₁ (u₂-u₁) (equazione costitutiva).

   N.B. Questo studio del singolo elemento non è detto perché nell'ottica dello studio globale delle strutture non mi fornisce informazioni utili.

2. Consideriamo lo stesso elemento ma con un approccio differente. Dove P₂, P₁ sono forze elementari che agiscono sull'elemento. Imponendo l’equilibrio, si ottiene: P₁ + P₂ = 0 (equazione di equilibrio).

3. Andando a guardare 1 + 2 ottengo: dalla quale ricavo: "forma matriciale" K₁ * u = F (la matrice di rigidezza).

4. Posso ripetere lo stesso per l'elemento n°2 e così via...

   N.B. K_e è costituita da K_eⁱ e K_eⁱ⁺¹, ma K^e+1 = K^c+1 + K^e+2, ma K^c+1 = K = A (K^e+1; K^e+2).

Scrivendo in forma matriciale esplicitando le azioni delle forze interne: K_global = f (simmetrica).

K: matrice di rigidezza globale

u: vettore degli spost. globale

f: vettore delle forze globale

Elementi finiti: Trave

Trave è un corpo caratterizzato da:

• Dimensione predominante sulle altre 2.
• Presenza di una sezione piana (x) ed una sezione trasversale (y,z).

Consideriamo solo il problema di trave piana: assumiamo il piano xy simmetrico, y,z è l'asse principale di inerzia; sviluppiamo il pb solo con oscuro d'asse x-y.

Campo degli spostamenti

S_x(x,y) = u(x) - y · θ(x)

S_y(x,y) = v(x)

Dipendenti solo da x. Da u(x) = spostamento orizzontale della sezione; v(x) = spostamento verticale della sezione; θ(x) = rotazione della sezione.

Campo delle deformazioni

ε_xx = du/dx

Χ = dθ/dx

γ = dv/dx - dp/dy

ε_xx = u' - y · θ'.

Χ = θ'

γ = v' - θ

u' = deformazione assiale

Χ = curvatura

γ = deformazione e taglio

Sforzi interni (sollecitazioni)

Sappiamo che nella trave: ε_xx ≠ 0 γ ≠ 0

Attraverso il legame costitutivo ottengo:

N = Σσ_xx·dA = EA · ε

M = ∫_A y · σ_xx·dA = EI · Χ

T = ∫τ_tx·dA = κ · GAγ

Equilibrio del concavo di trave

N' + P = 0

M' - T = 0

S - Q = 0

Riassumendo le equazioni

Equazione della cinematica:

S_x = u' - y · θ'

S_y = v'

Equazioni costitutive:

N = EA · ε

M = EI · Χ

T = κ · GAγ

Equazioni di equilibrio:

N' + P = 0

M' - T = 0

S - Q = 0

Ulteriore ipotesi semplificativa

La caratterizzazione assenza a deformazione attagliata ET/χI = q^0EA / u'on.x

Quindi: risulta δ = 0 = u', θ = nu'

Trave alla Euler-Bernoulli

Risoluzione del pb della trave attraverso (MODELLO → F.E.M.)

Approccio 1: Metodo agli spostamenti

Abbiamo EI v^IV = q quindi ci siamo già. Qual è proprio di questo nodo dato che abbiamo un'eq. differenziale del 4° ordine.

Equazione che domina il pb: EI v^IV - q = 0

La soluzione di questa equazione sarà data da:

Analizziamo la soluzione dell'eq. generale.

EI v^IV = 0 soluzione: v(x) = C₀ + C₁ x + C₂ x² + C₃ x³

Teoria di trave alla Euler-Bernoulli

L'obiettivo è sviluppare un modello di elementi finiti:

Metodo diretto/agli spostamenti

Metodo "formale" → Eq. differenziale (EI v^IV - q=0)

Quindi proviamo un altro metodo per ricavare la matrice di rigidezza:

• Costruire una formulazione debole
• Introdurre delle approssimazioni per i campi incogniti
• Risolvere il problema algebrico

Come posso passare da form. differenziale a form. integrale?

1. Introduco w(x): funzione peso