Appunti e riassunti di Algebra e geometria lineare

Geometria e algebra

Algebra lineare, preliminari: notazione e teoria degli insiemi

Definizione Una Insieme elementi di collezione detto': e :{ } }B È A. B. 1,2 C. d '✗✗ una persona ei.- , ,,. .

Unione: Siano Unione definiamo l'BA insieme insiemi, }:{AUB A B✗✗ c- ✗ c-1 BA AUB>

Intersezione: intersezione definiamo l'Siano A B insieme insiemi ,, { }Anb A: ✗ xc.rsc-✗Anb BA

Differenza: Siano nsienistica differenza definiamo l'A. b insiemi insieme,{ }AA B eb✗c-✗: ✗ BA

Prodotto: Sia l'A definiamo prodotto B insiemi insieme, , }{ ix.Axb Ayi ✗ yc.rsc-={ }:{ }

Esempio a- d.A a1,2 }: ,,{ }hai ( / 13 3,81A- 12,81 (ID= fai 2. al✗✗ 1.- ; ,,, ,,

Vuoto Esiste Definizione elementi di (detto |insieme: privo un Esempio ha vuoto AU an A A-A D=A Asi ×non : = =: ;= ; ;,

Notazioni: Appartiene per ad sottoinsieme appartiene Non C-: c- c.ogni = == soltanto- Andesiste Or sese: e==={ {{ }} } È Rb.to realia.be0,1/2,3i. i. ii. :-3} -2 1. insieme91,2 numeri; - ; ;- , ,, ._, ... ... .. complessi E i insieme numeri-ich cccc

Funzioni e le loro proprietà

(codominio f Definizione funzione dati f b)A due dominio vuoti A modo B. BAnon e 'e un insiemi >una con :e: elemento consente elemento di di A B diche ad associare ogni unci fA ☒÷• ..• ;. .•. f A B>: ?f:b a'

Esempio t.c.fm/=nf >: : {f{ } }914,93,4 io0,1 2., .., .. ..

Funzioni iniettive: Una filo funzione faF detta f. =DA iniettiva A fra )B )lo' #se a.e: c.c-,)cortzononino.ie( frase =Dfilo/ ) a= A BI0o o °° 0 Oy

Funzioni suriettive: Una t.cisuriettivaF V-beba.cadettafunzione A /fra =DB ' se: e BA o)°o ÷°•

Funzioni biunivoche/Biettive: Data dettaF questa te Hai9 !biunivocaA a.CAbebb =Dè -se>: , .A B° i Jo, ° °°o > y

Teorema: f suriettiva iniettiva biunivoca A che'B ' sia> e: e dimostrazione F ( )aea!] fra =Dbebbiunivoca /- :: - p :

Inattività che Debfian /prendiamo A Fia / =Dsupponiamo: conc-a a e =, ,, , . Allora 7 !definizione >(a):-(A =D area per ad. c- =, Suzetività tlbeb fraesiste teAEAalmeno / =Duna: ..esiste definizione neper proprio uno af biunivoca detta invertibile' :e

Definizione La Iaea ffunzione identica f te funzionefiala detta a idaa> 'e: :: =.

composta Se funzione definiamo Definizione f f:BA B Ag >>: > c:eg: e f 9, B ea f9f A B>: f^f-f jr " "f F' f aa gg

Definizione funzioneUna F invertibile detta A ' seie: : -^ " ^3- f- off. f- f f-da id:b A : e> :c =/ = ,.

Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi

Definizione ()(vuoto binarie )poi ✗e siano neor✗ ✗non ✗: : ✗= , _ . ,, ._struttura Definiamo IX algebrica)9 on- . . ,, ,✓ f.

Esempio aha- × miC ntme1✗ :o: == =, ., ,.

Proprietà delle operazioni

Sia struttura algebrica( -11 :una× ,

• Associativa V-a.be1 la -1101 c)-111a-1C: e +>= it.cineutroElemento2 : - =D-10che ae a ;- ✗f.YaealgebricoInverso3 '': eta Oxe c.a = ;facommutativa be =Datto: -1A- ;,
• Distributiva Siano due5 binarie Dice: - :operazioni+ .e a.,/ b( )i Dia. -1C a. a. ci=I.ii la -11 b.cia-(> c=

Definizione Sia struttura algebrica( -11 :: una× , Se detto+1lavalgono IX. ' gruppo31,2 ee ;Se dettolaanchevale abeliano4 ' gruppoe,

Esempio :( -11 -11-51=0(abeliano' )sun gruppoe,1 -11 'non e gruppoun,

Teorema: elemento algebriconeutroStix. ammettealgebrica+1 e - inversoEunico unicoun a- un. .

Dimostrazione neutri : la la -14la =L✗ -1c-: een = ,,- , lala =lite la la lz1- ==, Fisso t.C.a-an-an-o.ee 0-1-0-2=0-2+0✗ C-aria \ =Led- C- siano ; ., / tantad- tata / -10-2=0-2-10-2 0-1=0-2arte -1a e=== =, ,,

struttura Definizione Sia / Sealgebrica/× -1: una :. ..,-11( abeliano' gruppo× e un ;, associativo ( il'• e ; (distruttiva anello vale detto( /la ) 's -1× :e.., unitariose prodotto ancheil vale anelloper 2 ;, commutativose il prodotto anelloanchevale 4per .f. abeliano( (

Definizione '( )anellol detto) '× × campo-1 -1ec. ×gruppo eun- .., , ., , ,

Anello( anello unitario Esempio commutativo) 111' -11(< e-1 un Abeliano: . × gr,, . ., associativo•?( 1 ' distributivai. • campoe un f.ha 3- 7-7 ✗ 1inverso c ✗non e =.

Campo AbelianoIX: -11 gr .,( ) IX. Abeliano' /-1 campoe un. gr.\ , , .% È )1-)IQ / (b+ =D:-1 o, =LÈ Gruppo È È E I.! %( ^ ( associativo) iV. -1 -11in' c- ×:e - :: _. c.n = ,, elemento NeutroR R( ) Inverso algebrico' >campo-1 t.es #un. e c-✗ =, . Abeliano commutativa{ }| / :b behE i'' a:. -1e-1 a.campo -1un e ==, . -4 ± Zi=

Teorema fondamentale dell’Algebra: Ogni ammette coefficienti almeno polinomio radice Ea una

Teorema: Sia dominio (integrità di behVa I bio>K ' a.campo se oa-=Dune >un ,,

Esempio 7. =D: =D✗ ✗Se integrità chestruttura ammettedi dice dellodominioalgebrica allora divisoriè zerosinonuna { }

Esempio continue:[ Af f >0,1: = "{dove) f. flalgixidx( f # :g =, ) integrità didominio'* non une

Algebra lineare

Vettori: introduzione e esempi

1- Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano il piano si può identificare con l’insieme delle coppie RßPlirzl ordinate di numeri realii Ad ogni punto è possibile associare un vettore che possiamozmp Is pensare come un segmento orientato avente per estremio I l’origine e il punto stesso

Ne segue quindi che possiamo “identificare” il vettore OP con la coppia ordinata (x,y) delle coordinate del punto P e scrivere v=(x,y) invece di v=OPLunghez a d 8-2 yy .mibdwiocompomentiscalazi

Somma: dati due vettori v= (x ,y ) e w= (x ,y )la loro somma è un vettore avente per componentis st ? 22la somma delle componenti di v e w s lMD 2!gwielts T m2.gs wi s

Esempio: siano v= (1,2) e w= (3,1) due vettori nelOspiano; determinare v+w iS .v+w= (1+3, 2+1)= (4,3)s? T ô..2 ^ 7

Il modulo del vettore e ssomma è minore o uguale I 37 3dei moduli dei 2 vettorisommati.

Disuguaglianza triangolare: L’uguaglianza vale se v e w sono paralleli eù?=l SOhanno lo stesso verso.

Moltiplicazione per uno scalare: Dati il vettore v= (x, y) ed il numero reale il vettore v ha per Scomponenti quelle del vettore v moltiplicate pers :ìS yl 7

Esempio: sia v= (1, 2), determinare 2v e -v?? 8 ^ "272 2112.2 2.4 sOpposto di v S! 1 12 1.2 sif. r--

Nella moltiplicazione per : La direzione resta la stessa; LIl modulo viene moltiplicato per iIl verso resta uguale se mentre se inverte seO o A

Prodotto scalare e angolo tra vettori

Dati due vettori v= (x ,y ) e w= (x ,y ) il loro prodotto scalare, che si indica con la11 22notazione v w o <v, w>, è assegnato dalla seguente formula:> >,>. ^È/Ù' 'Ù '° sersen wcos' Yi cos .• •Y 1 ×.1. ,ea e, 7'jaYzYs'Leale eunez .'' W ser esercos cos.. , a a angolocompreso' '' '• Ww cosa_ -1cos . a-•• <✗ a, /

Dalla formula precedente segue che:

• V w >0° . °9✗. minore civ w <0> '> °9✗• maggiore civ w =0o . { vettori( deiperpendicolari✗. 2e unooppureo rulloil veloce'e

Esempi:v= (1, 2) w= (3, -1) v w= 1 3 + 2 (-1)= 1 (Essendo positivo l’angolo compreso è <90 )>o >> ⓘ ••

v= (0, 4) w= (3, -1) v w= 0 3 + 4 (-1)= -4 (Essendo negativo l’angolo compreso è >90 )>> >> • •.

v= (1, 2) w= (2, -1) v w= 1 2 + 2 (-1)= 0 (Essendo nullo i 2 vettori sono perpendicolari)) >> ) • •,

Angolo tra 2 vettori: dunquechevi. ' ' ''°' vi w a wcosa ricava cosasia arccos. •• •> > > 'W • µ.

Esempio: Determinare l’angolo compreso tra v= (1, 2) e w= (3, 1)> >25' 1' 52.1 È1.3 1wcosa • azccosa-> ' 10522w 3212• 12 50 22..

Relazione tra modulo e prodotto scalare:Sia AlloraIX. veloce '. : ' .v.'i . >/ y:uny i. i yy- .

Vettori nello spazio

Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano possiamo mettere23in corrispondenza biunivoca i vettori nello spazio e l’insieme delleterne ordinate di numeri reali. Ne segue che possiamo “identificare” il>vettore OP con la terna ordinata (x, y, z) delle coordinate del punto P e>scrivere v= (x, y, z) invece di v= OP>> In' §di ' 2> ° vaghezza zyzpsi ' ^ Li, Modulocomponenti

I vettori i= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0) e k= (0, 0, 1) sono detti versori fondamentali nello spazio

Ogni vettore v= (x, y, z) dello spazio si può scrivere nella forma v= xi + yj + zk> >

Somma : Dati due vettori v= (x ,y ,z ) e w= (x , y ,z ) la loro somma è un vettore avente per> >11 } 21 2componenti la somma delle componenti di v e w ,v + w= (x + x ,y + y ,z + z )>> 1 '2 ^^ 2

Esempio: Siano v= (1, 2, 3) e w= (10, 2, -4) due vettori dello spazio. Determinare v + w: , > >v + w= (1+10, 2+2, 3+(-4)) = (11, 4, -1)

Moltiplicazione per uno scalare: Dati il vettore v= (x, y, z) e il numero reale , il vettore v ha per>componenti quelle del vettore v moltiplicate per . In formule ('• ZY• , ,

Esempio: Sia v= (1, 2, 3) un vettore dello spazio: Determinare 5v '> 1,5-2,5^35.'5 5,0 5,

Prodotto vettoriale: Dati due vettori v= (x ,y ,z ) e w= (x ,y ,z ) il loro prodotto vettoriale, che si> >11 21 2 2indica con la notazione v x w (si legge “v vettor w”) è il vettore avente le seguenti proprietà:> ,angolocompreso>'• ° > W gang• •W

• È perpendicolare al piano individuato da v e w;))ⓘ v, w e v x w formano una terna destrorsa di vettori.' >o >•

In termini geometrici il modulo del prodotto vettoriale coincide con l’area del parallelogramma individuato da v e w)>

Si può dimostrare che vale la seguente formula:'° K12-2W i 192 291Yaz yit J2 1, , 7

Esercizio 2: Determinare l’area del parallelogramma

Esercizio 1: Determinare per quale/i valore di a i )vettori v= (1, -2, 1) e w= (a+1, -a, -1) formano un avente per lati v= 3i + 4k e w= j - k)> )1angolo di 60 : In termini geometrici il modulo del prodotto vettorialecoincide con l’area del parallelogramma individuato da' ' %/ 21.1-a /cosa ) / )-11 yw 0-+1 +1- • . --zci> ' '' .at/-illa. i -11171-2 1 v e w>. >Óa30 Ó ?20 -12-120°. .z Ó 20.2+20-1-2• Dobbiamo quindi calcolare v x w sapendo cheo →?620 v= 3i + 4k= (3,0,4) e w= j-k= (0,1,-1))?20 >2 60. ^ '?? 60 '20 220 91 9,7 i Tfr Kit #yitw 2-a ]^. ,,,↳ :- 1)( ) 0.43 3.10.0-1.4 i-1 Kd. -. jl ? formano''unico ae unewcuiser /angolo di Ó ti 3K13' 1 -4,3 -3ae ] , ' del'-41253I 34→ ' areaw _parallelogramma 34misura

Matrici: introduzione e operazioni

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri:an Qi &} " JMatrice 2x3 a Matrice 3x2 a Matrice 2x2 a3 1 i3 1Bn 1 2coefficienti in N coefficienti in Z coefficienti in C7845 •6 10-23 1 0 1032

Più formalmente una matrice m n A coefficienti in K è una funzionex{:{ } }A 1,2 1,2M n, .. ... ,. ,,

Dove m e n sono rispettivamente il numero delle righe e delle colonne e K un insieme numericofissato

L’insieme delle matrici con m righe e n colonne si indica con M mentre per indicare unmxnelemento della matrice A si usa la notazione a ij

Per indicare in modo sintetico la matrice si può usare la notazione A= (a ) oppure A= {a }ij ij

Somma: Se matriceallora aleA che3-cm.vn la bio-B ('e aie e e cman man _ ,,23 T 2 3146381 2 B C-

Moltiplicazione per uno scalare: Se allora ta' numeroe eun e - -man ;]( -6> 32• 9}o

Casi particolari di matrice: Se m=1 si parla di vettori riga; "11 2 E 1×3 2

Se n=1 si parla di vettori colonna; E1 4×1

Se m=n=1 la matrice è “sostanzialmente” un numero (-9) 7[ 1×1

La matrice avente tutti gli elementi