Appunti di Trasmissione del calore

Trasmissione del calore

05/10/2020

Prof. G.E. Cossali

Introduzione

La trasmissione del calore nella progettazione

Problemi legati alla trasmissione del calore sono frequenti nella progettazione meccanica, non solo in relazione al campo delle macchine (motori a combustione interna, turbine, compressori ecc.) o a quello energetico (scambiatori di calore, generatori di vapore, valvole, ecc.).

Una corretta progettazione termica è spesso necessaria anche per componenti meccanici nei più svariati campi di utilizzo.

La progettazione termomeccanica, necessaria in tali campi, si fonda sulla conoscenza dettagliata delle problematiche di scambio termico.

I meccanismi di trasporto dell’energia, della quantità di moto e della massa

Energia quantità di moto massa

Molecolare Conduzione diff. molecol. Diffusione

Moto Convezione convezione convezione macroscopico

Radiazione Irraggiamento irragg. -----

In fisica esistono delle quantità, note come energia, quantità di moto e massa/materia, che possono essere trasportate da una zona all'altra dello spazio tramite diversi meccanismi, che sono:

• Molecolare: Le molecole che costituiscono il corpo in esame possono trasportare le quantità sopra citate a causa del loro moto all'interno del corpo; si assiste quindi ad un trasporto dovuto alla "diffusione molecolare" che, nel caso dell'energia, prende il nome di conduzione [questa tipologia di trasporto è molto lenta];
• Moto macroscopico: Tipologia di trasporto estremamente ≠ veloce ed efficiente delle quantità sopra citate, nota come convezione;
• Radiazione elettromagnetica: Qualsiasi corpo che si trovi a T dallo zero assoluto emette e assorbe una radiazione elettromagnetica a causa del continuo movimento tra nuclei e elettroni degli atomi per effetto del campo elettromagnetico generato dalle molecole circostanti; poiché la radiazione elettromag. porta con se energia e Q.D.M, ne consegue che anche l'emissione e l'assorbimento trasportano energia e Q.D.M. N.B: Nel corso ci si concentrerà solamente al trasporto dell'energia.

Simbologia

∂ ∂ ∂  ∂∇ ≡   ∇ ≡, ,  Operatore Nabla [vettore le cui componenti ∂ ∂ ∂ ∂ rappresentano le derivate rispetto a x, y z]j x y z x j = 1, 2, 3 (X = X; X = Y; X = Z)1 2 3j

Applicato ad una grandezza scalare T ∂ ∂ ∂ T T T∇  T gradiente di T , ,Vettore di componenti  ∂ ∂ ∂ x y z

Applicato ad una grandezza vettoriale V ∂∂ ∂ VV V+ + yx z∇ ⋅  scalareV divergenza di V ∂ ∂ ∂x y z 

Prodotto scalare tra 2 vettori => scalare

∇ × V rotore di V Vettore

Prodotto vettoriale tra 2 vettori => rotore

Simbologia (2)

∇Formalmente può essere trattato come un vettore ∂di componenti ∇ ≡ ∂j x j

Convenzioni di somma nella somma del prodotto delle componenti omologhe viene omesso il termine sommatoria quando gli indici sono gli stessi tra i due vettori 3 ≡ Viene omesso il termine di sommatoria V U V Uj j j j sugli indici ripetuti=j 1

Teorema di Gauss (o della divergenza)

N.B: si noti che viene omesso il termine sommatoria a destra in quanto gli indici sono ripetuti [convenzione sopra]

 ⋅ = ∇V n divergenza vettore integrato su un volume chiuso [dx] = integrale ottenuto integrando sulla dS V dV superficie che racchiude tale volume la componente del vettore V normale alla stessa [sx]j jS V

La conduzione del calore

Equazione di conservazione dell’energia (1)

∂Ω(t)

N.B: Come superficie viene scelta una superficie materiale, cioè una superficie che segue nel suo movimento il fluido [non può quindi essere attraversata dal fluido]

Si divide ciascun termine x l'intervallo di tempo nel quale è avvenuta la variazione [potenza]

δ δ primo principio termodinamica x un sistema chiuso (no scambi materia con ambiente): dEdU W Q+ = +δ δ+ = +E E cINTERNA CINETICAdU dE W Qc dt dt dt dt

[Variazione energia potenziale nascosta nel lavoro del campo di forze conservative]

Si consideri un volume generico di fluido, definito da una superficie materiale => Il sistema TD definito da questa superficie chiusa è un sistema chiuso in quanto attraverso il contorno non passa materia (è quindi possibile applicare a questo volume il primo principio della termodinamica):

 1d   no sommatoria perρ ρ ρ+ = + +ɺ la convenz sommae u u dV u f dV QdVk k k k dt 2Ω Ω Ω( ) ( ) ( )t t t

Superficie materiale

[Forza x Velocità = Lavoro / Tempo = Potenza Meccanica] potenza forze di volume potenza "generata" potenza termica generata all'interno del volume (ex: combustione)

 + −T u n dS q n dSik k i k k∂Ω ∂Ω( ) ( )t t

Potenza forze superficiali potenza trasmessa potenza termica che attraversa la superficie del volume di fluido [ad esempio a causa delle differenze di temperatura]

Il segno meno è dovuto al fatto che la normale alla superficie è presa positiva quando diretta verso l'esterno mentre la quantità calcolata secondo il primo principio è positiva se entrante nel sistema

U= = energia interna per unità di massa e [si usa e al posto di u in quanto quest'ultima è già usata per definire la velocità] M

n = versore normale alla superficie (uscente)

q = vettore flusso termico [q = Q/A]

=ɺQ Potenza generata per unità di massa

Equazione di conservazione dell’energia

[Slide precedente]

L’equazione in forma integrale può essere trasformata nella sua forma più facile da risolvere LV matematico locale (differenziale) tramite l’utilizzo de teorema del trasporto e del teorema della divergenza

 1∂ +e u u k k    12 ( )ρ ρ ρ ρ+ ∇ + = + ∇ + − ∇ɺu e u u u f T u Q q ∂ k k k k k k i ik k k k t 2

Le grandezze e, q e T che compaiono nelle equazioni devono essere k ik definite in funzione dei campi incogniti (velocità e temperatura) per chiudere il problema.

Conduzione del calore

Trasporto di calore per diffusione in un corpo macroscopicamente fermo, cioè con velocità nulla [solido o fluido in quiete]

= ∀u 0 k Fluido non in moto

Caso con : k

 1∂ +e u u k k    1 ( )2ρ ρ ρ ρ+ ∇ + = + ∇ + − ∇ɺu e u u u f T u Q q ∂ i i k k k k i ik k k k 2t semplificazione della formula per la conduzione calore:

∂eρ ρ= − ∇ɺQ q∂ k kt

ɺQ è la potenza generata per unità di massa ed è un dato del problema, mentre e (energia interna per unità di massa) e q (flusso termico) k devono essere espressi da equazioni costitutive.

Equazioni costitutive

Il flusso termico può essere collegato ad un campo di temperatura tramite un'equazione costitutiva, cioè una relazione tra due o più grandezze che deriva dall'osservazione sperimentale problema [postulato]

Tensore di conduttività termica

 k k k formula generica per legare gradiente di temperatura e flusso termico,x xy xz prodotto matrice-vettore= − ∇ ≠utilizzata per corpi anisotropi, cioè corpi che si comportano in modo ≡q k T a seconda della direzione fenomeno che si sta osservando (esempio:k k k k  una tavola di legno non trasporta il calore per conduzione ugualmente i ik k ik yx y yz in tutte le direzioni, infatti il calore / flusso di energia è trasportato più  ⊥agevolmente trasportato lungo le fibre rispetto alla direzione fibre) k k k  zx zy z δ=materiale che si comporta stesso modo qualunque sia la direzione in cui si osserva il fenomeno k k

Per un materiale isotropo ij ij= − ∇ ⊥il gradiente di una f è un vettore alle superfici lungo le quali quella f è costante [da risultato geometrico]q k T Ω =x: T ( ) T (superf. isoterma)i i o ⊥ Ω∇ ⊥ Ω

Postulato di Fourier q è aT è a i la matrice di conduttività termica si semplifica in una matrice diagonale; il flusso termico risulta proporzionale al gradiente di T tramite la conduttività termica del corpo; il segno meno è necessario per rispettare il II principio: TD: Un gradiente positivo in una direzione implica T crescente in quella direzione, mentre il flusso termico deve andare dalla zona a T maggiore alla zona a T inferiore

ρ=e e (T , ) (ipotesi di equilibrio locale)

Energia interna [grandezza di stato estensiva] Per un materiale incomprimibile: c =c =cv p

Densità costante e, poiché densità = 1/volume massico, volume massico = costante

ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂        e e T e T= + =        c ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂v        t T t t tρ T

Equazioni costitutive (2)

No

[Dimostrazione che l'equazione appena descritta è valida anche per un gas]

ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     e e T e= +        ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂      t T t tρ T

∂ ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂         e e e e v e s1 1= = = = − = − − =            c T P    ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂v 2 2            v v v T Tρ T T Tv T T

∂  v  ∂ ∂∂     P1 1 PT = − − = − − − =   PT P T P  ∂ρ ρ∂ ∂ 2 2     vT T   v v ∂ P T

β β   v1 1− − − = −   TT P Pρ ρ−2 2 kvk    T Tv

Per un gas perfetto

β ρ∂ ∂ ∂    e T 1= + −   c P T  β ρ∂ ∂ ∂v 2   t t k t − =  0P T T k T

Equazione di Fourier

[O equazione del calore]

N.B: Equazione di Fourier [equazione conservazione energia in cui è stato introdotto ≠ il postulato di Fourier] Postulato di Fourier [legame tra flusso termico e gradiente T]

∂ ( )Tρ ρ= ∇ ∇ + ɺc k T Q∂ i it

Per un materiale incomprimibile: c =c =cv p

[W/(mK)]

Per un materiale omogeneo: k è indipendente da x ≠ materiale isotropo materiale omogeneo: un materiale isotropo si comporta in uguale modo indipendentemente dalla direzione, un materiale omogeneo è fatto allo stesso modo in tutti i punti [significa che tutte le grandezze sono indipendenti dalla posizione]

∂ ɺT Qα laplaciano T= ∇ +2T∂t cvkα2 =[m /s] Diffusività termicaρ c

Proprietà dei materiali (1)

I sistemi isolanti sono materiali ottenuti rendendo fermo un gas, tipicamente aria [l'aria conduce maggiormente muovendosi in quanto il trasporto passa da diffusivo a convettivo (esempio: polistirolo,fibre di vetro)]

= 0,63 W/(mK)

I gas hanno la minor conduttività termica k [diamante]

Aria = 0,024 W/(mK) k varia molto a seconda del materiale

Da Incropera-De Witt “Fundamentals of Heat and Mass Transfer”

Proprietà dei materiali (2)

La conduttività termica K dipende dalla temperatura:

• Nei gas K aumenta sempre all'aumentare della temperatura;
• Nei liquidi K ha comportamento variabile in funzione del tipo di liquido;
• Nei solidi K ha comportamento variabile in funzione temperatura, ma nel caso di solidi metallici diminuisce all'aumentare temperatura.

Nei solidi metallici la conduttività termica si comporta in modo simile a come si comporta la conduttività elettrica

Da Incropera-De Witt “Fundamentals of Heat and Mass Transfer”

Equazione di Fourier

06/10/2020

Condizioni iniziali ed al contorno [necessarie in equazioni differenziali alle derivate parziali]

ΩT = f(x,t) ∈x (t)T(x,t): t∈[0,t ],o Ω∈x

Condizioni iniziali: t=0, (t) : T(x,t)=f(x)

Distribuzione della temperatura su tutto il corpo in analisi all'istante iniziale

Ω∈∂superficie che definisce il corpo in analisi a a ax

Condizioni al contorno: t >0, (t) 1 2 3 specie

Condizioni iniziali ed al contorno

Tramite la condizione iniziale e le condizioni al contorno è possibile [non sempre] trovare una e una sola soluzione al problema: in questi casi si dice che il problema è ben posto

Ω∈∂a x1 specie: t >0, (t): T(x,t)=g(x,t)→ temperatura nota in tutti i punti della superficie del corpo (t > 0)

Condizione di 1° specie o di Dirichlet [in TdC nota come condizione a T imposta]

Ω∈∂a x n·q(x,t)=r(x,t)2 specie: t >0, (t): → condizione di 2° specie o di Neumann [in TdC nota come condizione a flusso imposto] componente normale al flusso termico nota in tutti i punti della superficie (t > 0)

∂ xT ( , t )− = xk r ( , t )∂n

Ω∈∂a n·q(x,t)=s(T,x,t)x (t):3 specie: t >0, → relazione tra temperatura e flusso termico nota [non sono note le quantità ma la loro relazione]

Condizione di 3° specie o di Robin [in TdC nota come condizione mista]

∂ xT ( , t )− = xk s (T , , t )∂n

Condizioni al contorno di 3 specie

Equazione di Fourier

N.B: Non è necessario che sulla superficie vi sia lo stesso tipo di condizione su tutti i punti (ad esempio può verificarsi che in una parte della superficie vi sia una condizione di 1° specie, su un'altra parte di 2° specie...); è tuttavia essenziale che su tutti i punti venga specificata una condizione al contorno

Ω∈∂x n·q(x,t)=s(T,x,t)t >0, (t):

Esempi:

Ω∈∂x n·q(x,t)=t >0, (t): h (T(x,t)-T ) [condizione convettiva]o superficie lambita da un fluido

h può dipendere da T (convezione naturale, transizione di fase)

Superficie del corpo scambia calore con il fluido: la componente normale del flusso sulla superficie è proporzionale alla differenza tra la temperatura superficie e la temperatura del flusso tramite un coefficiente di proporzionalità [coefficiente di scambio termico convettivo h]

Ω∈∂ 4 e4n·q(x,t)=x (t): A(T (x,t)-T )t >0, [condizione radiativa]

Irraggiamento

Condizioni alle interfacce (1)

Equazione di Fourier

∂ ɺT Qα= ∇ +2L’equazione: T vale per corpi omogenei ∂t c x)(α indipendente dav

Non omogeneo omogenee, Se un corpo è composto da parti α sottodominio l’equazione va risolta in ciascun con diversi valori di => si può quindi utilizzare l'equazione semplificata per materiali omogenei considerando l'omogeneità per ciascun sottodominio di interesse

α1 α2

Le interfacce divengono “contorno” di ciascun sottodominio; su di esse devono essere imposte condizioni aggiuntive => necessario imporre condizioni al contorno su tutto il contorno di ogni sottodominio [superfici esterne + interfacce]

Condizioni alle interfacce (2)

Equazione di Fourier

Le condizioni all'interfaccia sono due e sempre le stesse qualunque sia il problema [sempre 2 in quanto l'interfaccia è contorno sia di un dominio sia dell'altro dominio]

• Raccordo delle componenti = −q qn1 n 2 dei flussi termici normali alle superfici: all'interfaccia il flusso termico che arriva dal dominio uno e quello che arriva dal dominio due devono essere uguali [per il principio di conservazione dell'energia] − =x x x