Appunti di Trasmissione del calore

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Dipartimento di Ingegneria e Scienze Applicate

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica

Classe LM-33

Trasmissione del calore

ANNO ACCADEMICO 2023/2024

Indice

1. L'equazione di Fourier e le condizioni al contorno

1.1 L'equazione della conduzione

1.2 Condizioni al contorno

2. Conduzione stazionaria monodimensionale

2.1 Parete piana

2.2 Geometria cilindrica

2.3 Potenza termica attraverso una sezione variabile

2.4 Analogia elettrica

2.5 Raggio critico di isolamento

3. Superfici alettate

3.1 Perché le alette

3.2 Bilancio su un tratto di aletta

3.3 Aletta a sezione costante

3.4 Efficacia dell'aletta

3.5 Efficacia globale

3.6 Efficienza dell'aletta

3.7 Effetto del numero di Biot

4. Conduzione stazionaria: problemi 2D

4.1 Metodo di separazione delle variabili

4.2 Soluzione per serie

4.3 Metodo dei fattori di forma

5. Conduzione non stazionaria

5.1 Metodo dei parametri concentrati

5.2 Analogia elettrica (parametri concentrati)

5.3 Metodi analitici: separazione delle variabili

5.4 Problemi non omogenei

5.5 Condizioni al contorno variabili nel tempo

5.6 Metodi approssimati: diagrammi di Heisler

6. Solido semi-infinito

6.1 Temperatura superficiale imposta

6.2 Condizione al contorno convettiva

6.3 Problema del contatto

7. Problemi periodici e trasformate

7.1 Variazione armonica della temperatura

7.2 Conduzione periodica nel solido semi-infinito

7.3 Funzioni non armoniche: trasformata di Fourier

7.4 Trasformata di Laplace

Trasmissione del calore 1 / 70

8. Scambio termico per ebollizione

8.1 Generalità e numeri adimensionali

8.2 Ebollizione di massa: la curva di Nukiyama

8.3 Flusso critico (punto di Nukiyama)

8.4 Transizione ed ebollizione a film

8.5 Ebollizione in convezione forzata

9. Scambio termico per condensazione

9.1 Tipi di condensazione

9.2 Condensazione a film su parete verticale (Nusselt)

9.3 Film turbolento su superficie verticale

9.4 Sfere, cilindri e fasci di tubi

9.5 Condensazione all'interno di tubi

9.6 Condensazione a gocce

10. Scambio termico per irraggiamento

10.1 Grandezze fondamentali

10.2 Grandezze monocromatiche

10.3 Intensità di radiazione

10.4 Il corpo nero

10.5 Coefficiente di emissione (emissività)

10.6 Corpi grigi

10.7 Legge di Kirchhoff

10.8 Fattori di forma

10.9 Bilancio di energia su una superficie

10.10 Scambio tra corpi neri

10.11 Scambio tra corpi grigi

10.12 Scambio termico con l'atmosfera

10.13 Schermi antiradianti

10.14 Assorbimento volumetrico

10.15 Scambio termico con gas caldi

10.16 Metodi di calcolo dei fattori di forma

10.17 Superfici non grigie

10.18 Superfici grigie a brillanza non uniforme

Legenda

Formula chiave da ricordare (con il suo nome sotto).

Osservazioni, notazione e passaggi delicati.

NOTA Spiegazioni intuitive aggiunte per capire il "perché".

IN PAROLE SEMPLICI

Trasmissione del calore 2 / 70

1. L'equazione di Fourier e le condizioni al

contorno

1.1 L'equazione della conduzione

L'equazione che regola lo scambio termico all'interno di un corpo è l'equazione di Fourier (o equa‐

zione del calore): ∂T 2

∇ +

= k T q̇

ρc ∂t ​ ​ = 0

Equazione di Fourier — corpo fermo ( )

v

= densità [kg/m³], = calore specifico [J/(kg K)], = conducibilità termica [W/(m K)];

ρ c k

= potenza generata per unità di volume [W/m³] (ad esempio effetto Joule o reazioni chimiche);

q̇ ​ 

= 0 ∂T /∂t

vale per un corpo fermo: se il corpo si muovesse ( ) al posto di comparirebbe la

v

/Dt

derivata materiale .

DT A sinistra c'è "quanto si scalda il materiale nel tempo"; a destra ci sono le

IN PAROLE SEMPLICI 2

due cause: il calore che arriva per conduzione dai punti vicini ( ) e il calore prodotto

k∇ T

all'interno ( ).

q̇ ​

1.2 Condizioni al contorno

Essendo un'equazione differenziale alle derivate parziali, per essere risolta ha bisogno di alcune con‐

dizioni al contorno (e, nei problemi non stazionari, di una condizione iniziale). Le condizioni al con‐

torno sono generalmente di 4 tipi:

Tipo Cosa si impone In formula

( , =

assegnata,

T x t) x

s

1ª specie (Dirichlet) è nota la temperatura sul contorno del corpo ​

(x, y, z)

2ª specie è noto il gradiente di temperatura sul contorno, cioè −k ∇T ⋅ = assegnato

n φ s

(Neumann) il flusso termico attraverso la superficie ​

3ª specie (Robin, il flusso conduttivo che arriva alla superficie è −k ∇T ⋅ = (T − )

n h T f

convettiva) uguale al flusso convettivo ceduto al fluido ​

= −φ =

4ª specie due corpi omogenei accoppiati: il flusso che esce (e se il

φ T T

1 2 1 2

​ ​ ​ ​

(contatto) da uno entra nell'altro contatto è perfetto)

Condizione di 4ª specie: due corpi e a contatto.

α α

1 2

​ ​

Trasmissione del calore 3 / 70

2. Conduzione stazionaria monodimensionale

2.1 Parete piana ∂/∂t = 0

Se la conduzione è stazionaria ( ) e monodimensionale (1D), la temperatura dipende solo da

:

x 2

∂T d T

2

= ∇ + ⟹ 0= +

ρc k T q̇ k q̇

∂t 2

​ ​ ​ ​

dx

Quindi per conoscere l'andamento della temperatura devo risolvere:

2 ∫ ∬

d T q̇ dT q̇ dx q̇ dx dx

− ⟹ ⟹ (x) = +

= − + − +

= ​ ​

​ A T Ax B

2 ​ ​ ​ ​ ​

dx k dx k k

q̇ 2

− +

= cost : (x) = +

​

q̇ T x Ax B

2k

​ andamento parabolico

= 0 : (x) = +

q̇ T Ax B

​ andamento lineare In alto: con generazione interna il profilo è una

parabola. In basso: senza generazione il profilo è

lineare.

Le costanti e si calcolano imponendo le condizioni al contorno.

A B

Esempio: parete con temperatura imposta e convezione

Parete di spessore : a sinistra temperatura imposta , a destra convezione verso un fluido a

s T T

1 0

​ ​

= 0

con coefficiente . Nessuna generazione interna ( ).

h q̇ ​

Trasmissione del calore 4 / 70

Condizioni al contorno: =0: (0) = = : = (s) −

[T ]

x T T x s φ(s) h T

1 0

​ ​

= 0 (x) = + ⇒ (0) = = (x) = +

In : , quindi e .

x T Ax B T B B T T Ax T

1 1

​ ​ ​

dT

= = −kA

In : −k =

il flusso conduttivo è , quindi:

x s φ ​

dx

−kA = (As + − ) ⇒ −kA − = (T − )

h T T hAs h T

1 0 1 0

​ ​ ​ ​

(T − )

h T

0 1

⇒ (−k − = (T − ) ⇒ = ​ ​

A hs) h T A

1 0 +

​ ​ ​

hs k

(T − )

h T

0 1

(x) = +

​ ​

T T

x 1

+ ​ ​

hs k

Andamento della temperatura nella parete

2.2 Geometria cilindrica

Cilindro cavo: raggio interno , raggio esterno , temperature e sulle due superfici.

R R T T

1 2 1 2

​ ​ ​ ​ (r,

Nel caso cilindrico il laplaciano cambia, perché siamo in coordinate cilindriche :

θ, z)

∂f 1 ∂f ∂f 1 ∂(rφ ) 1 ∂φ ∂φ

^ r θ z

∇f = ^ ^ = +

+ + ∇⋅ +

​ ​ ​

r θ z φ

∂r ∂θ ∂z ∂r ∂θ ∂z

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

r r r

2

∇ = ∇ ⋅ ∇

Il laplaciano è la divergenza del gradiente, :

2 2

1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂ 1

( ) ( )

T T d dT

1D

2 2

∇ = ∇ =

+

+

T r T r

2 2 2

∂r ∂r ∂θ ∂z

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

r r r dr dr

Laplaciano in coordinate cilindriche

L'equazione di Fourier stazionaria diventa:

1 (r)

( ) ( )

d dT q̇ r d dT

+

0= ⟹ − =

​

k r q̇ r

​ ​ ​ ​ ​ ​

r dr dr k dr dr

∫

( = (r)

Integro una volta, definendo :

Q r) q̇ r dr

c ​ ​

(r) (r) (r)

Q dT dT Q A Q

∫

c c c

− + − + ⟹ − +

⟹ =

= (r) = ln +

​ ​ ​ dr

A r T A r B

​ ​ ​ ​ ​ ​

k dr dr kr r kr

2

q̇ r

= cost : (r) = ln + = 0 : (r) = ln +

− +

​

q̇ T A r B q̇ T A r B

4k

​ ​ ​

Profilo di temperatura in un cilindro (1D, stazionario)

Trasmissione del calore 5 / 70

Senza generazione interna, nel cilindro il profilo non è più lineare ma logaritmico.

2.3 Potenza termica attraverso una sezione variabile

Corpo a sezione variabile : interessa la potenza che attraversa la sezione in .

A(x) x

La potenza che attraversa la sezione è:

A(x) ∂T

∫ ∫

= −k

(x) = dA dA

Q̇ φ x ∂x

​ ​ ​ ​ ​

A A

Per portare la derivata fuori dall'integrale uso il teorema del trasporto (T.D.T.) in versione "bidimen‐

(x)

sionale": l'area cambia con e il suo bordo si sposta con velocità :

A(x) x P v

∂T

d ∫ ∫ ∮ )

( ⋅

= +

T T v n dℓ

dA dA

∂x

​ ​ ​ ​ ​

dx (x)

A(x) A(x) P

d dA(x)

∫ ∮

= 1 )

= ( ⋅

Se : (il primo integrale è nullo).

=

T v n dℓ

dA

​ ​ ​ ​

dx dx (x)

A P

Introduco la temperatura media sulla sezione:

1 ∫ ∫

ˉ ˉ

(x) = (x) =

⟹

T T T A(x) T

dA dA

​ ​ ​

A(x) A(x) A(x)

Allora: [ ]

∂T d

∫ ∫ ∮

(x) = − = − − ( ⋅ )

dA

Q̇ k k T dA T v n dℓ

∂x

​ ​ ​ ​ ​ ​

dx (x)

A(x) A P

ˉ (x)A(x))

d( T ∮

= −k + ( ⋅ )

k T v n dℓ

​ ​

dx (x)

P

ˉ

​ ​

dT dA ∮

ˉ

= −k − (x) + ( ⋅ )

k T k T v n

A(x) dℓ

​ ​ ​

dx dx (x)

P

ˉ [T ]

dT ∮ ∮

ˉ

= − − (x) ( ⋅ ) − ( ⋅ )

A(x)

k k v n dℓ T v n dℓ

​ ​ ​

dx (x) (x)

P P

Se sul perimetro la temperatura è circa costante:

T dT ∮

ˉ

(x) = (x) − )

( ⋅

−k − ( )

Q̇ k T T v n dℓ

A(x)

​ ​ ​

dx (x)

P

ˉ (x) − ≪ 1

e se la temperatura è quasi uniforme sulla sezione, e il secondo termine si può

T T

trascurare:

Trasmissione del calore 6 / 70

ˉ

dT

−k

(x) =

Q̇ A(x)

​ ​

dx

Potenza scambiata attraverso la sezione (sezione lentamente variabile)

Questo vale se la sezione varia lentamente; per un cono, ad esempio, le condizioni sono:

2

1 1

( )

dA ≪ e tan ≪

A β

2π 2

​ ​ ​

dx ​

( = semi-angolo di apertura). In questo caso posso considerare costante sulla sezione e usare

β T

l'equazione semplificata.

2.4 Analogia elettrica

L'analogia elettrica è un metodo per calcolare la potenza termica scambiata da un corpo, a patto che

= 0

la potenza generata al suo interno sia nulla ( ). Ogni strato e ogni scambio convettivo si com‐

q̇ ​

portano come una resistenza; la differenza di temperatura fa da "tensione" e la potenza termica da

"corrente". , , , ,

Parete composta da tre strati (spessori , conducibilità ) tra due fluidi con

s s s k k k

1 2 3 1 2 3

​ ​ ​ ​ ​ ​

coefficienti e , e circuito equivalente: due resistenze convettive e tre conduttive in serie.

h h

1 2

​ ​ − 1

T T s

1 2 = =

= ​ ​

Q̇ R R

conv cond

∑

​ ​ ​ ​ ​ ​

R hS kS

Parete piana: = superficie, = spessore, , = temperature dei due fluidi

S s T T

1 2

​ ​ (x) = +

Perché la resistenza conduttiva ha questa forma? Per uno strato senza generazione ;

T Ax B

(0) = (s) = = = (T − )/s

con e si ha , . Quindi:

T T T T B T A T

1 2 1 2 1

​ ​ ​ ​ ​

− − −

dT T T T T T T

2 1 1 2 1 2

− = =

− =

= ​ ​ ​ ​ ​ ​

Q̇ k S k S

​ ​ ​ ​ ​

dx s s/(kS) R cond ​

Trasmissione del calore 7 / 70

Caso del cilindro

Tubo con due strati (conducibilità , ), fluido interno ( ) ed esterno ( ), lunghezza .

k k h h L

1 2 1 2

​ ​ ​ ​

Le resistenze in serie sono: 1 ln(r /r ) ln(r /r ) 1

2 1 3 2

+

= + +

​ ​ ​ ​

R 2πr 2πk 2πk 2πr

​ ​ ​ ​

h L L L h L

1 1 1 2 2 3

​ ​ ​ ​ ​ ​

Resistenza termica di un tubo a due strati

Negli appunti si rimanda anche alla resistenza di contatto: tra due strati non

NOTA = 1/(h )

perfettamente aderenti si aggiunge una resistenza in serie , dovuta al sottile strato

R S

c c

​ ​

d'aria intrappolato tra le rugosità.

2.5 Raggio critico di isolamento k

=

r critico ​ ​

h

= conducibilità dell'isolante, = coefficiente convettivo esterno

k h

<

se : aggiungendo isolante non isolo, anzi disperdo più calore;

r r critico ​

>

se : aggiungendo isolante isolo.

r r critico ​

Trasmissione del calore 8 / 70

ln

Resistenza totale = resistenza dell'isolante (cresce come ) + resistenza convettiva esterna

R R r

t i

​ ​

1/r =

(decresce come ). Il minimo di si ha per .

R R r r

c t c

​ ​ ​

Quando si ha il minimo della resistenza totale si ha il massimo del flusso scambiato; per questo se

> <

isolo, se scambio più calore.

r r r r

c c

​ ​

Considerazioni (dalle slide):

Se il raggio totale (tubo + isolante) è minore di , aumentare l'isolante diminuisce la resistenza

r r c ​

totale e quindi aumenta il flusso trasmesso. Questo interessa i cavi elettrici: si vuole che la guaina

esterna, che isola elettricamente, disperda più potenza possibile per evitare il surriscaldamento

del conduttore in rame.

Se è maggiore di , aumentare l'isolante aumenta la resistenza totale e diminuisce il flusso

r r c ​

verso l'esterno. È il caso dei tubi per acqua calda o fredda e per vapore, dove si vogliono limitare

le dispersioni. = 0,032 = 10

Esempio: con W/(m K) (buon isolante) e W/(m² K) (convezione naturale) si ha

k h

= 0,0032 m. Quindi conviene isolare i condotti con diametro maggiore di 6,4 mm; i tubi più

r c ​

piccoli (ad esempio negli impianti frigoriferi) spesso vengono lasciati nudi.

Per spostare il raggio critico, a parità di isolante (cioè di ), si può agire su : ad esempio

k h

passando dalla convezione naturale a quella forzata aumenta e diminuisce.

h r c ​

Trasmissione del calore 9 / 70

3. Superfici alettate

3.1 Perché le alette Superficie alettata.

Sulla superficie di un'aletta lo scambio termico avviene per convezione:

= (T − )

Q̇ h A T

sup fluido

​ ​ ​

Le alette servono ad aumentare la potenza termica scambiata aumentando la superficie di scambio

ΔT

. Si usano quando non si può più agire su o su .

A h

Grazie alle considerazioni fatte per il caso 1D (§2.3): dT

(x) = −k

Q̇ A(x)

​ ​

dx

3.2 Bilancio su un tratto di aletta

Aletta a sezione variabile e tratto infinitesimo di lunghezza : entra , esce e dalla superficie

dx q q

x x+dx

​ ​

laterale esce ( = potenza).

dA dq q

conv

s ​ ​

Bilancio di energia sul tratto :

dx = +

q q dq conv

x x+dx

​ ​ ​

con ( )

dT dq dT d dT

x

= +

−k = = −kA −

​

q A q q k A

dx dx

x c x+dx x c c

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dx dx dx dx dx

= (T − ) = (T − )

dq h dA T h P dx T

conv s F F

​ ​ ​ ​

( = area della sezione, = perimetro, = temperatura del fluido). Sostituendo:

A P T

c F

​ ​

Trasmissione del calore 10 / 70

dT dT d dT d dT

( ) ( )

− = − − + =

(T − ) ⟹ (T − )

dx

kA kA k A hP dx T k A hP T

c c c F c F

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dx dx dx dx dx dx

2

dA dT d T hP

c )

=

+ (T −

​ A T

c F

2

​ ​ ​ ​ ​ ​

dx dx dx k

Equazione generale dell'aletta (bilancio di energia)

3.3 Aletta a sezione costante

/ = 0

Se la sezione è costante, :

dA dx

c ​

2 2

d T hP d T hP

) ⟹ )

= =

(T − (T −

A T T

c F F

2 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dx k dx kA c ​

= −

Introduco l'eccesso di temperatura :

θ T T F ​

2

d θ hP 0

− =

θ

2 ​ ​

dx kA c ​ 1

hP hP

2 = ±

− 0 ⇒ =± =

Polinomio caratteristico: , dove:

z z

​ ​ ​ ​

kA kA λ

c c

​ ​

kA c −x/λ

= +

x/λ

= ​ A

λ θ(x) e B e

​ ​

hP

= lunghezza caratteristica dell'aletta

λ

Impongo le condizioni al contorno per trovare e :

A B

= 0 = = −

(base): , con = temperatura alla base dell'aletta.

x θ(0) θ T T T

0 0 0

F

​ ​ ​ ​

= (punta): ho 3 possibilità:

x L dθ

=

1. −k =

punta convet