Appunti di Teoria delle Strutture - Parte 6 (modello Lastra)

Metodo variazionale (Ritz) - Timoshenko

M_L = EIϕ'|_z=L = m_L

M₀ = EIϕ'|_z=0 = m₀

EIϕ'' - GA_S(u' + ϕ) = 0 per z tra 0 e L

Variazione rispetto a ϕ: GA_S(u' + ϕ')|_z=0 = qα per z tra 0 e L

T_L = GA_S(u' + ϕ')|_z=L = F_L per z = L

T₀ = GA_S(u'₀ + ϕ'₀)|_z=0 = F₀ per z = 0

Funzioni approssimanti

Devo avere due funzioni approssimanti:

• u(z) = ∑_m c_iϕ_i(z)
• ϕ(z) = ∑_m e_iϕ_i(z)

Spesso nelle ϕ-F compare sia ϕ che u.

Per la stazionarietà avremo un sistema di m+n equazioni:

• ∂Π/∂c₁ = 0, ∂Π/∂c₂ = 0, ..., ∂Π/∂λ_j = 0
• ∂Π/∂e_i = 0

Modelizzazione lastra

Oggetto tridimensionale in cui una dimensione è significativamente più piccola delle altre due → Lastra.

Modello lastra → carico parallelo al piano medio ϕ.

Modello asta → carico perpendicolare al piano medio ϕ.

Equazioni

M_L = EIϕ_L = m_L

M₀ = EIϕ₀ = m₀

EIϕ"+GA_S(u'+ϕ₀) = 0

GA_S(u'+ϕ₀')T_L = GA_S(u_L+ϕ_L) = F_L

T₀ = GA_S(u₀+ϕ₀) = F₀

Metodo variazionale (Ritz) - Timoshenko

Devo avere due funzioni approssimanti:

• u(z) = ∑_m c_iϕ_i(z)
• ϕ(z) = ∑_m e_iϕ_i(z)

Spesso nelle F - u'+ϕ compare sia ϕ che u'.

Per la stazionarietà avremo un sistema di m+mp equazioni:

• ∂I/∂c_i = 0, ∂I/∂e_i = 0, ∂I/∂α = 0, ∂I/∂z = 0, ∂I/∂α'/∂e_m = 0

Note tutte le incognite e le funzioni si possono calcolare le ϕ_i, le u'_i.

Modelizzazione lastra

Oggetto tridimensionale in cui una dimensione è significativamente più piccola delle altre due -> Lastra.

Modello lastra -> carico parallelo al piano medio N.

Modello piastra -> carico perpendicolare al piano medio M.

Ipotesi

Ip: piccoli gradienti di spostamenti materiale elastico lineare isotropo.

Ipotesi: corchi parallelo a ϕ.

Spostamenti

Spostamenti: ((,)) → spostamento lungo ((,)) → spostamento lungo.

Spostamenti dei punti sul piano mediale (indipendenti da).

ω = 0 → spostamento lungo.

Il vettore spostamenti ẇ ha 2 componenti.

Deformazioni

Deformazioni = ∂/∂ = , , = ∂/∂ = , , = ∂ω/∂ = 0

= ∂/∂ + ∂/∂ = , + , = ∂ω/∂ + ∂/∂ = 0 , = ∂ω/∂ + ∂/∂ = 0

Allora: = ( )= (, , )

dove: = ( ^∂/∂ 0   0 ^{∂/∂ ∂/∂ ∂/∂} )

Vettore deformazione (ha 3 componenti).

Eq. di compatibilità(,) = ((,))

Legame costitutivo

ε_x = ¹⁄_E(σ_x - νσ_y - νσ_z)

ε_y = ¹⁄_E(σ_y - νσ_x - νσ_z)

ε_z = ¹⁄_E(σ_z - νσ_x - νσ_y)

γ_xy = ¹⁄_Gτ_xy

γ_yz = ¹⁄_Gτ_yz   γ_xz = ¹⁄_Gτ_xz

dove:   G = ^E⁄_2(1+ν)

Stato piano di tensione

σ_z = τ_yz = τ_xz = 0

ε_x = ¹⁄_E(σ_x - νσ_y)   ε_y = ¹⁄_E(σ_y - νσ_x)

ε_z = ^ν⁄_E(σ_x - νσ_y)