Appunti di Teoria delle strutture - Parte 12 ( integrazione numerica, elemento finito triangolare e a 4 nodi)

INTEGRAZIONE NUMERICA

22/05/2023

Gli integrali si devono fare anche su domini non semplici, quindi quando parliamo di elementi finiti, gli integrali che posso al calcolo delle componenti delle variabili non sono fare in modo analitico ma in modo numerico.

QUADRATURA DI GAUSS

Si calcola l'integrale in modo approssimato. Vediamo in questo caso il caso monodimensionale. Se ho una funzioni la rappresento.

* L'integrale si può calcolare mediante la regole dei trapezi:

• I = [f(a)+f(b)](b-a)₂
• I = (b-a) f(a)¹+f(b)₂

* Metodo dei coefficienti indeterminati:

I ≈ c₁f(a)+c₂f(b)

Regola dei trapezi: funzione risultati esatti quando la funzione integranda e costante o lineare.

INTEGRAZIONE NUMERICA

Gli integrali si devono fare anche su domini non semplici, quindi quando parliamo di elementi finiti gli integrali che portano al calcolo delle componenti delle vari (non sono fatti in modo analitico ma in modo numerico.

QUADRATURA DI GAUSS

Si calcola l'integrale in modo approssimato Vediamo in questo caso l'caso monodimensionale. Se ho una funzione la rappresento:

L'integrale si può calcolare usando la regola dei trapezi:

I = ^b(f(a) + f(b), b-a)

I = ^c(c - a) f(a), b-a

Metodo dei coefficenti indeterminati:

I ≈ c₁ f(a) + c₂ f(b)

   x̅ ̅ + y̅ ̅ = ∫̅ β(f(x̅))      (Riscete)

α₁β(a) + α₂β(b) = ⅔βsub;12

             =&frac32;½(b²-a²)

  ₂

α₁c₁ + β₂c₂ = ½(b² - a² )      ⌐

   dove: β(a)=a

           β(b)=b

Allora:

(...

α₁-α₂  → α(c)¹→{p(0+1)=⅔( b²);½(b-a)

{p(o+1)})

sostituisce nella formula

I -= α₁β(a)+β(b)=-½{βsub;a+β(b)}

La  regola  del  Trapezio  integra  in modo  esatto le funzioni

costrate  e&nipsf;  Riscete !

Mu oeteo peroo  un ode  debevo  qvni via  punzioni  costrote

e  hicini  Cor  devi  ea cesondeve qnest 7/

FORNUM  DI  CIVUN-LEGENDRE

Sedico vn detiviv uli [-,1 ] ,  e faccio in cambe di

cordiudi:

a=-1 β1               j

gf(xnn  a(X x( X/ ))- >

X =X(&y)

           f[x

           X=1

 cord eie hetcheg o&ToI; -nen; -7

           ince outp nes

dove lr ,δ 2 Rum saw point dell'oure

div &os  ticure e il      out io mornat

d&sbn; x 2, Dsponx iii

evx s vstere elle del eimsrlivl - iener vertrekken pleeote

L'ordine del polinomio

1° Equazione: Integro la funzione costante

f(z) = 1

w₁f(z₁) + w₂f(z₂) = ∫_-1¹ 1 dz = [z]_-1¹ = 2

Si sceglie:

f(z₁) = 1 e f(z₂) = 1

Allora:

w₁ + w₂ = 2

2° Equazione: Integro funzione lineare

f(z) = z

w₁f(z₁) + w₂f(z₂) = ∫_-1¹ z dz = 0

Si sceglie:

f(z₁) = z₁ e f(z₂) = z₂

Allora:

w₁z₁ + w₂z₂ = 0

3° Equazione: Integro funzione quadratica

f(z) = z²

w₁f(z₁) + w₂f(z₂) = ∫_-1¹ z² dz = [z³/₃]_-1¹ = 2/₃

Si sceglie:

f(z₁) = z₁² e f(z₂) = z₂²

Allora:

w₁z₁² + w₂z₂² = 2/₃

4° Equazione: Integro