Appunti di Teoria delle strutture - Parte 1 (Meccanica del continuo)

Richiami di meccanica del continuo

Analisi della deformazione

Ipotesi: piccoli gradienti di spostamento

• Materiali elastici lineari isotropi

Vettore posizione del punto P nella configurazione iniziale

Vettore posizione del punto P nella configurazione corrente

Vettore spostamento

Nell'ipotesi di piccoli gradienti di spostamento posso introdurre una matrice di deformazione data da

Matrice di deformazione (simmetrica)

Equazioni di congruenza (legano le componenti di deformazione alle componenti di spostamento)

Per questo ultimo si usa la notazione di Voigt che trasforma un vettore 3x3 simmetrico in un vettore di 6 componenti

Richiami di meccanica del continuo

Analisi della deformazione

Ipotesi: Assenti gradienti di spostamento

Materiali elastici lineari isotropi

Vettore posizionale del punto P nella configurazione iniziale

Vettore posizionale del punto P nella configurazione attuale

Vettore spostamento

Nell'ipotesi di piccoli gradienti di spostamento posso introdurre una matrice di deformazione data da:

Matrice di deformazione (simmetrica)

Equazioni di congruenza (legano le componenti del deformazione alle componenti di posizionamento)

Per questo ultimo si usa la notazione di Voigt che trasforma una matrice 3x3 simmetrica in un vettore di 6 componenti

ε_x ε_y ε_z { Dilatazione lineare

δ_xy δ_yz δ_xz { Scorrimenti angolari

Significato di ε_x

1) Significato di ε_x

Δx = ℓ - ℓ_o / ℓ_o = ε_x = ∂u / ∂x

Significato di δ_xy

2) Significato di δ_xy

δ_xy = ^π/₂ - β = ∂v / ∂x + ∂u / ∂y

Equazioni di congruenza

Eq-azioni di congruenza

Ε = {ε_x ε_y ε_z δ_xy δ_yz δ_xz} → Εφ → μμ {x }ωa

Vero: Ε = ∂μ / ∂n [∂x]_i [∂y]_j [∂z]_k

Le eq di congruenza legano E con μ vediamo come trovare la matrice S.

Ε = {ε_x ε_y ε_z δ_xy δ_yz δ_xz} = | ∂μ / ∂x 000 ∂ν / ∂x 000 ∂ω / ∂x 000000 | {μ ν ω} Matrice S

Dilatazione volumetrica

Dilatazione volumetrica

Δv = V-V₀ / V₀ = εₓ + εᵧ + ε

Direzioni principali di deformazione e dilatazioni principali

Direzioni principali di deformazione e dilatazioni principali ⇒ x è direzione principale di deformazione

m = { mₓ mᵧ m }

mⁱ = 1

Roto dalla superficie di deformazione & imposto il problema (ε - λ I)m = 0:

(εₓ - λ) mₓ + 1/2 εₓᵧ mᵧ + 1/2 εₓ m = 0

1/2 εₓᵧ mₓ + (εᵧ - λ) mᵧ + 1/2 εᵧ m = 0

1/2 εₓ mₓ + 1/2 εᵧ mᵧ + (ε - λ) m = 0

Imponiamo che il det. della matrice dei coefficienti sia uguale a zero, ovvero:

det (ε - λ I) = 0

Det di deformazione λ₁, λ₂, λ₃ ≠ λ₃, m₁ = 1, m₂ = m₃, m₃ = m₂ λ₁ = λ₂ = λ₃, m₃ ≠ m₁ ≠ 1 λ₁ = λ₂ = λ₃

Analisi della tensione

Ipotesi: piccoli gradienti di spostamento

Ci sono varie tipologie di carichi:

• Forze di volume b su ω [b] = FL^-3
• Forze di superficie t su ∂ω [t] = FL^-2

Se il corpo è in equilibrio e quindi sono soddisfatte le equazioni cardinali della statica ovvero:

R^o = ∫_ω b dv + ∫∂ω t ρ ds

M^o = ∫_ω x × b dv + ∫∂ω x × ρ ds

ΔF forza risultante azioni interne su ΔA

ΔM momento risultante "" ""

lim_ΔA→0 ΔF/ΔA = t(x, m) → vettore tangente

lim_ΔA→0 ΔM/ΔA = 0 → vettore nullo

Teorema di azione e reazione

Teorema di azione e reazione

t(x, m) = -t(x, -m)

Teorema di Rapple semianalisi o del tetraedro

Notazione di Voigt

Notazione di Voigt

_t = { _{σx mx + τyx my + τzx mz} τ_xy m_x + _{σy my + τzy mz} τ_xz m_x + τ_yz m_y + _{σz mz} }

Questa operazione con la notazione di Voigt come la posso scrivere?

t = N _σ [3x3] [3x6] [6x1]

_t = [ 0 0 m_y 0 m_z 0 m_y 0 m_x 0 0 0 m_z 0 m_y 0 m_z ] { σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_yz τ_xz }

Le equazioni indefinite di equilibrio sono:

div_σ + b = 0 { σ_x,x + τ_xy,y + τ_xz,z + b_x = 0 τ_yx,x + σ_y,y + τ_yz,z + b_y = 0 τ_zx,x + τ_zy,y + σ_z,z + b_z = 0 }

Come le posso tradurre utilizzando la notazione di Voigt?

B _σ + b = 0

B = [ ∂/∂x 0 0 ∂/∂y 0 0 ∂/∂z 0 0 0 ∂/∂x 0 0 ∂/∂y 0 0 ∂/∂z ]

Il conflitto B con S osserva che B = -S^T

LezioneS' \xi + b = 0

t(x,m) = p\mu \Omega\partial \Omega\Sigma

t(x,m) = N \sigma

Direzioni principali di tensione e tensioni principali

Direzioni principali di tensione e tensioni principali

t(m) / m

direzione principale di tensione

G = \begin{Bmatrix}\lambda 1 \\ \lambda 2 \\\lambda 3 \\0 \\0\end{Bmatrix}

Tensioni principali

\nu sistema di riferimento principale Mat.Taban Tauquerach.

\begin{Bmatrix}(\sigma x - \lambda) m_{x} + \tau_{xy} m_{y} + \tau_{xz} m_{z} = 0 \\ \tau_{yx} m_{x} + (\sigma y - \lambda) m_{y} + \tau_{yz} m_{z} = 0 \\ \tau_{zx} m_{x} + \tau_{zy} m_{y} + (\sigma z - \lambda) = 0 \end{Bmatrix}

Autovalori ed autovettori caratteristici

Scrivo legge secolare imponendo det = 0

\lambda^3 - J_1 \lambda^2 + J_2 \lambda - J_3 = 0

Invarianti di tensione

3 casi

\lambda 1 = \lambda 2 = \lambda 3 m_1 + m_2 = m_3\end{p>

\lambda 1 \neq \lambda 2 = \lambda 3 m_1 \perp m_1 = m_3

\lambda 1 = \lambda 2 = \lambda 3 x^m

Casi particolari

Casi particolari

\lambda 1 > 0 \lambda 2 = \lambda 3 = 0 Stato tensionale My \perp m_1 Matassine

\lambda 1 \leq 0 \lambda 2 = 0 \lambda 3 = 0 " " " Piano M_{3} m_{2} Piano dello tensione

My, Mz: Piano delle tensioni

Abbiamo quindi analizzato le:

Eq. di concorrenza

ε = :µ in Ω

µ = Ȟ in ∂Ω_u

Eq. di equilibrio + = 0 in Ω

Nδ = ρ in ∂Ω

t = Nξ

Principio dei lavori virtuali

Principio dei lavori virtuali

Hp: Abbiamo 2 campi discreti:

corpo di tensioni in equilibrio + = 0 in Ω

Nδ = ρ in ∂Ω

ε componente (Eq. di concorrenza)

ε_x = ∂/∂ ε_y = ∂/∂ ε_z = ∂/∂

σ_xy = (∂_y/∂x) + (∂_x/∂y)

σ_yt = (∂_t/∂y) + (∂_y/∂t) _yz = (∂_z/∂y) + (∂_y/∂z)

Il principio dei lavori virtuali dice che:

Lve = Lvi

data: Lve_Ω2 = ∫_Ω2 u^Tb dV + ∫_∂Ωg u^Tp dA + ∫_Ωu v^Tt_πμ t dA b= {b_x b_y b_z }, ρ= { P_x P_y P_z }

* -b:m = b_xm + b_ys + b_zw = m^T b

Quindi: Lve = ∫_Ω2 {m s w} {b_x b_y b_z} dV + ∫_∂Ωg {m s w} {^P_xP_z} dA + ∫_Ωu {m s w} {^T_xT_z} dA Lve = ∫_Ω2 {b_xm + b_ys + b_zw}dV + ∫_Ωg {π