Appunti di Telecomunicazioni

Il concetto di funzione e di segnale

Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme X associa un elemento di un altro insieme Y. Una funzione da R in R può essere rappresentata tramite un grafico. E può essere descritta tramite una legge matematica.

Segnale: una funzione del tempo f(x)=f(t). Un esempio di segnale è rappresentato da un tracciato EEG. Ad ogni istante t il tracciato associa un valore del potenziale elettrico sul grafico. (In questo caso non esiste una rappresentazione analitica della funzione).

Il concetto di frequenza e di banda di un segnale

Un segnale si dice periodico o ciclico se il suo andamento si ripete ad intervalli regolari. Ogni singolo intervallo di ripetizione è detto periodo o ciclo. Il periodo è dunque il tempo necessario a compiere un ciclo del segnale e si misura in secondi. La frequenza è il numero di cicli che si verificano nell’unità di tempo (di solito si misura in Hz). Tra frequenza e periodo esiste la seguente relazione f =1/T.

Un esempio di funzioni periodiche sono le funzioni sinusoidali. Una funzione sinusoidale, quale il seno o il coseno, è caratterizzata dai seguenti parametri:

• Ampiezza A (la differenza fra il valore massimo ed il minimo);
• Periodo T (la quantità di tempo trascorsa la quale la funzione si ripete);
• Frequenza: l’inverso del periodo (f=1/T), misurata in Hz.

Solitamente un segnale non è formato da una semplice sinusoide, ma Fourier ha dimostrato che ogni segnale può essere considerato come la somma di più segnali sinusoidali ciascuno di data frequenza e intensità. Se il segnale è periodico, esso si può scomporre in un certo numero di segnali sinusoidali le cui frequenze sono multipli interi di una frequenza chiamata frequenza fondamentale. I segnali componenti prendono il nome di armoniche. La prima armonica è detta fondamentale e la sua frequenza è 1/T; la seconda armonica ha una frequenza di 2/T, la terza armonica 3/T e così via.

Lo spettro di un segnale periodico è discontinuo, o come si dice discreto. Lo spettro di un suono puro (sinusoidale) è costituito da una sola riga. La banda occupata da un segnale è la regione di frequenze al di fuori della quale non vi sono componenti energetiche nel suo spettro; la sua misura in Hz è indicata come larghezza di banda. Qualunque segnale è dunque caratterizzato da un intervallo di frequenze nel quale sono comprese le frequenze delle sinusoidi che lo descrivono. Esso va sotto il nome di banda di frequenza del segnale.

Segnale analogico e segnale digitale

Segnale analogico: modalità di rappresentazione di variabili fisiche (suono, temperatura...) in cui una grandezza fisica è rappresentata mediante un segnale legato alla prima da una relazione di analogia. Il segnale analogico è quindi un segnale che varia con continuità nel tempo. Ad esempio, il telefono. Il suono è una vibrazione, che genera nell’aria dei movimenti ondulatori che danno la sensazione uditiva. Quando parliamo al telefono queste vibrazioni arrivano alla membrana della cornetta, che è in grado di convertirle in variazioni del potenziale elettrico; queste generano a loro volta una corrente elettrica variabile lungo il filo che giunge fino all’altro apparecchio, dove avviene il processo inverso.

Segnale digitale: modalità di rappresentazione di variabili fisiche nella quale la grandezza fisica è rappresentata da valori numerici (sulla base di una codifica binaria) che variano in modo discreto nel tempo. Il segnale digitale in pratica può assumere soltanto un numero finito di valori su un tempo finito. Solitamente l’informazione a disposizione non si trova già in modalità digitale, ma deve essere convertita.

La conversione analogico/digitale

Il processo di conversione di un segnale analogico in uno digitale avviene tramite due fasi di discretizzazione e una fase di codifica che permette di ottenere il segnale nella forma numerica finale. A tutto ciò provvedono due circuiti: ADC (analog to digital converter) e il DAC (digital to analog converter).

Il campionamento

Con il processo di campionamento, si considerano solamente i valori che il segnale assume in istanti di tempo prefissati, abbastanza ravvicinati tra loro. L’andamento del segnale nei restanti punti può essere ricostruito a partire dai valori conosciuti a patto che questi istanti siano abbastanza vicini tra loro. La distanza tra i due successivi valori noti del segnale è detta passo o periodo di campionamento. Ed i valori assunti dal segnale negli istanti noti, campioni del segnale. Ricordando che segnali con un alto contenuto in frequenza variano più rapidamente, si capisce come una scelta del passo di campionamento debba essere legata alla banda di frequenze occupate dal segnale.

Il periodo di campionamento Tc deve soddisfare il teorema del campionamento o teorema di Shannon. Il teorema afferma che il numero di campioni nell’unità di tempo deve essere almeno pari al doppio della frequenza massima del segnale che si vuole produrre; il numero di campioni nell’unità di tempo si chiama frequenza di campionamento del segnale legata al periodo di campionamento dalla relazione Fc = 1/Tc. In altre parole, un segnale analogico può essere ricostruito a partire dalla sua versione campionata, solo se il segnale originale è a banda limitata tra –B e +B e se il periodo di campionamento Tc è minore dell’inverso del doppio della frequenza più alta del segnale originale. (Tc < 1/(2B)). Se non rispettiamo il teorema il segnale campionato non descriverà esattamente l’originale, ma si avranno delle componenti indesiderate (fenomeno di aliasing).

La quantizzazione

Il segnale, anche dopo che è stato campionato...