Appunti di preparazione all'esame di Elementi di meccanica

Applicativi vettori

Nazioni sui momento Mo & detto (A polo D) punto 0) (A v è vx x - un =- , =? M varia se: non la applicazione lungo di dispostato vetta i P· viene applicazione di lungo diretta spostato retta O i/ alla · viene una Momento assiale [(A-0)x] M Polo M a direzione (A · Salare D) o =, = =: in, Mo Rappresenta la nella direzione scalore di componente di il ad lungo Me spostato i retta viene varia se non Sistemi vettori applicati di { } E ( ) A: :, , = ,

Il risultante di vettoriale tutti vettori vettore la è somma i E R [vi libera vettore >= un-la singoli tutti Il dei momento di momenti risultante è: somma rispetto vettori polo calcolati scelta a a un. (Pi-D) la Mo del x: Indica capacità sistema di attorno rotazione A provocare una.

Il momento risultante assiale è, (低 A +M ) ], '∵v δ>= 0-[Variazione di momento Legge del assiale dh Descrive risultante il comporta momento al variare come si pols ? MÖ FM 3)(0'=+= -Asse centrale MB// .a luogo E dei tali rispetto il punti nullo D' che o EE la retta costituite da di direzione stessa: con una.

Equazione parametrica

Kp CB .S γ) B+x = + ++'F( F-RMM8)y* VRy VERR0'(x XR+z) y x= =:y, , , 고 MRp γ) BE'( E= Invariante Invariante vettoriale scalare Punto centrale dell'Asse Indipendente dal Indipendente dal E il punto il cui per polo polo M ortogonale il momento è ai s, R I >BxMo-= >-P -=o 119/2pB% =r心 R indipendente.

Se centrale dal il momento esiste l'asse è 0,= e non polo dell'Asse centrale Momento punta Rispetto una BppR: : BMAsst B' Verifica centrale Punto appartiene all'Asse che un P>- =Mox.

Sistemi equivalenti

Due sistemi equivalenti se: sono Mo Mo7· =0: sistema be equilibrato dice equivalente A e sia un & de Massima riduzione Riduzione (P,R) a e g r e mi-Significa di applicativi vettori punto il che trovare sistema tale si z un #P applicata forza sola P equivalente a in una Mimin E/IRI=.

Procedure passo - passo

• Calcola centrale la esiste risultante 0 0 asse =- = =: non
• Scegli comodo polo di un- ( =: [Fi
• Calcola risultante momento il rispetto Da- Calcola ?B l'invariante scalare I Mo= 1- : verifico ve di speciale è se casa sopra:
• Trova punto dell'asse centrale p Bpz:- un To: 1
• Barivi centrale E nell'equazione (1) dell'asse +:- =-
• Calcola: momento il: sull'asse punto te sistema Il applicata nel equivalente risultante forza è a- a e una Mp//iP una coppia

Teorema shi Vari con Dato sistema di applicati rettori in ciplant D punto allora; i mun un, ala sistema equivalente vettore al costituite applicaty è unica in un & 'Ʃ= 3 3{ 0, bistera Piano dice le sistema d'applicazione di applicati Un rette vettori piano se si dei tutte del stanno sistema vettori piano i un su Sia IE sistemza 0#piano =un Applicatii.

Sistemi paralleli

Vettori β 0 .,{ i{(Ʃ= }ViG3Ai ;品: L 2} =,, di Centro di sistema /I un ( )E α CAi 0: =- ?M Centro =direzione dalla dipende Non di centrale 8 o asse =e.S Ʃα Aγ+: ,.:0, E di YAiYo : ·북 EAEαEo :i := E.

Esercizi

Info su Mp =?y) [s(P Verificare Verífico 0E che è a o se ep app. = =: ·un . ,, 走

Cinematica

Cinematica del corpo rigido Cinematica E la delle dei studia moto che il occuparsi corpi causescienza senza. Cinematica del Rigido Corpo libertà di Un gradi rigido ha 6 corpo: hi la rappresentano 3 Di- posizione o solidale direttori riferimento rispetto nel rappresentano 3 a coseni i- fisso quello del Moto.

Equazione del moto

S'(c (3) coordinate j Ays E 3 (2-+ per= , , della-componenti motrice A Velocità di (Pc velocità vÖ che la vp '0)) punto è+= conosciamo gia-x un [vincolo=DTs = ( w)0,8, Accelerazione 0')]c [c= (P d)i x (P+x -+ -tangenziale acc centripeta acc.

Formule di Poisson

o la di derivata al Jitemporale rigidysolidali Descrivono in corpo versari movimento i]i i =s solidale di ha Quindli derivata qualsiasi al temporale vettore un carpo rigido de data è Mazzi Asse di E punti frogo dato al dei rigido istante il che cor A& in, un, hanno velocità angelare alla velocità parallela. moto centro coinciale istantanea Nel rotazione di il piano con wXVo(P ÜÖdi XcoMozzi.

Equazione asse di Mozzi

B) .+ V scorrimento-- := c W Teorema Mozzi di Consideriam Allora detta di moto il rigida esiste vettacon asse una, .moto di tale vetta velocità punti che parallela della Mazzi hanno ia modlulo isa e minirm.

Teorema di Chasles

punti In le moto rigido normali di velocità il alle 2 passano per piano un l'attocentro di di istantanea normali rotazione Le parallele se sono. traslatoria moto è. trova 19 CIR delle normali rette vettori velocità all'intersezione ai si due punti del distinti rigido dei carpo.

• Traslatorio puro C =&
• Rotatoria pura ω≠ Vp Vp0o TWe B ===.E
• Elicoidale W Vp& Vpw + 0 +. 00 =

Passo dell'Elica v w.p = 12/2 Cinematica Invariante scalare I Vo s.= Cinematico Invariante vettoriale di L'asse istantanea di dice votazione quando il moto si asse mozzi del quell'istante tale descritto che rigido è pro in come corpo essere, ,rotazigne attorno retta un pura a.

Rotazione centro ed equazione istantanea

( cx(Da) C)IR quindi la punto & velocità nulla p: è in: cui = -= , Riferimento Coordinate CIR Fisso in- ...Evoy-wx E Vox/wVox Wyc Ya= =- = Voy/WI Xc0= = - 쁩YAYC *=

Teorema di Charles

.C I il R per ..x(Cc 0)D vo+ -= Distingviamo metodi due: le prendiamo due punti tracciamo rette Geometrico A e B e:- dell'intersezione perpendicolari Il di A punto vo passanti B a per e a e .de C itvette R1è.

Se disco di votola contatto abbiamo velocità punto il nulla che ha sarae un, il C .1 =o. Analitico Ci dice dove R a trova punto C(C-0 il rispetto che all- si. stiamo asservando il 2 le il rette 1 Se N B. è 1 parallele carpa impropria e sono c=o, ,., traslano lo sta solo.

Riferimento R solidale

I in. .S la Se(xc- C21 coordinata Cyc-ydsinG uguale o cosDGar sarà* + sua manca= +,di E alla uguale la cosralinata sarà sua+ y,(xc (4a 40)sinG dicosSxo) A alla Yar += -- - y sind YA/L"8/L Cos82 : =:

Rulletta

Base e dal C Base luogo sistema occupati nel Fissa) il punti R dei/o polare I è: . .di fisso riferimento dal C Rulletta luogo sistema occupati nel il mobile) polare la punti R dei I è: . .di solidale riferimento la strisciare Durante rullett moto vatola sulla Base: senza.

Queste dette dus polaritraiettorie curve sono. feorem& dal moto alsiasi rotolamento di rigido generato può piano essere corpo un Rulletta della sulla base puro. cinematicamente complesso importa quanto il Non meccanismo sia- , Rulletta rotola è Base che alla equivalente sulla sempre.

La lunghezza dell'arco lunghezza uguale alla sulla vulletta è percorso dell'arco sulla base percorso.

Baricentro e centro di massa

Come l'esercizio (Trovare svolge le delle? curve si equazioni S (Il S) modo parametrica parametro è l'angola opera in. Calcola della base·: del R funzione le di coordinate C Esprim 1 Sin.. .E{ f(G) Es Lcog)xc xa == . sinGg(d) L=YcYc = della Calcolo vulletta·: Bisogna cambio fare base di il. E h(S)5c = k(G)2c = forma Dalla parametrica cartesiana· a: Bisogna eliminare parametro d.il Dalle due isoto sostituisce cos26 1 Se singep in:: +Es scivola Asta che.E 23lcosb y2() (() 2? x2+= =1 +0=+t =(sinG=y sostituisco altri & In evicavocasi, Come che ?capire scrivere ep di il.

Fronte lato

Triangolo rettangolo (cost Il(sind· per: asense. lato il il 6 tocca che & coseno per e Laos Lsind chiuole punto Asta/Lamina il il CIR il che sarà· e: , rettangols centra base circonferenza la e una delle gei dell'incrocio ruota contatto di Disco/Rusta RC il il punto R S tra 1 è XG·: e= . ..-C terra l'asse la base è Raggio sempre x, Cerniera coincide Fissa il il (Chiodo Rotazione base La RC I· perno pura: .- con.. Rosd Rsind punto è RUp wx =un =:y ., ,

CAsta Doppio guide il chiude pendolo il Restremi % 1298·: su con..la base rettangolo grande- cerchia e un,

Cinematica dei moti relativi

Consideriamo fisso mobile sistema C assoluto (relativo e un uno Teorema Composizione di delle Velocità " ' tVe assoluta vel relativa vel룹: Va V := . .di vel il vel trascinamento= punto (P-D)+ che+ >- , . rigidamente fosse solidale avrebbe se al mobile sistema Caviolis di Teorema (x(P [ D')]àr àc E 2àn= D) (PEa + ++ += +- + -2xv2 =

Baricentro

Polo Rispetto Da un Sistemi siscreti (Particelle) Sistemi Continui:: So1 = (P-aos(G miCPD) (G 0=- -frodvmeot :

Tipi di vincoli

• Carrello votazioni consente spostamenti orizzontali: e . λDs Vincola verticali gli spostamenti unicamente ---1x冰
• Cerniera vincola votazioni gli spostamenti consente e: ---verticali orizzontali e tutti gli 亖
• Incastro vincola spostamenti: Tra
• Cerniera Travi Due votazioni consente vincola 1xe: o verticali gli spostamenti &∝e orizzontali

Masse geometriche

Delle lo Tensore) Matrice l'inerzia votazione d'Inerzia alla misura .:-Irt Irytzよ Solam diagonale d'inerzia sulla momenti sono [Is] .Iyy -IyzTyx gli indicano la di prodotti quanto altri-= inerzia sono massa, sbilanciata ternari rispetto alla è[ IEEIt- EyCasi notevoli = m(lungo Io Asta sottile 18 massa x corpo: ., 6) lati (di Rettangolare Lamina sul 28: corpaa piano e xy .=

Attorno taglia m62 che all'asse /b In· a: Attorno all'asse 2 mIx 62)(22Iz In Izz·:z 0+ +=== = Lamina Buadvata 2mL2Izzm(2[x [yy: = = Circonferenza EmpmR2Izz [x FolimIyy=: = ==

Prodotti d'inerzia

fup In diagonale dV Se matrice prodotti d'inerzia la nulli è sono i= x y.. . ,

Teorema di Huygen-Steiner

Serve //calcolare momento baricentrico d'inerzia il rispetto relasse asse a a una Defi Il momento momento ugual equalsiasi d'inerzia ao) rispetto al è asse un d'inerzia il all'asse termine il parallelo passante baricentro rispetto più per, di trasporto Fasse ?Mol[c: +. il dei G deve baricentro due Uno Non può passare assi passare per si.sa all'altro A direttamente Fare BG Devi + >asse un -.

Ellissoida d'inerzia

luogo È P geometrico distanza la dei il polo tali d dol punti che lungo proporzionale inversamente alla A radice è asse nun quell'asse del d'inerzia rispetto momento quadrata a ㎥=&P= P Oo =- Encalcaliam tuttebe superfici le P formano punti per in, ellisside un. schiacciato d'inerzia l'albissoida momento il Se grande è è, allungato d'inerzia momento il l'ellisside piccolo Se è è,

Equazione

:I だIyy ytIZE は+ ツーマよーだョのーてよ+ yヨーてよ:t YZ? 2 “'5

Riferimento d'inerzia principale

Equazione in un Fyy よ2Itt y れこ+ +' =+ EZ Diagonalizzazione trova principale riferimento il ?Come si: Per della matrice alla diagonale matrice passare piena. Prendi det([to]-X[1]) risolvi matrice la soluzioni [[a] travanalo 3o· =e, ,X Xz momenti principali d'inerzia 13 che 3 saranno i, , Per autovettore sarà degli a la trovi direzione che· v ogni un principali assi.

La condizione d'Inerzia principale che è sia cui i in asse un produtti la coinvolgono Ixz che Iyz i o nulli sono: o=be di ha materiale quello simmetria è· asse, asse corpo un un principale al'inerzia l'asse perpendicolare di se materiale simmetria ha· piano corpo un, quel principale al'inerzia piano è& asse un.

Momenti d'inerzia

Formule ((Sydn am Momento d'inerzia 24)[x asse per =: =un +am CanraledV .cartesiane= al m pokay Squadrati Oggetti dz