Appunti di Motori aeronautici e propulsione

APPUNTI DI MOTORI

AREONAUTICI E

PROPULSIONE

LEZIONE 1:

INTRODUZIONE AI CONCETTI FONDAMENTALI:

GEOMETRIA DELLE PALE:

In figura è stata riportata una schematizzazione di due pale 3D di una turbina e ne sono evidenziate le

grandezze fondamentali; la geometria della pala può essere data in forma analitica o per punti e la sua

costruzione geometrica viene tipicamente schematizzata definendo una linea media, che costituisce lo

scheletro del profilo, su cui vengono riportati gli spessori; il primo e ultimo punto di tale linea sono definiti,

rispettivamente, come LE (Leading Edge = Bordo d’attacco) e TE (Trailing Edge = Bordo d’uscita); il segmento

che unisce LE e TE, se sono noti, viene definito corda c (se LE e TE non sono noti, si assume la proiezione del

profilo sul piano); altre grandezze importanti sono lo spessore massimo t , assegnato come t /c, lo

max max

spessore del TE t, normale alla direzione TE e dato come t/c e la direzione geometrica ingresso e uscita pala

Sull’albero non è montata una singola pala, ma una schiera di N pale; è quindi utile definirne la nomenclatura:

- Passo angolare , dove è il numero delle pale

- Passo lineare : E’ la distanza fra i punti corrispondenti di 2 pale contigue in direzione tangenziale; spesso

viene dato come rapporto con la corda o l’inverso di tale rapporto, che prende il nome di solidity =

- Angolo di calettamento : Angolo fra corda e direzione di riferimento (assiale nella notazione anglosassone)

′

- Passo ridotto , dove è lo spessore del bordo d’uscita in direzione tangenziale (non è nel disegno)

= −

- Sezione del canale normale allo scarico : Viene misurato dal diametro del cerchio inscritto al canale nella

sezione sbocco e in genere, per schiere subsoniche o debolmente supersoniche, coincide con la gola del canale

- Angoli geometrici in ingresso e in uscita per una schiera statorica, per una schiera rotorica:

, ,

Definiscono l’orientamento della pala in schiera in ingresso e in uscita (di statore e di rotore rispettivamente)

- Deflessione geometrica : Misura l’inarcamento del profilo (non rappresentata nel disegno)

= |∆ | |∆ |

In aggiunta alle definizione geometriche è utile introdurre gli angoli cinematici, significativi per definire la

direzione di pala e flusso in ingresso in uscita pala e soprattutto la differenza fra direzione reale di flusso e pala:

- Angoli cinematici in ingresso e uscita , per uno statore, , per un rotore: Consentono di definire

, ,

la direzione del flusso nel piano blade to blade (si suppone il flusso uniforme in una sezione a monte e a valle)

- Incidenza ed angolo di attacco: Misurano la direzione del flusso in ingresso rispetto alla pala; l’incidenza è

||

definita rispetto alla direzione geometrica in ingresso e, in modulo, è data da ,

= | − | o | − |

mentre l’angolo di attacco è misurato rispetto alla corda; come criterio generale si assume l’incidenza

positiva quando la deflessione del flusso è maggiore di quella a incidenza nulla

- Deviazione : La direzione del flusso in uscita coinciderebbe con la direzione geometrica solo se le passe

fossero infinitamente vicine e sottili, ma in generale il flusso reale devierà meno di quello imposto dalla

geometria; si introduce quindi un angolo di deviazione del flusso dalla direzione geometrica, il cui modulo è

||

dato da: o ; riguardo al segno, al contrario di quanto detto per l’incidenza, si

= | − | | − |

assume deviazione positiva quando il flusso devia meno di quanto imposto dalla direzione geometrica

URTI:

L’urto è una discontinuità/variazione estremamente localizzata, cioè rapida e forte, delle variabili pressione

e velocità, che può interagire con lo S.L causandone separazione e portando a dissipazione d’energia del flusso

Si consideri un profilo alare che viene investito da un

flusso con numero Mach via via crescente: Si vuole

capire cosa succede e che strutture si vanno ad

instaurare quando il flusso interagisce con la pala:

1) Ma = 0.5: Regime moto completamente subsonico

2) Ma = 0.72: Raggiungimento, per questa tipologia

di pala, del Mach critico, cioè esiste un punto sonico

3) Ma = 0.77: Instaurazione dell'onda d'urto, che si

manifesta con forte accelerazione e ricompressione

del flusso (pressione aumenta, velocità diminuisce);

questo fenomeno provoca un distacco di vena fluida,

cioè il flusso non riesce più a rimanere attaccato alla

superficie quindi separa, tornando subsonico a valle;

problematico, in quanto zone a flusso separato non

contribuiscono a fornire energia utile in uscita

4-5) Ma = 0.82; 0.95: Aumentando ulteriormente il

numero Ma, l'onda d'urto diventa sempre più forte e

si sposta a valle, fino, al limite, ad uscire al TE: Si avrà

una pala quasi interamente avvolta da una zona

supersonica (zona di separazione in coda al TE)

6) Ma = 1.05: Ulteriori aumenti Ma non consentono

alla struttura di adattarsi, Il fluido quindi ricomprime

a monte della pala e va ad instaurare un regime

completamente supersonico, dando luogo a un’onda

d’urto staccata

LEZIONE 2:

VORTICITA’: ⃗

⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗

La vorticità è una quantità vettoriale; viene definita come il rotore della vorticità, ovvero: = × =

= Rotazione media dell’elemento di fluido

ω

⃗⃗

Dove: M ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗ ⃗ [flusso

⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗ ⃗

⃗⃗

Equazione di conservazione della vorticità: = + ∙ = ∙ + incomprimibile]

∂ω

⃗⃗ = Termine instazionario

∂t ⃗

⃗

v ∙ ∇

ω

⃗⃗ = Termine convettivo

⃗ (termine

ω

⃗⃗ ∙ ∇

v

⃗ = Termine convettivo sorgente o "pozzo di vorticità")

2

∇ ω

⃗⃗ = Termine diffusivo: Fa capo a fenomeni diffusione, dissipazione, trasferimento informazione nel B. L

Se si considera il caso 2D (piano XY) l’equ. può essere opportunamente semplificata (solo componente in Z):

∂v

⃗

⃗

⃗

= + ∙ = [2D: ω

⃗⃗ = ω ; v = 0; = 0]

z z

∂z

Nel momento in cui si trascura la viscosità , è possibile osservare come: , ovvero la vorticità viene

=

trasportata lungo la linea materiale del moto; questo rappresenta un risultato importante poiché da conto

della conservazione delle strutture vorticose (utile ad esempio per effettuare valutazioni su flussi secondari)

Nel caso 3D il trasferimento d’informazione avviene in tutte e tre le componenti disponibili; ad esempio in Z:

⃗ [⋯

⃗

= + ∙ = + + + ⋯ = termine viscoso]

− : Termine che da conto dello stiramento e accorciamento delle linee vorticose

− + : Termini incrociati che danno conto delle oscillazioni delle linee vorticose

TEOREMA DI STOKES:

Enunciato: Il flusso di vorticità attraverso l'area A è pari alla circolazione Γ lungo il contorno C che la circonda:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗

× ∙ ∙ = ∙ ∙ = ∙ =

∫ ∫ ∮

Questo teorema definisce un legame tra circolazione, flusso e vorticità e dimostra l’esistenza dei vortex tubes

⃗ ⃗

⃗ ⃗⃗⃗

Per definizione: , quindi vi è analogia tra flusso di massa e di vorticità:

() = ∙ = ⇔ ∙ =

Quindi poiché il vincolo di divergenza nulla implica l’esistenza di uno streamtube, composto da streamlines,

equivalentemente esisterà uno streamtube vortex (o vortex tube), composto da vortex lines; inoltre, poiché

in uno streamtube il flusso di massa che attraversa una sezione del tubo è indipendente dall’orientazione

dell’area o dalla posizione lungo il tubo, ugualmente, in un vortex tube, il flusso di vorticità è indipendente

dall’orientazione dell’area e dalla posizione lungo il tubo

Quindi, definita un’area di controllo delimitata dalla curva C, si ottiene la figura

a sinistra, dove le linee dirette come il vettore rappresentano le streamlines,

v⃗

mentre le linee dirette come le vortex lines

ω

⃗⃗

Si consideri ora un vortex tube; si vuole capire come nasce la vorticità nel tubo sfruttando il teorema Stokes:

In figura è rappresentato il segmento di un vortex tube; in

pratica è un cilindro in cui viene lasciata una fessura [1234]

Si definiscono: A = Superficie di ingresso; A = Superficie

1 2

uscita; = Normale, positiva uscente; = Vettore vorticità;

n

⃗ ω

⃗⃗

le frecce rappresentano i versi di percorrenza della superficie

La circolazione intorno alla curva è nulla per definizione, cioè:

[ω

⃗

= ∙ = ⃗⃗ ∙ n

⃗ = 0]

∮

2 3 4 1 3 1

Considerando i ≠ contributi: Γ = ∮ v

⃗ ∙ ds = ∫ v

⃗ ∙ ds + ∫ v

⃗ ∙ ds + ∫ v

⃗ ∙ ds + ∫ v

⃗ ∙ ds = ∫ v

⃗ ∙ ds + ∫ v

⃗ ∙ ds = 0

C 1 2 3 4 2 4

Dove il primo e terzo integrale sono stati eliminati in quanto uguali e opposti; portando al RHS 1-4 si ottiene:

⃗ ⃗

= ∙ = ∙

∫ ∫

Applicando il teorema di Stokes, è possibile passare dall’integrale di linea all’integrale di superficie; si ottiene:

⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗

∙ = ∙ ⇨ ∙ ∙ = ∙ ∙

∫ ∫ ∫ ∫

Se la vorticità è costante si può riscrivere l’integrale, come per l’equazione di continuità, come: =

Quindi il vortex tube (tubo vorticoso) non può né generarsi né spegnersi nel fluido in quanto richiederebbe

vorticità infinita: A generare/modificare/spegnere i vortici sono vorticità e/o pareti solide (es: lastra piana...)

⃗⃗⃗

⃗

′

⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗

Si consideri nuovamente l equazione di conservazione della vorticità: = ∙ +

Quest’equazione ha importanti conseguenze, infatti, il LHS non è che la variazione nel tempo della vorticità

di una particella (elemento) di fluido, e indica, in particolare, che un elemento (di fluido) che non possiede

vorticità diventerà vorticoso se e solo se: 1) la vorticità; 2) Il flusso non è barotropico, cioè la pressione

∃

non è solo funzione della densità e viceversa: Questo porta alla generazione di gradienti che innescano

vorticità; 3) Vi sono forze di campo che non agiscono nel centro di massa (ad esempio le forze di Coriolis)

Nello studio vorticità è importante considerare l’evoluzione

dello Strato Limite (S.L o B.L [Boundary Layer]), in quanto

la viscosità è rilevante soprattutto in questa zona (il B.L è

infatti una zona di “vorticità concentrata”); per l’equivalenza

già discussa tra continuità e vorticità, è possibile effettuare

ragionamenti analoghi tra velocità e vorticità

La vorticità, in particolare, può essere modificata tramite il termine convettivo e il termine diffusivo; questi

vengono chiamati, rispettivamente, stretching term, che tiene conto di come si può allungare/accorciare il

vortex tube a seguito della vorticità, e production term, che tiene conto di come la vorticità si genera/annulla

DISEGNO E PROGETTAZIONE DELLE PALETTATURE SUBSONICHE:

in figura è riportato il design 3D delle pale di una turbina;

la separazione avviene tipicamente nella zona in cui è

presente un gradiente pressione avverso (tra le due zone

rosse), ovvero nella zona del SS, che sarà pertanto la più

problematica e a cui prestare una maggiore attenzione (il

PS è meno problematico, ma ovviamente da considerare)

Il flusso in ingresso alla pala entra con un certo angolo

d’incidenza (si ricorda che, in campo supersonico, vi è

incidenza unica, cioè l’angolo di incidenza è fissato [non è

così in campo subsonico]), ed allo scarico esce con una

certa deviazione rispetto a quella imposta dalla geometria

(si assume che la deviazione è positiva se il flusso devia

meno rispetto all’imposizione teorica della geometria)

Nella progettazione delle palettature si deve prestare particolare attenzione a tutte le zone critiche per il

funzionamento, flusso e resistenza strutturale della pala; queste, in particolare, sono LE&TE; SS&PS, in cui i

primi influiscono sia sulla modalità con cui il fluido entra ed esce dalla pala, sia sulla resistenza strutturale

della stessa (ad esempio si deve tenere in considerazione che le superfici sono esposte ai gas caldi, etc…)

Le prestazioni del profilo dipendono, oltre che dalla sua geometria, anche dal rapporto passo/corda s/c e

dall’angolo di calettamento ; altre caratteristiche importanti sono la “camber line” (linea media), che

γ

costituisce lo scheletro del profilo, su cui vengono riportati gli spessori, e lo “stagger”, che indica come è

montata la pala rispetto ad una direzione di riferimento

REGOLE GENERALI DA SEGUIRE PER LA PROGETTAZIONE DI PALE SUBSONICHE:

1) Canale convergente (in regime subsonico rappresenta la configurazione tipica, eccetto per casi particolari)

2) La curvatura delle pale deve essere tale che la superficie risulti continua (spigoli da evitare in quanto sono

una variazione delle aree viste dal flusso e possono portare a ventagli di espansione o, viceversa, a degli urti)

3) Il Pressure Side [PS] è meno delicato rispetto al Suction Side [SS]

4) Il Suction Side [SS] è il tratto che presenta le maggiori perdite ed è quindi il tratto più importante da

analizzare: Non si vuole avere un flusso che si stacchi dalla superficie della pala (separazione), in quanto

porterebbe ad un aumento di perdite e quindi ad un calo d’efficienza; la separazione avviene tipicamente

nella zona rettilinea in cui velocità diminuisce e pressione aumenta, causando ricompressone; per ridurre le

perdite si lavora sulla curvatura nella zona rettilinea SS e sulla forma del canale nella zona di decelerazione

5) L’angolo d’apertura del Leading Edge deve essere sufficientemente grande;

δ

idealmente si vuole un avere un bordo liscio, cioè caratterizzato da superficie

ellittica o circolare, in modo da accomodare al meglio le differenti condizioni

operative (si evitano bordi appuntiti in quanto sarebbero funzionali solo nella

condizione operativa nominale, cioè quella per cui sono stati progettati)

6) L’angolo d’apertura del Trailing Edge sufficientemente “piccolo”, in funzione del regime di moto, che detta

le strutture che si andranno a creare (per regimi subsonico: transonico )

δ = 8° ÷ 12°; δ = 4° ÷ 8°

per regime

Questi risultati possono essere ottenuti tramite appositi metodi di disegno, che si suddividono in tre tipologie:

A) Metodi diretti: Si effettua una modifica “diretta” della geometria, ovvero noto il profilo analitico della

pala, questo viene modificato attraverso opportune funzioni analitiche ed algoritmi che consentono di

variarne la curvatura (per un software CAD si possono avere, ad esempio: spline, ellissi, parabole, etc…)

B) Metodi inversi: In questo caso si ragiona al contrario, ovvero partendo da una distribuzione di velocità,

cioè un campo vettoriale di velocità assegnato da cui si vogliono ottenere determinati triangoli di velocità, si

creano delle mappe che consentano di trasformare l’informazione di velocità in un’informazione geometrica,

tipicamente tramite metodo olografico (è un metodo ad oggi poco utilizzato)

C) Semi-inversi: Metodo intermedio tra i primi due in cui si ha una pala strutturalmente (meccanicamente)

corretta che viene modificata geometricamente per ottimizzarne l’aerodinamica (la pala è già esistente

quindi non si utilizzano funzioni analitiche, ma funzioni obiettivo per raggiungere le condizioni di ottimo)

CARICO PALARE:

Aspetto importante nella progettazione del profilo è costituito dal carico palare, che indica quanto lavoro

(forza) viene raccolto; obiettivo, in particolare, è individuare il carico palare che massimizzi le prestazioni del

profilo (carico ottimo); questo viene fatto agendo sul rapporto passo/corda (pitch/chord), pari a: =

Per capire come variano le prestazioni del carico palare al variare

del passo, si consideri la seguente figura, in cui sono riportate 2

diverse configurazioni di schiera piana (1-2 & 1-2’) ed è indicata,

in arancione, la sezione di gola, ovve