Appunti di Misure meccaniche e termiche

Christian Mauri - UNIVPM Misure meccaniche e termiche a.a. 2023/2024

Concetto di misura

Misurazione processo mediante il quale si quantifica una grandezza fisica. Misura risultato del processo di misurazione. Incertezza di misura ha diverse cause:

• Interferenza dello strumento di misura sul fenomeno fisico che si vuole misurare
• Livello di approssimazione del modello
• Grandezze di disturbo → incertezza = assegnare un valore intorno cui il parametro misurato può variare

L'incertezza dipende dalla risoluzione dello strumento di misura e deve essere definita in funzione della finalità della misurazione. Definizione di misura: costituita da numero, incertezza e unità di misura: = 1500 ± 0.5 Es. L'esecuzione di una misura si basa sulla schematizzazione con un modello.

Grandezze e strumenti di misura

Grandezza principale è la grandezza da misurare. Grandezza secondaria o di interferenza dipende dall'ambiente di misura (ad esempio temperatura, umidità dell'amia, stato di sollecitazione) introducendo interferenze nella misura della grandezza principale, visto che non opero in un ambiente isolato. → Grandezza di disturbo non identificabile introduce una incertezza nella misurazione devo tenerne conto. Nella lunghezza di una bava occorre esprimere la temperatura a cui viene effettuata, poiché la variazione di temperatura determina una variazione di lunghezza.

Trasduttori elementari elementi il cui ingresso è sensibile a uno o più parametri e la cui uscita è una grandezza fisica correlata al parametro di ingresso. Nel caso di strumento per misure statiche la funzione di trasferimento è rappresentata da K.

Tipi di ingresso

• Desiderati: grandezza fisica che vado a misurare
• Disturbo: grandezze che sono indesiderate e verso cui lo strumento deve avere idealmente sensibilità nulla.
  • Modificatori: variano il valore dell'uscita variando la legge fisica che lega ingresso e uscita = Se può variare K o la legge si modifica in un'altra funzione
  • Interferenti: variano solo l'uscita anche se l'ingresso rimane uguale

Compatibilità delle misure

Compatibilità delle misure quando le fasce di valore assegnate a diverse misure hanno un tratto in comune. La compatibilità NON è una proprietà transitiva. A-C e B-C sono compatibili, mentre A-B non sono compatibili.

Sistemi di unità di misura

Unità di misura termine di riferimento adottato per convenzione. Sistema di unità di misura insieme organico di definizioni di unità di misure pertinenti a grandezze di specie diverse tra loro collegate. Campione termine di riferimento per grandezze della stessa specie. Esso costituisce l'unità di misura e deve essere:

• Preciso
• Accessibile
• Riproducibile
• Invariabile

Sono riferiti alle proprietà atomiche della materia. Sistema internazionale ci sono 7 unità di misura base, definite secondo costanti della fisica:

• Metro: in funzione della velocità della luce
• Secondo: in termini di frequenza della transizione iperfine dell'atomo di cesio
• Candela: in termini di efficacia luminosa
• Chilo: in termini della costante di Planck
• Ampere: in termini di conica elementare
• Kelvin: in termini di costante di Boltzmann
• Mole: in termini di costante di Avogadro

Partendo dal sistema internazionale è possibile definire una qualsiasi grandezza derivata G: [] [] [] [] =

Grandezze fisiche

Fondamenti di analisi statistica

Valore atteso può essere definito solo in termini statistici o probabilistici. Grandezza misurata ha sempre un errore (DEVIAZIONE) rispetto al valore atteso.

Accuratezza e precisione

L'ACCURATEZZA (A) è il grado di approssimazione della quantità misurata al valore atteso, mentre la PRECISIONE (B) è l'indicazione di un insieme ripetuto di misure della stessa quantità e indica il grado di scostamento dei risultati delle misure tra loro. Errore grossolano dovuto a imperizia o distrazione, ed è eliminato ripetendo l'esperimento. Errore sistematico ripetendo la misura nelle stesse condizioni si ripetono con lo stesso segno e la stessa ampiezza. È dovuto a una non corretta taratura e influenza l'accuratezza della misura. Per evidenziarlo devo confrontare i risultati con quelli di strumenti più accurati. Errore accidentale dovuto a imprevedibili fluttuazioni delle condizioni operative, strutturali o ambientali. Può permanere anche se elimino gli errori grossolani e sistematici. Tanto più è piccolo, tanto più la misura è precisa.

Rappresentazione dei dati e distribuzione

Media dei valori è la migliore approssimazione del campione statistico di elementi e rappresenta la stima del valore atteso: 1 = ̅ = ∑=1. Bias differenza tra valore medio e valore atteso = − ̅. Residuo deviazione della i-esima misura dal valore medio (dispersione): . Non posso quantificare la dispersione con la media delle deviazioni, in quanto sempre nulla per definizione: 1 1 ∑=1 = ∑ − ̅ = 0 =1 =1. Deviazione standard migliore misura della dispersione definita in termini dei quadrati delle deviazioni dalla media: ℎ 1 12 2 = √ ) √ ∑=1 = ∑( − ̅ −1 −1=1 =1. Varianza quadrato della deviazione standard o scarto quadratico medio: =1−1.

Suddivisione in classi e criteri

Rappresentazione dei dati utilizzo la frequenza delle letture, cioè il numero di volte che la lettura si ripete all'interno delle letture. Definisco la frequenza relativa. Nel caso in cui tutte le letture sono diverse tra loro, la frequenza sarebbe per tutte le letture. Conviene quindi raggruppare in classi di appartenenza sottoinsiemi di letture (intervalli tra il valore minimo e quello massimo).

Funzione di distribuzione e probabilità

Suddivisione in classi di appartenenza - Criterio di Sturges il numero ottimale di classi per il numero di osservazioni è 10 = 1 + . Definiti i valori massimo e minimo, l'ampiezza di ogni classe è definita da . Il termine generico appartiene a se .

Frequenza e probabilità

• Frequenza indicata con , è il numero di dati che appartengono a una determinata classe
• Frequenza assoluta numero di elementi appartenenti a una classe
• Frequenza relativa rapporto tra numero di elementi di una classe e numero totale di soggetti del campione, ⅆ=
• Densità di frequenza rapporto tra frequenza relativa percentuale e ampiezza della classe = ∑
• Frequenza cumulata all'aumentare delle classi è , ,=1
• Probabilità che un elemento del campione si trovi nell'intervallo che definisce la classe è = lim →∞

Distribuzione di probabilità

Andamento della probabilità in funzione delle K classi può essere rappresentato con:

• Istogramma delle frequenze
• Poligono delle frequenze

Funzione densità di probabilità curva continua che rappresenta la distribuzione di probabilità. Definita come il rapporto tra la frequenza percentuale e l'ampiezza delle classi di appartenenza = () = lim ∆∆→0. Se integro tra due punti del diagramma, ottengo la probabilità che il valore si trovi all'interno dell'intervallo considerato () = ∫ ()ⅆ. Funzione di distribuzione cumulata esprime la probabilità che la lettura sia minore o uguale a un certo valore se () = ∫ ()ⅆ−∞ () = ()ⅆ = 1. La probabilità di trovare un valore su tutto l'intervallo è 1: ∫−∞.

Funzione di densità di distribuzione normale o gaussiana

Utilizzabile se ho elevato numero di misure, che hanno debole tendenza dal discostarsi dal valore atteso. Dipende da: valore medio deviazione, standard indice di incertezza di misura 2(−)1 [− ]2() = 2√2. La forma della curva dipende da:

• Larghezza
• Posizione su asse x

L'area sottesa alla curva è la probabilità. La probabilità che la lettura cada tra:

• ± → 68,3%
• ± 2 → 95,4%
• ± 3 → 99,9%

Dove 1,2,3 sono i livelli di confidenza (o fattori di copertura). La probabilità è maggiore nei pressi del valore medio.

Incertezza relativa e categorie

Incertezza relativa deviazione standard della densità di probabilità. Incertezza di categoria A l'incertezza diminuisce all'aumentare del numero di dati esaminati. () = √. Posso ridurre l'incertezza casuale:

• Riducendo la dispersione
• Aumentando numero di misure

Incertezza estesa incertezza relativa moltiplicata per il fattore di copertura K, che dipende dal grado di confidenza della distribuzione = ⋅ (). Incertezza di categoria B nel caso in cui una misura non sia ripetibile. Può essere stimata in base a:

• Misure precedenti
• Conoscenza generale dei materiali e degli strumenti
• Specifiche tecniche
• Dati di taratura
• Dati manuali

La distribuzione dell'incertezza si stima a priori.

Caratteristiche degli strumenti di misura

Sono la sintesi di un modello matematico che descrive il comportamento dello strumento e la relazione tra ingresso e uscita.

Caratteristiche statiche e dinamiche

Caratteristiche statiche legate alla risposta dello strumento a ingressi non variabili nel tempo. Caratteristiche dinamiche legate alla risposta dello strumento a ingressi tempo-varianti.

Determinazione proprietà metrologiche

• Modello matematico deriva dall'analisi dei principi alla base del funzionamento dello strumento. Va verificato mediante la taratura.
• Taratura statica in un ambiente controllato vario solo un ingresso in modo quasi statico (con gli altri costanti). Misuro l'uscita e monitoro l'ingresso con uno strumento che ha almeno un'incertezza di almeno un ordine di grandezze inferiore rispetto allo strumento. Determina la sensibilità statica, la linearità, l'accuratezza e la sensibilità di disturbi.
• Taratura dinamica in un ambiente controllato, attraverso una legge nota, vario nel tempo un solo ingresso.

Procedimento di taratura

Isolo il trasduttore e vario un ingresso in un certo campo di valori. L'ingresso è noto (come un campione di laboratorio). La taratura è la relazione che ricavo con questo procedimento.

Analisi di regressione e metodo ai minimi quadrati

Analisi di regressione serve a determinare la curva interpolante che approssima i valori. Metodo ai minimi quadrati il valore più probabile di una quantità misurata è tale che la somma dei quadrati delle deviazioni delle misure da tale valore è minimo. Suppongo di avere acquisito N valori delle variabili e 0( + ) ⅆ = + −. La deviazione di con la retta sarà 0 2 2( ) ∑ ⅆ = ∑ + −. Minimizzo facendo la derivata rispetto a 0=1 =1 e rispetto a uguagliando a zero, ottenendo così due equazioni, una per.e l'altra per.

Incertezza di linearità

Incertezza di linearità retta ai minimi quadrati che identifica l'accuratezza della stima dei valori. PER BASSI VALORI prevale incertezza legata alla deriva di zero. PER ALTI VALORI prevale l'incertezza di sensibilità.

Finalità della taratura statica

Quattro finalità:

• Determinare funzione che lega ingresso e uscita (retta ai minimi quadrati preferibile)
• Determinare parametri della retta
• Determinare incertezza di linearità
• Determinare incertezza di misura 0 = 1 2√ ) = ∑( + − 00 =1

Eliminazione errore sistematico

Identificati tutti gli ingressi dello strumento, ne vario solo uno mantenendo costanti gli altri. Registro l'uscita del sistema e ricavo la legge che lega ingresso e uscita. Elimino l'errore sistematico con le curve di taratura.

Calcolo dell'errore casuale

Dopo aver calcolato la dispersione intorno alla curva di taratura, risalgo all'incertezza sull'ingresso, scelgo il fattore di copertura e infine determino l'incertezza estesa.

Curve di taratura

Curva di taratura lineare

La dispersione di coppie di punti si dispone intorno a una retta. La dispersione si può disporre intorno alla retta interpolante:

• A percentuale della lettura costante A
• A percentuale del fondo scala costante B
• Combinazione di A e B

Curva di taratura bilineare

Non posso approssimare a una retta ma a due tratti lineari distinti 0 ≤ ≤ 1 1 ≤ ≤ 2. e Presenta un'incertezza di linearità a percentuale della lettura costante A.

Curva di taratura polinomiale

Non posso approssimare a una retta ma a una polinomiale. Presenta un'incertezza di linearità percentuale del fondo scala B.

Curva di taratura sigmoide

Posso approssimare a una retta solamente nel tratto centrale. Presenta un'incertezza di tipo combinato A + B.

Campo di misura e sensibilità

Campo di misura fondamentale per la scelta di uno strumento e per il dimensionamento. In campo dinamico si usa il decibel. ⅆ = 20. Fondoscala valore massimo del campo di misura. Spesso usato in % per adimensionalizzare le altre caratteristiche statiche. ⅆ0 =. Sensibilità statica è la pendenza della curva di taratura: ⅆ =. Risoluzione è la più piccola variazione misurabile della grandezza in ingresso:

Soglia e ripetibilità

Soglia risoluzione in corrispondenza dello zero è il più piccolo ingresso misurabile. Ripetibilità qualità metrologica di strumenti che hanno errori piccoli. È valutata con misure ripetute in condizioni uguali. Deviazione standard o sconto tipo del campione di misure effettuate. Incertezza di ripetibilità è il doppio della deviazione standard. Campo di ripetibilità differenza tra valore minimo e valore massimo.

Isteresi

Isteresi curva di taratura per valori crescenti è diversa da quella per valori decrescenti. Causata da irreversibilità interne allo strumento che generano attriti meccanici o dissipazioni di energia. È data dalla differenza massima tra curva di carico e di scarico e di solito è metà del fondo scala. È necessario far variare prima l'ingresso in salita e poi in discesa. ( − + ).

Linearità

Linearità misura della massima deviazione dei punti di taratura della retta interpolante. La deviazione può essere rappresentata come percentuale del fondo scala o della lettura: ( ( − − ) − − ) ⋅ 100 ⋅ 100|.