Appunti di Meccanica razionale 2

Politecnico di Milano

Facoltà di Ingegneria

Corso di laurea in Ingegneria Civile

Appunti

Meccanica razionale 2

Studente: Lorenzo Sostegni

Matricola: 996088

Academic Year 2022-2023

Indice

1 Cinematica 1

1.1 Cinematica del punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistemi di N punti materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Teorema di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Legge di distribuzione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Legge di distribuzione delle accelerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Moti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Moto traslatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Moto rototraslatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3 Moto piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Moto elicoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.5 Moto rotatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.6 Moto polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Atto di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Invariante scalare cinematico I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Teorema di Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Teorema di Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8.1 Vincoli di posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8.2 Vincoli di mobilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10B

1.8.3 Vincoli per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10π

1.9 Cinematica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9.1 Teorema di Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9.2 Teorema di Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9.3 Legge di composizione delle velocità angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Geometria delle masse 15

2.1 Centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Individuazione di G mediante simmetrie nella distribuzione di massa . . . . . . . . 16

2.2 Matrice d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Ellissoide d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Richiami di statica 20

3.1 Spostamenti virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Spostamento virtuale reversibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Dinamica 22

4.1 Quantità fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1 Quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.2 Prima equazione cardinale della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.3 Teorema del moto del baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.4 Conservazione lungo il moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.5 Momento della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.6 Seconda equazione cardinale della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.7 Secondo teorema di König . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Meccanica razionale 2 I

4.1.8 Momento della quantità di moto per il corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.9 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.10 Energia cinetica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.11 Potenza di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.12 Teorema del lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Applicazione del formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Integrali primi del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6 Corpo rigido con un asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.7 Corpo rigido con un punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.7.1 Descrizione alla Poinsot del caso giroscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

̸ ̸4.7.2 Moti alla Poinsot A = B = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.8 Stabilità e piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.8.1 Stabilità alla Ljapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.8.2 Cenni al caso di m GDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.9 Dinamica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.9.1 Dinamica con un vincolo mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Meccanica razionale 2 II

1 Cinematica

1.1 Cinematica del punto materiale

La cinematica consiste nello studio dei moti a prescindere dai punti stessi. Per la descrizione cinematica di un corpo è necessario avere: un osservatore; un orologio; una terna di assi di riferimento.

Figura 1.1: Rappresentazione del punto P e della sua traiettoria

La posizione del punto P rispetto all’origine del sistema di assi di riferimento verrà indicata secondo le notazioni: −−→ −OP (t) = OP (t) = (P O) (t) = P (t)Tutte equivalenti. Possiamo scrivere il vettore posizione anche secondo la terna di versori:

OP (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

Dove le funzioni x(t), y(t) e z(t) sono dette gradi di libertà del punto materiale nello spazio. Una volta nota l’espressione della posizione possiamo derivare velocità e accelerazione:

²d dv(t) = OP (t) = ẋ(t) i + ẏ(t) j + ż(t) k a(t) = OP (t) = ẍ(t) i + ÿ(t) j + z̈(t) k²dt dt³

La traiettoria è una curva in ed è l’insieme delle posizioni occupate dal punto P nei vari istanti di R tempo: ³−→ −→ {x(t),γ [t , t] t y(t), z(t)}R0

La lunghezza d’arco è definita come:

t tZ Z p ^{2 2 2}|v(t)|s(t) := dτ = ẋ (t) + ẏ (t) + ż (t) dτt t0 0

Se s(t) è una funzione monotona possiamo invertirla e trovare t(s); s è detto anche parametro naturale.

{t,La terna intrinseca è definita come la terna di versori tangente, normale e binormale n, b}.

d d P dt dP ds v(t) v(t)t(s) = P (t) = = / = = |v(t)|ds dt ds ds dt ṡ(t)dt dt dt| −→=n(s) /| = k(s) nds ds ds

Meccanica razionale 2 1

1.2 Sistemi di N punti materiali

1. Cinematica 1.2. Sistemi di N punti materiali

Dove k(s) è detta curvatura ed è l’inverso del raggio di curvatura ρ.

∧= t nb

Per le curve piane, il versore binormale non entra in gioco dato che questo è ortogonale al piano stesso.

Teorema {t,Sia s(t) la legge oraria del moto e sia n, b} la terna intrinseca, allora valgono:

²ṡ (t)v(t) n= ṡ(t) t a(t) = s̈(t) t + ρ

Dimostrazione ^{2 2}ddP dsdP d P dt ṡ (t)v(t) = a(t) = = = s̈ t + ṡ(t) += = ṡ(t) t ( ṡ(t) t) = s̈(t) t n²dt ds dt dt dt dt ρ

Inoltre vale la seguente relazione:

db = τ (s) nds

Dove τ è detto torsione.

1.2 Sistemi di N punti materiali

Consideriamo un sistema di N punti materiali: in generale i gradi di libertà del sistema saranno 3N.

{x (t), y (t), z (t)} i = 1, . . . , Ni i i

Il corpo rigido è un sistema di punti materiali soggetti al vincolo di rigidità:

|P − | ∀i,P = cost j = 1, . . . , Ni j

Il vincolo di posizione è un dispositivo che limita le configurazioni accessibili al sistema. La precedente condizione che si è imposta è proprio un vincolo di questo tipo. B

Costruzione della terna solidale: dati 3 punti A, B, C non allineati possiamo associare a una terna solidale nel modo seguente:

• Asse x da A a B orientato verso B
• Asse y, prendiamo un asse ortogonale a x e orientato verso il semipiano contenente C
• ∧è il versore dell’asse x e j quello dell’asse y allora k = i j è il versore dell’asse z asse z tale che se i

Figura 1.2: Costruzione della terna solidale

− − − −(P O) = (P A) + (A O) (A O) = X (t) I + Y J + Z KA A A

Abbiamo tre gradi di libertà ”traslazionali”. L’altro vettore ci conviene scriverlo rispetto alla terna mobile: −(P A) = x i + y j + z kP P P

Meccanica razionale 2 2

1. Cinematica 1.2. Sistemi di N punti materiali

Questa descrizione è comoda poiché il vettore si muove col corpo rigido e per l’imposizione del vincolo di rigidità rimane costante. Perciò l’unica cosa che varia nel tempo è l’orientazione della terna mobile rispetto a quella fissa. Esprimiamo perciò queste relazioni:

−→ {i · · · −→ · · · −→ {k · · ·I, i J, i K} j j I, j J, j K I, k J, k K}ki

Questi prodotti sono coseni, detti coseni direttori. Potremmo concludere che vi sono 9 gradi di libertà ma in realtà, imponendo le condizioni di vincolo, ne otteniamo 3, detti gdl rotazionali.

· · · · · ·i =1 j j =1 k k =1 i j =0 i k =0 j k =0i

Alla fine avremo perciò 6 gradi di libertà, 3 gdl traslazionali e 3 gdl rotazionali, per il corpo rigido nello spazio.

Definiamo asse dei nodi la retta generata dall’intersezione dei piani XY e xy. Il versore associato a quest’asse è pari a: ∧K kN = |K ∧ k|

Questa definizione ha una singolarità quando i due sistemi di riferimento sono coincidenti, tuttavia non è una grossa problematica.

Figura 1.3: L’asse dei nodi e gli angoli che esso forma

∈Gli angoli di Eulero sono: θ è detto angolo di notazione e θ [0, π]; ψ è detto angolo di precessione ∈ ∈e ψ [0, 2π]; ϕ è detto angolo di rotazione propria e ψ [0, 2π].

Le rotazioni che portano le terne a coincidere sono:

• Rotazione di ψ attorno a Z, che porta X a coincidere con N
• Rotazione di θ attorno a N, che porta Z a coincidere con z
• Rotazione di ϕ attorno a z, che porta N a coincidere con x

1.2.1 Teorema di Poisson

BSia un corpo rigido e siano e , e e e i versori della terna solidale ad esso. Allora esiste ed è unico un1 2 3vettore ω, detto velocità angolare:

· · ·ω = (ė e ) e + ( ė e ) e + ( ė e ) e2 3 1 3 1 2 1 2 3∧Tale che valgano le equazioni di Poisson ė = ω e con i = 1, 2, 3.i i Bω non dipende dalla terna solidale scelta. Inoltre, se w è un vettore solidale a vale Osservazione:∧ẇ = ω w. Infine, vale: 31 X ∧ω = (e ė )i i2 i=1

Prima di procedere con la dimostrazione è utile fare alcune osservazioni:

• D· ·se e è versore, la sua derivata temporale ė è ortogonale ad esso, infatti e e = 1 e (e e ) =i i i i i idt2 ė e = 0i i

Meccanica razionale 2 3

1. Cinematica 1.2. Sistemi di N punti materiali

• D · −e · ̸ · · · ·e = ė con i = j, infatti e e = 0 e e = ė e + ė e = 0ė ei j i j i j i j i j j idt
• ·se b è vettore possiamo scrivere b = b e + b e + b e dove b = b e con i = 1, 2, 31 2 3 i1 2 3 i

Dimostrazione ∧ e = ė :Verifichiamo che ω 1 1

· ∧ · ∧ · ∧( ė e ) e e + ( ė e ) e e + ( ė e ) e e =2 3 1 1 3 1 2 1 1 2 3 1

· · · · ·− e ) e + ( ė e ) e = (ė e ) e + ( ė e ) e + ( ė e ) e = ė= ( ė 3 1 3 1 2 2 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 ∗

L’esistenza di ω è dimostrata. Dimostriamo adesso l’unicità di questo vettore: assumiamo che esista ω∗ ∧ ∧= ω e . Sappiamo che vale e = ω e , perciò sottraendo le due equazioni otteniamo:tale che ei i i i∗ − ω) e0 = (ω i = 1, 2, 3i ∗= ωCiò implica che i due vettori debbano coincidere ω .vettore solidale:Sia w = w e + w e + w ew 1 2 31 2 3

Facciamo la derivata: ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ẇ = w ė + w ė + w ė = w ω e + w ω e + w ω e = ω (w e + w e + w e ) = ω w1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3

′ ′ ′ ′{e } B.Dimostrazione dell’indipendenza dalla terna: sia , e , e un’altra terna solidale a Gli e sono1 2 3 i′ ′∧versori solidali per cui vale ė = ω e . ω è quindi effettivamente indipendente dalla terna.i i

Dimostriamo ora che: 3 31 1X X∧ ∧ ∧ω = (e ė ) = ω = [e (ω e )]i i i i2 2i=1 i=1

Ricordando la seguente relazione algebrica:

∧ ∧ · − ·a (b c) = (a c) b (a b) c

Otteniamo: " #3 31 1 1X X− · − · −[ω (ω e ) e ] = 3ω (ω e ) e = [3ω ω] = ωi i i i2 2 2i=1 i=1

1.2.2 Legge di distribuzione delle velocità

Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema S di N punti materiali sia in moto rigido è che valga: ∧ − ∀P, ∀tv (t) = v (t) + ω(t) (P Q) (t) QP Q

Dimostrazione B ∈ B, −Sia S un corpo rigido e P, Q (P Q) è un vettore solidale.

dP dQd − − −(P Q) = = v vP Qdt dt dt

Per Poisson vale anche: d − ∧ −(P Q) = ω (P Q)dt

E dunque: − ∧ −v = ωv (P Q)P Q

Condizione sufficiente

Se l’ultima equazione vale allora S è rigido.

Dimostrazione |P −Vogliamo dimostrare che Q| = cost (vincolo di rigidità). Questo è equivalente a dire che:d d d2|P − ⇐⇒ |P − −→ |P − |P −Q| = 0 Q| = 0 2 Q| Q| = 0dt dt dt

Meccanica razionale 2 4

1. Cinematica 1.3. Moti rigidi

Ma il modulo del vettore al quadrato non è altro che il prodotto scalare del vettore con se stesso:²2|P − − · − ≡ −Q| = (P Q) (P Q) (P Q)

Scriviamo ora la derivata vettoriale: dd 2 − − · − − · −(P Q) = 2 (P Q) (P Q) = 2 (P Q) v vP Qdt dt

Grazie alla legge di distribuzione delle velocità possiamo scrivere:d 2− − · ∧ −(P Q) = 2 (P Q) (ω (P Q)) = 0dt ∧ − −(P Q) è ortogonale a (P Q).Dove l’ultima eguaglianza è verificata dato che il vettore ω

1.2.3 Legge di distribuzione delle accelerazioni

BIn un corpo rigido vale: ∧ − ∧ ∧ − ∀P, ∈ B ∀ta = a + ω̇ (P Q) + ω [ω (P Q)] QP Q

Dimostrazione Vale la legge di distribuzione delle velocità; derivando rispetto al tempo otteniamo:d∧ − ∧ −= a = a + ω̇ (P Q) + ω (P Q)v̇ P P Q dt

−Dato che (P Q) è vettore solidale possiamo affermare che:d − ∧ − −→ ∧ − ∧ ∧ −(P Q) = ω (P Q) a = a + ω̇ (P Q) + ω [ω (P Q)]P Qdt

1.3 Moti rigidi

∀t ∀P ∈ B.Un corpo rigido è dato dall’insieme delle posizioni P (t) e Per un corpo rigido libero occorrono i iBe bastano 6 gdl: se A è l’origine degli assi solidali a bastano x (t), y (t), z (t), θ(t), ψ(t) e ϕ(t).A A A

1.3.1 Moto traslatorio

Un moto rigido si dice traslatorio se ogni direzione solidale mantiene orientamento invariante rispetto agli assi fissi.

Teorema ∀t.Un moto rigido è traslatorio se e solo se ω = 0

Dimostrazione Siano i, j, k una terna solidale ed hanno orientazione invariante, cioè i̇ = 0, j̇ = 0 e k̇ = 0. Applicando il teorema di Poisson otteniamo che: 1 h i· · ·ω = i i̇ + j j̇ + k k̇ = 02

Dato che ω è nullo non abbiamo variazioni degli angoli e perciò per descrivere il moto bastano x (t),Ay (t) e z (t).A A

1.3.2 Moto rototraslatorio

Un moto rigido si dice rototraslatorio se esiste una direzione solidale detta direzione privilegiata che mantiene orientazione invariante rispetto agli assi fissi.

Teorema Un moto rigido è rototraslatorio se e solo se la direzione di ω è costante. Essa è quella che individua la