Appunti di Matematica generale su calcolo dei limiti

ESERCITAZIONE

CALCOLO LIMITI

FORME DETERMINATE -> ALGEBRA ESTESA (GUARDARE SCHEMA DI RIEPILOGO)

FORME INDETERMINATE 0/0    oo/oo    0-oo

1) 0/0 Ad ogni posso utilizzare 2 tecniche

• scomposizione di polinomi -> RACC. TOTALE -> DIF. QUADRAT -> TRINOMI SPECIALI
• limiti notevoli

ESERCIZI

1) lim (x^2-4x+3)/(x^2-9) = 3^2-4.3+3 / 3^2-9 = [0/0] f.i.

lim (x-3)(x-1)/((x+3)(x-3)) = (3-1)/(3+3) = 2/6 = 1/3

2) lim (2x-x²)/(x²-4) = [0/0] f.i.

lim x(2-x)/((x-2)(x+2)) = lim -x(x-2)/((x-2)(x+2)) = lim -x/(x+2) = -2/4 = -1/2

3) lim (x²-2x+1)/(2x²-x-1) = (1-2+1)/(2-1-1) = [0/0] f.i.

lim (x-1)(x-1)/((2x+1)(x-1)) -> a(x-x₁)(x-x₂)

x_1,2 = (1+-sqrt(1+8))/4 = (1+-3)/4

-1/2

= (1-1)/(2-1+1) = 0/3 = 0

2(x + 1/2)(x - 1)

(2x + 1)(x - 1)

x CASA

4) lim x -> 0 (x² + x)/x = 0/0 F.I

=(x(x+1))/x = lim x -> 0 x+1 = 1

5) lim x -> 2 (x² + 2x - 8)/(4 - x²) = [0/0] F.I

QUANDO OTTENGO F.I. [0/0] ma le f(x) nel limite non e polinomiali => uso limiti notevoli

1) lim x -> 0 sinx/x = 1

lim x -> 0 sin(f(x))/f(x) = 1

2) lim x -> 0 (1 - cos(x))/x² = 1/2

lim x -> 0 (1 - cos(f(x)))/f(x) = 1

3) lim x -> 0 (e^x - 1)/x = 1

lim x -> 0 (e^f(x) - 1)/f(x) = 1

4) lim x -> 0 ln(1+x)/x = 1

lim x -> 0 ln(1+f(x))/f(x) = 1

5) lim x -> 0 ((1+x)^k - 1)/x = k

lim x -> 0 ((1+f(x))^k - 1)/f(x) = k

k in R

BASTA CHE LA FUNZIONE CHE HO SUL LIMITE TENDE A 0

Esercizi

1) lim x -> 0 (e^x - 1)/sen(2x²) = e⁰ - 1/sen(0) F.I

non si puo scomporre

lim (e^x - 1)/x * x²

1/2

2) lim x -> 0 x ln(1+2x³) / (1-cos(3x²)) = 0 . ln(1) / (1-cos(0)) = [0/0] F.I.

= lim x -> 0 ((ln(1+2x³))/2x³) . 2x⁴ / ((1-cos(3x²))/(3x²)² (3x²)²) = lim x -> 0 2x⁴ / (9/2 x⁴) = 2 . 2/9 = 4/9

3) lim x -> 0 ((1+2x³)⁴-1) / (e^5x2-1) = [0/0] F.I.

lim x -> 0 (((1+2x³)⁴-1)/2x³) . 2x³ / ((e^5x2-1)/(5x²) 5x²) = lim x -> 0 8x³ / 5x² = 8 . 0/5 = 0

4) lim x -> +oo (e^1/x-1) / (2/x) = (e^1/+oo-1) / (2/+oo) = (e⁰-1) / 0 = 0/0

lim x -> +oo ((e^1/x-1)/(1/x)) / (2/x)/(1/x) = lim x -> oo 1/x / 2/x = lim x -> oo 1/x . x/2 = 1/2

X CASA

5) lim 3(1-cos(2x²)) ... R=+oo

6) lim _{x -> +∞} (ln(1 + 1/x) - 4/x) / (1/x) R = -3

2) ∞/∞

Ad oggi posso usare il "principio di eliminazione degli elementi trascurabili"

Tra tutte le funzioni presenti nel limite possiamo calcolare il limite soltanto sulla/e funzione/i che "corre" + veloce verso l'infinito

GERARCHIA DEGLI INFINITI:

1. ESPOENZIALE a^x [a > 1]
2. POTENZA x^k [con k > 0]
3. LOGARITMICA loga(x) [a > 1]

x³ >> x²

ESERCIZI

1) lim _{x -> +∞} (2x⁴ + 3x² - 7) / (6x⁴ + 2x) = [∞/∞] F.I.

lim _{x -> +∞} 2x⁴ / 6x⁴ = 2/6 = 1/3

2) lim _{x -> -∞} (2x⁴ - 5x + 2) / (x² - x) = [∞/∞] F.I.

lim _{x -> -∞} 2x⁴ / x² = lim _{x -> -∞} 2x² = 2(-∞)² = +∞

3) lim _{x -> +∞} (5x³ + 2x² - 7) / (4x⁴ - 12) = [∞/∞] F.I.

= lim 5x³ / 4x⁴ = 5/4 - 0

4)

lim_x->+oo (4x + 9^x + ln(4x)) / (sqrt[x] + 3^x + ln(3x)) = [oo/oo] F.I.

lim_x->+oo 4^x / 3^x = lim_x->+oo (4/3)^x = (4/3)^+oo = +oo

5)

lim_x->+oo (root(x) + 2x¹⁰⁰ + e^x) / (ln(5x) + 6^x) = [oo/oo] F.I.

lim_x->+oo e^x / 6^x = lim_x->+oo (e/6)^x = (e/6)^+oo = 0

6)

lim_x->+oo (e^x + 2 ln(2x)) / (x² + 3x) = [oo/oo] F.I.

= lim_x->+oo e^x / x² = [oo/oo] F.I. = lim_x->+oo e^x - e^oo = +oo

7)

lim_x->+oo ln(2x) / (5x + 3x²) = [oo/oo] F.I.

lim_x->+oo ln(2x) / (3x³) = [oo/oo] F.I. = lim_x->+oo 1 / (3x³) = 1/+oo = 0

8)

lim_x->+oo ln((5x² + 7x) / (8x + x³)) = ln(oo/oo) F.I.

lim_x->+oo ln((5x²) / x³) = ln(5/+oo) = ln 0 = -oo

9)

x CASA

R = e^1/2

lim x->+oo

3) +oo -oo

APPLICO IL PRINCIPIO DI ELIMINAZIONE TRANNE QUANDO COMPIONO LE RADICI QUADRATE

RAZIONALIZZAZIONE

ESERCIZI

1) lim x->+oo (2x⁴ + ln(3x) - e^5x) = +oo +oo -oo = [+oo-oo] F.I.

lim x->+oo -e^5x = -e^+oo = -e

2) lim x->+oo e^5x3 - ln(2x) = e^[+oo-oo] F.I.

lim x->+oo e^5x3 = e^+oo = +oo

3) lim x->+oo (sqrt(x²+1) - sqrt(x²+2)) = sqrt(+oo) - sqrt(+oo) = [+oo-oo] F.I.

(A-B)(A+B) = A² - B²

lim x->+oo (sqrt(x²+1) - sqrt(x²+2)) . (sqrt(x²+1) + sqrt(x²+2)) / (sqrt(x²+1) + sqrt(x²+2))

lim x->+oo (x²+1 - x²-2) / (sqrt(x²+1) + sqrt(x²+2)) = -1 / (sqrt(x²+1) + sqrt(x²+2)) = -1 / +oo = 0

4) lim x->+oo (sqrt(x²+5) - x²) = [+oo-oo] F.I.

lim x->+oo (sqrt(x²+5) - x²) . (sqrt(x²+5) + x²) / (sqrt(x²+5) + x²) =

lim x -> +oo (x2 + 5 - x4) / (sqrt(x2 + 5) + x2) = lim x -> +oo -x4 / (sqrt(x2 + 5) + x2) = [oo/oo]

lim x -> +oo -x2 / x2 = -(+oo)2 = -oo

4) 0 - oo

Trasformo il prodotto in divisione (in rapporto) arrivando alle forme oo/oo e cui applico il principio di eliminazione

ESERCIZI

1) lim x -> +oo x e^-x = +oo . e^-oo = [oo . 0] F.I.

lim x -> +oo x / e^x = [oo/oo] F.I. APPLICO IL PRINCIPIO

lim x -> +oo 1 / e^x = 1 / +oo = 0

2) lim x -> -oo 2x . e^x = -oo . e^-oo = [-oo . 0] F.I.

lim x -> -oo 2x / e^x = [oo/oo] F.I.

lim x -> -oo 1 / e^x = 1 / +oo = 0

5) 1^oo si risolve utilizzando il seguente limite notevole

lim (1 + k/x)^x = e^x

lim (1 + k/x)^f(x) = e^k

ESERCIZI

1) lim_{x -> +oo} ((3x - 1)/(3x))^3x = (oo/oo)^oo

lim_{x -> +oo} ((3x)/(3x))^oo = lim_{x -> oo} 1^3x = [1^oo] f.i.

lim_{x -> +oo} (1 - 1/(3x))^3x

lim_{x -> +oo} (1 + -1/(3x))^3x = e^-1 = 1/e

2) x usa

lim_{x -> +oo} ((2x - 2)/(2x))^2x IR e^-2 = 1/e²

3) lim_{x -> +oo} ((x + 3)/(x - 2))^x = (oo/oo)⁰ = f.i. principale 1^oo

lim_{x -> +oo} x(1 + 3/x) / x(1 + 2/x) = lim_{x -> +oo} (1 + 3/x)^x / (1 + 2/x)^x = e³ / e² = e

DA CORREGGERE

2) x usa

lim_{x -> +oo} ((2x - 2)/(2x))^2x IR e^-2 = 1/e²

lim_{x -> +oo} ((2x)/(2x))^2x = 1^2x = 1

lim_{x -> +oo} ((2x - 2)/(2x))^2x > (1 - 2/x)^2x = e^-2 = 1/e²

R = e^1/2