Appunti di Geotecnica e laboratorio per 2 parziale

Geotecnica 2° parziale 8 - Resistenza al taglio delle terre

Se il carico N agente su una fondazione continua superficiale aumenta fino a causare un cedimento “s” troppo elevato, affermiamo che il terreno sottostante la fondazione è giunto a rottura.

Parliamo di resistenza del terreno, ovvero la tensione massima o ultima sopportabile dal terreno. Nell’ingegneria geotecnica si parla per lo più di resistenza al taglio perché la condizione di rottura viene raggiunta per l’azione di eccessive tensioni di taglio applicate.

Le fondazioni reali distribuiscono le tensioni sul terreno in modo tale da avere un cedimento uniforme, ciò avviene non solo sulla singola fondazione, ma anche su un sistema di fondazioni.

Per le prime porzioni di carico il cedimento è piccolo, man mano che si carica N aumenta fino ad arrivare a rottura, Nf viene detto carico a rottura.

Resistenza al taglio

I terreni raggiungono la rottura per taglio, quando le tensioni tangenziali agenti lungo la superficie di rottura (resistenza al taglio mobilizzata) sono pari alla resistenza al taglio del terreno.

Quindi vale → τm = τf

τf = tensione di taglio massima sostenibile prima del cedimento.

τm = tensione di taglio massima che si sviluppa in un terreno, ad esempio lungo un piano specifico sotto un certo stato di sforzo.

Lo stesso meccanismo vale nei terreni in pendenza, in cui la rottura del terreno può avvenire se non viene sostenuta adeguatamente la scarpata laterale, es. sostegno del terreno tramite muro.

Tensione in un punto del terreno

Il concetto di tensione in un punto del terreno è un concetto astratto. Il punto di applicazione di una forza F può essere su una particella solida o in un vuoto, acqua o aria, ma un vuoto non può sostenere alcuna forza; invece, se la forza fosse applicata a una particella, la tensione conseguente potrebbe essere estremamente elevata.

Dato che ciò che succede nei grani non si conosce esattamente, assimilo il terreno a un continuo e non a un sistema particellare, perciò per calcolare la tensione nelle terre uso: σ = F/Area.

L'area considerata è quella trasversale lorda, quest’area contiene sia i contatti da grano a grano, sia i vuoti.

Con una analisi FEM si può approssimare in maniera ancora migliore il comportamento del terreno.

Consideriamo un problema 2D in cui su una massa di terra agisce un sistema equilibrato di forze (F1, F2, ..., Fn).

Possiamo imporre l’equilibrio delle forze considerando un qualsiasi punto della massa di terra considerata, es. punto O, in ogni punto deve essere garantito l’equilibrio.

Ora ingrandiamo il punto O. Scomponiamo le forze nelle componenti normali e tangenziali che agiscono su un piano che attraversa il punto formando un angolo α con l’orizzontale.

Le componenti ortogonali e tangenziali al piano AC vengono scomposte nella direzione orizzontale e verticale e imponiamo equilibrio.

Imponendo l’equilibrio si ottiene:

Elevando al quadrato e sommando queste equazioni si ottiene l’equazione di un cerchio di raggio (σx - σy)/2 e centro di coordinate [(σx + σy)/2, 0]. Disegnando tale cerchio nel piano τ-σ si ottiene il cosiddetto cerchio delle tensioni di Mohr.

Esso rappresenta lo stato di tensione in un punto e si applica a qualsiasi materiale, non solo al terreno.

Le tensioni σx e σy sono quindi tensioni principali che agiscono su piani dove τ = 0.

La tensione principale maggiore è indicata con σ1, la minore con σ3 mentre la intermedia con σ2.

Le equazioni di prima possono essere riscritte in termini di tensioni principali:

La procedura grafica per la determinazione dello stato di tensione in un punto è basata sul cosiddetto POLO. Conoscendo σ e τ traccio una linea parallela al cerchio di Mohr, l'intersezione tra linea e cerchio mi dà il polo.

Una volta che il polo è noto, le sollecitazioni su qualsiasi piano possono essere trovate semplicemente tracciando una linea dal polo parallela a quel piano; le coordinate del punto di intersezione con il cerchio di Mohr determinano le sollecitazioni di quel piano.

Relazioni tensioni-deformazioni e criteri di rottura

Materiale elastico lineare

Il tratto iniziale fino al punto di snervamento (σy) è linearmente elastico.

Ciò significa che se il livello tensionale applicato è inferiore alla tensione di snervamento il materiale recupera completamente la sua forma iniziale qualora l’azione esterna venga eliminata (recupero deformazione).

Materiale elastico non lineare

Rimuovendo il carico il materiale recupera totalmente la sua deformazione.

Queste prime due relazioni tensioni-deformazioni sono indipendenti dal tempo. Qualora sussista una dipendenza dal tempo si dice che il materiale è visco-elastico.

Materiali elasto-plastici

Il materiale si comporta come un mezzo elastico lineare fino al punto di snervamento σy; poi diventa perfettamente plastico. Oltre σy, continuano a deformarsi anche in assenza di incrementi di tensione applicata.

Materiali fragili

Le rocce sono perlopiù fragili, manifestando minime deformazioni all’aumento delle tensioni.

Ad un certo punto si manifesta una rottura improvvisa e totale.

Più complesse ma più realistiche relazioni sono riportate:

• I materiali incrudenti (work-hardening) diventano più rigidi al procedere delle deformazioni. Molti terreni sono anche incrudenti, ad esempio argille compattate e sabbie sciolte.
• I materiali rammollenti (work-softening) mostrano al contrario una diminuzione di resistenza oltre il picco tensionale. Es. i terreni argillosi OC e le sabbie dense.

Il punto di rottura della curva tensione-deformazione possiamo dire che corrisponde al punto di snervamento. In alcune situazioni, se un materiale viene sollecitato fino al suo limite di snervamento, le deformazioni in gioco sono così elevate che per tutti gli scopi pratici il materiale è di fatto rotto → ciò significa che il materiale non può continuare in modo soddisfacente a sopportare i carichi applicati.

• Materiali fragili → Non c'è dubbio quando si verifica la rottura.
• Materiali rammollenti → La rottura coincide col picco della curva o la massima sollecitazione.
• Materiali incrudenti → La rottura si fa coincidere con una deformazione arbitraria, generalmente 15%-20%.

La resistenza di un materiale è il valore della tensione massima o di snervamento definiti in precedenza.

Esistono molti modi per definire la rottura dei materiali reali; ovvero ci sono molti criteri di rottura.

Il criterio di rottura più popolare applicato ai terreni è il criterio di rottura di Mohr-Coulomb.

Mohr-Coulomb

La tensione di taglio τ agente sul piano di rottura, a rottura, corrisponde a una funzione univocamente definita della tensione normale σ agente sullo stesso piano:

Resistenza al taglio: τff = f (σff)

Il primo pedice f si riferisce al piano su cui le tensioni agiscono, in questo caso il piano di rottura, mentre il secondo f definisce la condizione di rottura.

Conoscendo le principali sollecitazioni a rottura possiamo disegnare i cerchi di Mohr → quindi rappresentano lo stato di tensione del materiale in condizioni di rottura.

L’inviluppo a rottura di Mohr esprime la relazione funzionale tra tensione di taglio τff e la tensione normale σff a rottura.

Qualsiasi cerchio che si trova sotto l’inviluppo, cerchio A, rappresenta una condizione stabile.

La rottura si verifica solo quando la combinazione di σ e τ è tale che il cerchio di Mohr è tangente all'inviluppo.

I cerchi che si trovano sopra l’inviluppo di Mohr, cerchio B, non possono esistere: il materiale, infatti, si romperebbe prima di raggiungere questi stati di tensione.

Coulomb osservò che la resistenza al taglio era composta da una componente indipendente dalla tensione normale agente e una dipendente.

La componente dipendente dalla tensione normale è l’angolo di attrito interno → simbolo φ.

L'altra componente è correlata alla coesione intrinseca del materiale → simbolo c.

L'equazione di Coulomb è quindi: τf = σ tan φ + c → dove τf è la resistenza al taglio del suolo, σ è la tensione normale applicata, e φ e c sono i parametri di resistenza del terreno.

Questa relazione dà una linea retta ed è, quindi, facile da lavorare analiticamente. φ e c non sono proprietà intrinseche del materiale; dipendono dalle condizioni operative della prova.

Unendo le due formule viste prima otteniamo: τff = σff tan φ + c.

È l'unico criterio di rottura che prevede le sollecitazioni sul piano di rottura a rottura; poiché si è osservato che gli ammassi di terre si rompono lungo superfici di taglio specifiche, vorremmo essere in grado di stimare lo stato di tensione su potenziali superfici di scorrimento. Quindi il criterio di Mohr-Coulomb è molto utile per l'analisi della stabilità dei pendii e delle fondazioni superficiali.

L’angolo di rottura con c = 0: fattore di sicurezza := riserva di resistenza al taglio = quello che ho ancora.

La massima sollecitazione a taglio agisce sul piano inclinato a 45° ed è pari a:

La rottura però non avviene a 45° perché la resistenza al taglio disponibile è maggiore di τmax.

Se l’elemento X è a rottura si può tracciare un inviluppo a rottura sia in termini di tensioni totali, sia di tensioni efficaci.

Il criterio di rottura di Mohr-Coulomb vede la sua massima efficacia e corrispondenza con la realtà se espresso in termini di pressioni efficaci.

Determinazione dei parametri di resistenza al taglio (φ, φ’ e c, c’)

Si possono determinare tramite:

• Prove in laboratorio (prova di taglio diretto, prova triassiale).
• Prove in situ.

Nelle prove di laboratorio il provino indisturbato prelevato in sito viene estruso dalla fustella campionatrice (d = 10 cm), ha uno stato tensionale nullo intorno, viene poi sezionato nella misura adatta alla prova a cui verrà sottoposto e si cerca poi di ricostruire in laboratorio uno stato tensionale analogo a quello che avrebbe avuto nel suo terreno di origine.

Prova di taglio diretto

Viene eseguita nella scatola di Casagrande, il provino (ricostruito in laboratorio = non indisturbato) può essere un parallelepipedo (6x6 cm, h 2 cm) o cilindro (d 2 cm, h 2 cm).

Scopo: determinare la resistenza al taglio di terreni sabbiosi e limosi in condizioni consolidate e drenate.

La scatola di Casagrande è formata da 2 forme di metallo in cui viene inserito il provino, queste sono inizialmente unite tramite delle viti. Al di sopra e al di sotto delle forme sono presenti 2 pietre porose.

1. Preparazione del provino e successivo inserimento nella scatola di Casagrande.
2. Livellamento faccia superiore del provino.
3. La scatola di Casagrande viene inserita nell’apposito macchinario in cui in una prima fase si applica una forza normale N tramite la sferetta d’acciaio e si lascia consolidare, in genere terreno molto permeabile, consolida subito, mentre in una seconda fase vengono tolti i vitoni tenendo ferma la parte superiore per contrasto e si fa muovere la parte inferiore del macchinario esercitando uno sforzo di taglio sul provino. La velocità costante di scorrimento orizzontale è regolata dall’operatore, la superficie di rottura si forma tra le due forme di metallo. Se la struttura è densa/argilla OC: ci sono pochi vuoti e i grani sono ben incastrati tra loro quindi sotto sforzo tendono a separarsi anziché avvicinarsi creando quindi un’espansione. Questo fenomeno si chiama dilatanza.

Sabbia

Solitamente si esegue la prova su 3 provini, la rottura avviene in corrispondenza del picco della curva, in assenza di picchi posso stabilire io un punto con σ limite fissata massima in cui definire τf di rottura.

La retta passa per l’origine.

Argilla

Le argille NC tendono a passare per l’origine (c’ = 0).

Le argille OC hanno un inviluppo superiore (c’ > 0) → Φ’NC > Φ’OC.

Prova triassiale

La prova viene effettuata su sabbie, limi, argille e ghiaie all’interno di una cella triassiale.

Il terreno viene modellato in un cilindro di diametro di 38 mm e altezza 76 mm e successivamente racchiuso in una membrana di lattice sottile e flessibile in grado di isolare il provino all'acqua che riempirà la cella.

In seguito il provino viene inserito in un cilindro cavo trasparente in perspex. Al di sopra e al di sotto del cilindro ci sono 2 pietre porose.

Sono presenti 3 cannule: 2 sono collegate alle pietre porose, drenaggio superiore e inferiore durante la fase di compressione, la terza cannula invece permette di riempire il cilindro d’acqua pressurizzata a 1-2 atm.

La prova si sviluppa in 2 fasi:

1. L'acqua all'interno della cella produce una pressione idrostatica tale da portare la cella a uno stato di tensione.
2. Viene effettuata la prova di taglio caricando dalla sommità attraverso il pistone e generando una Δσ = q verticale.

I drenaggi, a seconda della prova, possono essere aperti o chiusi:

• Drenaggio aperto nella Fase 1 e nella Fase 2: Prova triassiale consolidata isotropa drenata CID.
• Drenaggio aperto nella Fase 1 e chiuso nella Fase 2: Prova triassiale consolidata non drenata CU.
• Drenaggio chiuso nella Fase 1 e nella Fase 2: Prova triassiale non consolidata e non drenata UU.

Prova triassiale con consolidazione isotropa e con drenaggio C.I.D. (Sabbie e S.L.)

Prova triassiale CD (consolidata e drenata).

3 fasi:

1. Fase di consolidazione: drenaggi sono sempre aperti, l’acqua può uscire e non si sviluppano Δu, e applico istantaneamente sigma di cella σc isotropa.
2. Fase di taglio: applicazione di un carico verticale di tensione Δσ detta tensione deviatorica, tramite il pistone, va moderata la velocità di applicazione a seconda della natura del terreno: terreno sabbioso o limoso applicazione abbastanza veloce, terreno argilloso invece applicazione lenta perché non vogliamo che applicando Δσ si sviluppino Δu nel terreno.
3. Fase di rottura: raggiungimento Δσ di rottura (Δσf) con comportamento elasto-plastico incrudente se c’è picco, se non c’è picco si considera Δσ al 20% σ’Vf = σc + Δσf = σ’1f.

Fase di consolidazione: diminuzione del volume → compressione.

Fase di taglio:

• Sabbia sciolta e argilla NC: diminuzione di volume con un comportamento elasto-plastico incrudente.
• Sabbia densa e argilla OC: iniziale diminuzione e poi espansione di volume e comportamento elasto-plastico rammollente.

Si testano 3 provini uguali con σc crescenti, cerchio di Mohr maggiore corrisponde a σc maggiore.

Si interpolano con una retta i tre cerchi, può essere intercettata una minima parte di C.

Per argille OC ci aspettiamo una coesione maggiore di zero.

Sabbie e argille NC cd = 0.

Argille OC cd ≠ 0.

Argilla OC ha sopportato nel tempo tensioni superiori a quelle che attualmente vi insistono; tuttavia, per σc maggiori potrebbe sviluppare un comportamento NC: è possibile esprimere quindi l’inviluppo a rottura tramite due equazioni a seconda dello stato tensionale applicato.

Tratto OC: c maggiore e φ minore; tratto NC: c nullo e φ maggiore.

Prova triassiale con consolidazione isotropa e senza drenaggio C.I.U. con misura della pressione neutrale (Sabbie ma soprattutto argille)

Prova triassiale CU (consolidata e non drenata).

3 fasi:

1. Fase consolidazione: drenaggi sono aperti, l’acqua può uscire e non si sviluppano Δu, e applico istantaneamente σc isotropa.
2. Fase di taglio: drenaggi sono chiusi, applicazione della tensione verticale Δσ deviatorica. Si possono sviluppare delle ± Δu nel terreno, positive se vi è diminuzione di volume, negative se vi è una espansione, se argilla si contrae è NC, se si espande è OC.
3. Fase di rottura: raggiungimento Δσf di rottura e conseguente Δuf, si ottiene poi pressione efficace di rottura σ’Vf = σc + Δσf ± Δuf = σ’1f.

In questa prova non ho problemi di velocità di applicazione del carico dato che dal secondo step in poi i drenaggi sono chiusi, quindi la velocità può essere superiore della prova precedente ottenendo così tempi di prova in laboratorio minori (1 giorno vs. 1-2 settimane).

Al posto di CID si può svolgere CIU con misura pressione neutrale per avere un risparmio di tempo durante le procedure di prova.

Fase di consolidazione: diminuzione del volume → compressione.

Fase di taglio:

• Argille NC: compressione di volume e Δu positiva.
• Argille OC: compressione di volume iniziale e successiva espansione e Δu positiva e successiva Δu negativa.

Vanno distinte σ e σ’ contrariamente a quanto visto per la prova CID, la differenza a rottura tra i cerchi rossi è proprio la u di rottura dei due campioni a, b.

Sabbie e argille NC ccu = 0 c’ = 0. Vi è una equivalenza tra i paramenti φ’ e c’ per una argilla ottenuti con prova CD e una prova CU.

Prova triassiale senza consolidazione isotropa e senza drenaggio U.U. (Solo argille)

Prova triassiale UU (non consolidata e non drenata).

I drenaggi sono sempre chiusi e la prova è condotta in condizioni non drenate. Il campione, considerato saturo per semplificare la prova, cambia di forma ma non di volume. Dopo un certo tempo vi è un incremento di carico e una deformazione assiale.

3 fasi:

1. Provino indisturbato.
2. Drenaggio chiuso, applicazione della pressione di cella σc isotropo che porta a un incremento iniziale