Appunti di Geometria delle masse

Geometria delle masse

Geometria: perché il corpo viene descritto geometricamente attraverso di un sistema di riferimento S.R. fisso. Masse: perché riguardano masse e volumi, e la loro distribuzione.

Baricentro (G)

Punto in cui mi può immaginare una concentrazione la densità di massa.

Densità in generale (S = ^m/_V) è punti alla massa nei volumi.

Densità di massa: ρ = ^m/_V = m = ρ * V

m(B) = ∫_B f(x) dV

Corpo omogeneo → ρ ha una densità costante.

Immagini di avere un corpo omogeneo con una densità di massa ρ(x) = 1

m(B) = ∫_B 1 dV = V = m = V

Se immagini di sezionare il corpo B, l’area di quella sezione sarà uguale alla massa di quella sezione, e se la sezione è regolare, potrà ci calcolare anche la massa di tutto il corpo B.

Baricentro di un corpo

Caso generale ^B ρ = β(x) ≠ cost

• Divido il corpo in tanti piccoli volumi infinitesimi: dV
• Ad ogni dV associo un vettore con:
• Direzione arbitraria
• Verso arbitrario
• Modulo β(x) dV (massa)

Si definisce baricentro di sistema, il centro delle inlivoueyi di vettori applicati, paralleli tra loro ed equivalenti ad una risultante applicata nel punto G.

R = m(B) = ∫_B f(x) dV applicato in G

Il nostro obiettivo è capire come trovare le coordinate di G nel nostro S.R.

G = G₀ - 1/_m(B) ∫_B β(x) ( x – o ) dV

Centro di massa: X_i = ^{∑ m_ix_i}/_{∑ mi} = sommatoria massa * distanze ÷ sommatoria masse

Geometria _delle masse

Geometria: perché il corpo viene descritto geometricamente all'interno di un sistema di riferimento S.R. fisso.

Masse: perché riguardano masse e volumi e la loro distribuzione.

Baricentro _(G)

Punto in cui mi può immaginare mi converte una densità di massa.

Densità di massa: _m^v

Densità in generale _{(σ = m/v)} e punti alla massa nei volumi.

Densità di massa in termini infimi: _{ρ = m/v}

m _(B) = ∫ _B f(x) dV

In questo caso stiamo considerando f(x) che è così una densità di massa variabile di punto a punto. È una funzione di x.

Corpo omogeneo

Ha una densità ρ(x) costante.

Immagini di avere un corpo omogeneo con una densità di massa ρ(x) = 1

m _(B) = ∫ _B 1 dV = V = m = v

Se immagini di selezionare il corpo B, l'area di quella sezione sarà uguale alla massa di quella sezione, e se la sezione è regolare, produrrebbe anche la massa di tutto il corpo B.

Baricentro _{di un} corpo

Caso generale

ρ = β(x) ≠ cost

• Divido il corpo in tanti piccoli volumi infinitesimi: dV
• Ad ogni dV associo un vettore con
• Direzione arbitraria
• Verso arbitrario
• Modulo β(x) dV (massa)

Si definisce baricentro di sistema, il centro delle linee dei vettori applicati, paralleli tra loro ed equivalenti ad una risultante applicata nel punto G.

R = m(B) ∫ _B β(x) dV applicato in G

Il nostro obiettivo è capire come trovare la coordinata di G nel nostro S.R.

Si dimostra che:

G = G_o - 1/_m(B) × ∫ _B β(x) (x-o) dV

...che in un corpo reale ci chiamiamo baricentro e non centro di massa.

Centro di massa

Centro di massa: X_cm = Σ_i x_i m_i / Σ_i m_i = Σ sommatoria massa x distanza Σ distanza

Σ m_i = Σ sommatoria masse

abbiamo detto che si chiama, con notazione di Cauchy

In componenti

siamo sempre nel caso

generale β = f(x) + cost

Osservazioni

Se il sistema è piano

La posizione di G può essere calcolata

Nel caso specifico

f = β(x) = cost = 1

passaggio al piano xy

Momenti statici - momenti del I ordine

Sono momenti del I ordine.

Sono quantità scalari.

Individuano la distribuzione delle

Teorema di Varignon

Il momento statico di un corpo B rispetto ad un'asse qualsiasi è pari al momento statico rispetto allo stesso asse della sua massa totale concentrata nel baricentro G.

Proprietà del baricentro G

Se l degli assi di simmetria ortogonale sono assi di simortogonali.

Un sistema piano si dice

S_x = ∫_A y dA = ∫₀^h y a (R-y) dy = a ∫₀^h (y R-y²) dy = a ∫₀^h y (h-y) dy = a ∫₀^h (y h dy - y² dy)

dA = b (dy) = a (h-y) dy

S_x = a/h [h_n³/2 - h_n³/3 - 0 ] = a/h [b²/2 - b³/3] = aa/ h [b³/2 b³/3] = a/h [h³/2 - h³/3 - 0]

S_x = a/h [b³/2 b³/3]

S_x = a b²/6

Y_G = S_x/_A

A = a h / 2

e ordinate y del baricentro per un triangolo isoscele

estruachi: i G sono ad b/3

Regola generale

Il baricentro G è più vicino dove c'è più area (o più massa).

Momenti del II ordine

Sono funzioni quadratiche delle distanze.

ρ= cost = 1

Momenti di inerzia (o momenti di inerzia assiali)

J_x = ∫_A y² dA

J_y = ∫_A x² dA

sempre quantità > 0

Momento centrifugo

J_xy = ∫_A x y dA

Quantità affetta da segno ∃ ≠ 0

Se gli stessi xy sono assi di simmetria allora J_xy = 0

Momento polare

J_o = ∫_A (x² + y²) dA = ∫_A r² dA

J_o = J_x + J_y

Raggi giratori di inerzia

ρ_x = √J_x/A

ρ_y = √J_y/A

Capace fac abbiamo del fatto che non stiamo facendo altro che proporre in una chiave integrale delle notizioni già note nella geometria di base, ad esempio: sappiamo che l'area di un rettangolo è la base per l'altezza. Calcoliamolo verificandolo su forma integrale:

Calcolo lamina rettangolare

A = _a∫^b_o∫^a dx dy = _a∫^b a dy = a * b

Calcolo del momento statico di una lamina rettangolare

S_x = _a∫^b y dy = α²b / 2

S_y = a