Appunti di Forme strutturali per il design

Forme strutturali per il design

I vettori

In matematica e in fisica, ente che permette di descrivere le grandezze che sono caratterizzate, oltre

che da una intensità, cioè da un valore numerico, anche da un orientamento, cioè da una direzione

e da un verso (sono grandezze vettoriali: le forze, le velocità, le accelerazioni; in contrapposizione a

quelle che si definiscono grandezze scalari, come la temperatura, individuate dal solo valore

numerico). Difatti, rappresentando una forza con un vettore si specifica non solo la sua intensità

(che corrisponde alla lunghezza del vettore), ma anche la direzione e il verso secondo cui la forza

stessa agisce.

Si definiscono vettori applicati i segmenti orientati, cioè i segmenti nei quali si distingue fra primo e

secondo estremo: se A e B sono i due estremi, il vettore viene in genere indicato con la scrittura AB

o ABfl, oppure con una lettera minuscola grassetta, v, mentre con |AB| o con v si indica la lunghezza

o modulo del vettore; il punto A si chiama punto di applicazione e si dice anche che il vettore è

applicato in A.

Se due vettori sono applicati nello stesso punto, si possono sommare (o comporre) secondo

•

la regola dal parallelogramma:

Un vettore si può scomporre secondo due direzioni arbitrarie (non possono essere parallele),

•

sempre secondo la regola dal parallelogramma, in modo tale che la somma delle due direzioni, au e

av, mi dia il vettore a:

Cinematica

Cinematica del punto materiale

La cinematica è una branca della matematica che studia il movimento. Si consideri un punto

materiale che si muova nel tempo lungo una traiettoria: Sia Δs il suo spostamento dal tempo

t al tempo t+Δt

La sua velocità (variazione di spostamento rispetto al tempo) all’istante t è:

La sua accelerazione (variazione di velocità rispetto al tempo) al tempo t è:

Leggi di Newton

Prima legge: Un corpo mantiene il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme,

➔ finché una forza non agisce su di esso.

Seconda legge: L'accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale e ha la stessa

➔ direzione della forza netta agente su di esso, mentre è inversamente proporzionale alla sua

massa

Terza legge: Per ogni forza che un corpo A esercita su di un altro corpo B, ne esiste

➔ istantaneamente un'altra uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso, causata dal

corpo B che agisce sul corpo A.

Le forze

La seconda legge di Newton può definire il concetto di forza. Mentre il tempo è una quantità che

riusciamo a percepire, a visualizzare, le forze possiamo conoscerle solo in base agli effetti che esse

hanno sugli oggetti. Le forze hanno una natura struggente, un effetto concreto sui nostri corpi e

sono grandezze vettoriali. Quando andiamo a disegnare una forza stiamo individuando una

direzione, un’intensità e un verso. La loro unità di misura è il Newton N, grandezza derivata.

Se più forze agiscono contemporaneamente, è lecito sostituirle con la loro risultante,

•

calcolata applicando la regola del parallelogramma delle forze:

La forza che dobbiamo sempre considerare nei calcoli è la forza di gravità pari a circa 10 N.

Le forze in genere sono pensate concentrate in un punto. A volte, è più utile pensare le forze come

se fossero distribuite lungo una linea o su una superficie. Se ho un insieme di persone vicine, ho

tante forze diverse vicine; e nel caso in cui non conosciamo le singole forze, si parla di carichi

distribuiti e non più di forze concentrate. In questo caso è possibile calcolare la forza media tenendo

in considerazione tutta la lunghezza del carico.

È possibile classificarli in:

Carico neve: forza di gravità che agisce su una copertura

• Carico vento

• Variazioni termiche: possono essere estremamente pericolose e dipendono dalla lunghezza

• della struttura. Quando sottoponiamo un corpo ad un riscaldamento o raffreddamento esso

cambia. Ad eccezione dell’acqua, se congelata si dilata. Ad esempio i binari del treno durante

la loro costruzione si lascia dello spazio, poiché con il riscaldamento si modifica la loro

dimensione e si deformano.

Carichi dinamici

I carichi hanno tutti una natura dinamica, ma in alcuni casi tale natura può essere trascurata e sono

ricondotti a carichi statici. A seconda della velocità delle forze gli effetti possono essere differenti (es.

chiodo o altalena).

Carichi impulsivi: sono carichi che vengono applicati molto velocemente (o istantaneamente)

➔ e che per tale motivo esercitano un’azione molto più intensa rispetto all’azione esercitata se

fossero applicati lentamente (es. se lascio cadere un mattone su una bilancia, quest’ultima

segna il doppio del peso stesso del mattone).

Carichi periodici o ripetuti: sono carichi che sono applicati ad intervalli regolari e che, pur se

➔ di limitata intensità, possono esercitare un’azione molto intensa (es. passerella pedonale del

MILLENIUM BRIDGE).

Equilibrio

Si ha equilibrio quando le forze agenti sul punto materiale hanno risultante nulla

In tal caso, per la prima legge di Newton il punto permane nel suo stato di quiete (o di moto

rettilineo uniforme. Queste forze sono uguali ed opposte: si annullano, ne consegue che il

corpo è in quiete.

Stabilità

L’equilibrio è stabile quando, una volta esaurito lo stato della perturbazione, il punto

materiale tende a tornare nella posizione occupata precedentemente, senza l’ausilio di altre forze.

Se ciò non avviene, si parla di equilibrio instabile o indifferente.

Si parla di equilibrio instabile se una volta perturbata la posizione di equilibrio, il punto

•

materiale non torna nella posizione iniziale, ma continua a percorrere un determinato percorso.

Invece, si parla di equilibrio indifferente quando perturbando la sua posizione di equilibrio,

•

l’oggetto cambia posizione di equilibrio

In tutti e tre i casi vi è la forza di gravità che tende ad attrarre la pallina verso il basso e ad essa

corrisponde una forza uguale ed opposta che la superficie stessa esercita sulla pallina, la quale

dipende dal tipo di superficie che andiamo a considerare (sempre ortogonale alla superficie stessa).

Resistenza

Un materiale è resistente se è in grado di sopportare forze che vengono applicate ad esso, senza che

si deformi o si rompa. In altre parole, le forze agenti devono essere tali da non generare crisi nel

materiale. Il tipo di crisi che si presente può essere di varia natura, e dipende dal tipo di materiale

e/o dalla geometria dell’elemento.

La resilienza è un concetto molto simile, ma con la differenza che riguarda reazioni rapide. Difatti la

resistenza riguarda azioni che avvengono lentamente.

Si hanno diverse forme di resistenza:

1. instabilità;

2. rottura duttile (l’oggetto si romperà se caricato troppo);

3. rottura fragile.

Statica grafica

Parte della meccanica che studia l’equilibrio dei corpi sotto l’azione di determinate sollecitazioni. Si

parla di statica grafica quando ci si serve di metodi grafici per risolvere i problemi di equilibrio. In

assenza di mezzi computazionali avanzati, permette di studiare i problemi con solo mezzi grafici.

Un esempio di statica grafica è la somma di due

forze con la regola del parallelogramma:

Ma si può ottenere lo stesso risultato con il metodo

punta- coda:

Somma di tre o più forze utilizzando la regola del

parallelogramma:

Somma di tre o più forze utilizzando il metodo punta- coda:

Scomposizione di una forza lungo due direzioni.

1. Si vuole scomporre una forza secondo due direzioni a-a e b-b. Le due forze sono applicate nello

stesso punto della forza di partenza

2. Si tracciano le parallele ad a-a e b-b passanti per la punta. Ovvero si costruisce il parallelogramma

3. Si identificano le componenti come i due lati del parallelogramma adiacenti al punto di

applicazione

Somma di tre o più forze. Non è necessario che le forze

siano applicate nello stesso punto per calcolarne la

risultante (N.B. si può applicare anche la regola del

parallelogramma, traslando i vettori in modo da avere un

unico punto di traslazione):

Momento di una forza

Momento rispetto ad un punto

Poiché una forza è un vettore applicato, il suo punto di applicazione è importante, in quanto è legato

al momento. Il momento di una forza rispetto ad un punto (polo) è il prodotto dell’intensità della

forza per la distanza del polo dalla retta di applicazione della forza.

La retta di applicazione della forza è la retta parallela alla direzione passante per il punto di

applicazione.

Il momento è positivo se il punto è a sinistra rispetto alla retta di applicazione considerando il verso

della forza, e vale:

Per la sua definizione, il momento è pari al doppio dell’area del triangolo che ha per base il vettore

forza, e per altezza la distanza del punto dalla retta di applicazione:

Se spostassimo il vettore lungo la propria retta di applicazione , M non cambia, perché l’area del

triangolo sarà sempre la stessa. In altre parole, il momento non cambia se la forza viene fatta

traslare lungo la propria retta di applicazione.

Se si conosce il momento rispetto ad un punto, si conosce anche rispetto a qualsiasi altro punto,

basta aggiungere il prodotto dell’intensità della forza per la distanza fra i due punti misurata rispetto

alla direzione ortogonale alla retta di applicazione (momento di trasporto).

Momento di una coppia di forze a risultante non nulla

Se ho più forze, il momento complessivo è la somma dei singoli momenti. Applico il metodo punta-

coda, ma con il quale non riesco a capire bene dove collocare correttamente R. Devo conoscere M

dei diversi vettori per collocare correttamente la risultante e ciò vuol dire che devo collocare

correttamente il punto di applicazione, altrimenti altero M.

Per farlo correttamente utilizzo la regola del parallelogramma: presi due vettori con origine non

comune, individuo e traccio le rette di applicazione e il punto di applicazione (punto in comune delle

due rette); sposto i due vettori v1 e v2 in P e applico la regola del parallelogramma:

Mp (v1)+ Mp (v2)= Mp.

Momento di una coppia di forze a risultante nulla

Un caso interessante è quando due forze hanno risultante nulla ma hanno due rette di applicazione

differente (ovvero sono due rette parallele). In questo caso si parla di coppia, e il

valore del momento è indipendente

dal polo (infatti il momento di

trasporto è nullo), è il valore delle

forze per la distanza fra le due rette di

azione.

M= |F| d

-|F|d’ + |F| d’’

|F| (d’’-d’)= |F| d

(sistemare)

Le leve

Il concetto di "momento di una forza" è alla base della comprensione del funzionamento delle leve.

Devo fare in modo che il momento delle due forze applicate sia lo stesso, per evitare una rotazione;

per far sì che ciò accada una delle due distanze dal polo deve essere più piccola dell’altra. (rivedere).

Leva di I genere: es. forbice

• Leva di II genere: es. schiaccianoci

• Leva di III genere: es. pinza

•

Esistono poi le chiavi di serraggio bulloni: sono molto lunghe in modo da poter aumentare il

momento senza aumentare troppo la forza. Il momento poi provvede a far ruotare e serrare il dado.

L’applicazione di un momento effettua una rotazione di un oggetto;

➔

➔ l’applicazione di una forza è associata ad una traslazione.

Il poligono funicolare

Per calcolare la risultante di un sistema di forze, ed individuare dove è la sua retta di applicazione:

→ POLIGONO FUNICOLARE

L’ordine ci aiuta a non sbagliare.

R ha origine in F1 e fine in F5.

→ POLIGONO DELLE FORZE: ci dà la risultante.

Il poligono funicolare mi consente di determinare la risultante. È così denominato perché ha a che

fare con le funi. Si basa sull’utilizzo del metodo punta- coda.

1. Una volta trovata la R con il metodo punta-coda, prendo un

punto P qualsiasi e traccio 6 segmenti nelle punte e code di

ciascun vettore, successivamente numero le punte.

Il problema sorge perché la retta di applicazione della R non è

corretta, poiché in base al polo che consideriamo cambia il

momento. Come facciamo?

2. Prendiamo un punto L qualsiasi (normalmente a sinistra dei vettori) e mandiamo una

parallela alle rette dei segmenti P0; P1; P2;…; poi allunghiamo le rette passanti per E e

ottengo le rette di applicazione della R.

Si dimostra che la retta di applicazione sia la stessa, indipendentemente dai punti che

prendiamo.

Si vede che, con il metodo punta-coda: A questo punto traslo tutte le

forze nel poligono funicolare,

in modo tale che inizino in A,

B, …; successivamente traslo

tutte le componenti delle

forze (es. OP; P1;…) nelle

parallele del poligono

funicolare ed effettuo la

regola del parallelogramma.

Tutti i vettori che si andranno a creare saranno di uguale intensità, ma verso opposto e si

chiameranno: coppia a braccio nullo (cioè si annullano, ad eccezione di 0P e P5, che traslerò in N e

ai quali applicherò la regola del parallelogramma, ottenendo R).

Risultante di due forze parallele

→ La R è più vicina alla forza di intensità maggiore.

Questo è l’unico caso in cui R è la somma delle intensità delle due forze, in tutti gli altri casi è

minore. Se le due forze sono uguali R passa sempre a metà, in generale passa sempre tra due forze.

Se prendo il polo sulla risultante delle forze, M=0.

Casi particolari

◦ Sistema di forze a risultante nulla

→ R=0, quando la successione delle forze forma un poligono retto. Anche se R=0, non è detto che

M=0.

R=0→ da 0 a P e da P a 4

◦ Sistema di forze a risultante nulla e momento nullo

→ R=0 perché 5 coincide con 0

L ed E sono allineati, sono cioè una coppia di forze a braccio nullo, la cui retta di applicazione è la

stessa.

Questo è l’esatto caso in cui il nostro corpo resta in quiete.

Il corpo rigido

◦ Dal punto materiale al corpo rigido

Finora abbiamo parlato di punto materiale. In realtà molti degli oggetti con cui abbiamo a che fare

sono modellabili come corpi rigidi.

Corpo rigido → è un oggetto duro, non deformabile; mantiene la sua forma quando sottoposto o

delle forze; la distanza tra le forze che applichiamo su di esso è la stessa, così come anche tra gli

angoli:

In realtà, i corpi rigidi, così come tutti gli altri corpi, sono deformabili, ma le deformazioni sono

impercettibili, tanto da non considerarle come tali.

Se un corpo non fosse rigido, R non ci garantirebbe che il corpo rimanesse in quiete.

In generale, in ciascun punto del corpo rigido possono essere applicate delle forze.

A causa dell’invarianza di distanze ed angoli, a noi interesserà sapere solo la risultante e il momento

risultante rispetto ad un polo P di tutte le forze applicate al corpo rigido.

→ Caratteristica importante:

Per un corpo non rigido, per conoscere il suo spostamento, dobbiamo conoscere lo

spostamento di un numero numero infinito di punti. Invece, nel caso di un corpo rigido è

sufficiente sapere di quanto si sposa e la rotazione che compie, che è unica; da questi dati

saremo in grado di conoscere tutti gli altri spostamenti. Tutto questo vale se siamo in un

piano. Se, invece, siamo nello spazio, oltre ad avere le tre componenti, dobbiamo

considerare anche le 3 rotazioni, quindi avremo un totale di 6 funzioni.

Il punto P è generico; generalmente è il baricentro e quindi con solo 3 funzioni siamo in grado di

conoscere lo spostamento rapido.

Equilibrio del corpo rigido (nel piano)

Consideriamo le condizioni di equilibrio di un corpo rigido, partendo da un corpo fermo che

vorremmo rimanesse tale, in che modo? Avendo forze agenti su di esso nulle. Un corpo può essere

scomposto, con la regola del parallelogramma, in due direzioni: componente verticale e

componente orizzontale.

Per far sì che si verifichi una situazione di equilibrio, queste devono essere nulle → quindi R=0,

questo vale per entrambe le componenti, possiamo dire che abbiamo: un equilibrio alla traslazione

orizzontale e uno alla traslazione verticale.

Consideriamo un corpo rigido avente una coppia di forze a braccio nullo (R=0, M=0), questo provoca

una rotazione: Queste condizioni si chiamano: EQUAZIONI CARDINALI

DELLA STATICA

Possiamo dire che il corpo rigido ha tre possibilità di movimento (nel piano): due traslazioni e una

rotazione.

I vincoli

In meccanica, qualsiasi limitazione alla libertà di movimento di un corpo (es. tavolo con su un

telecomando → il tavolo è un vincolo rispetto al telecomando). Ogni vincolo esercita sul corpo

vincolato una forza, detta reazione vincolare, che ne impedisce lo spostamento ed è diretta in senso

opposto a quello in cui lo spostamento viene impedito.

I vincoli possono essere di diverso tipo, quelli che prenderemo in considerazione sono denominati

olonomi e saranno anche fissi e ideali (cioè privi di attrito, tranne nel caso di lampade) e bilaterali (in

entrambi i versi). Esistono anche quelli unilaterali/monolaterali (in un solo verso, o verso l’alto o

verso il basso).

◦ La cerniera (vincolo doppio)

La cerniera blocca la traslazione in qualsiasi direzione, ma consente la rotazione attorno la cerniera

stessa. Dato che riesce a bloccare 2/3 componenti si chiama vincolo doppio:

Con la linea più spessa indichiamo la “terra”.

In qualsiasi rotazione di un corpo rigido, c’è un punto che non subisce alcuna rotazione, chiamato

CENTRO DI ROTAZIONE che ha una posizione specifica

→ Conoscendo il centro e l’angolo α, la

traiettoria &egrav