Appunti di Fondamenti e metodi per la progettazione

FONDAMENTI E METODI PER LA PROGETTAZIONE

Martin Accatino

Anno Accademico 2022-2023

Indice

1 INTRODUZIONE 4

1.1 FUNZIONE OBIETTIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 PARAMETRIZZAZIONE 6

2.1 CURVE DI BEZIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Degree Elevation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 CURVE DI BEZIER COMPOSITE (B-SPLINE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Curve NURBS (B-SPLICE razionali) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 SUPERFICI DI BEZIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 DOE E ANALISI STATISTICA 11

3.1 DESIGN OF EXPERIMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 DOE stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.2 Metodologie fattoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.3 Latin Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 ANALISI STATISTICA DEI DATI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Analisi statistica semplificata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.2 Analisi statistica completa: parametro t-student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.3 Outlayers e Criterio di Chauvenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 ALGORITMI DI OTTIMIZZAZIONE 17

4.1 ALGORITMI CHE UTILIZZANO IL GRADIENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.1 Algoritmo di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.2 Algoritmo del gradiente coniugato (Fletcher-Reeves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.3 Metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.4 Metodo Quasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.5 Algoritmo BFGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.6 Algoritmo SQP (Sequential Quadratic Programming) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.7 Trattazione dei vincoli con PENALTY FUNCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 ALGORITMI CHE NON USANO IL GRADIENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1 Algoritmo SIMPLEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.2 Algoritmo Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.3 Algoritmo Genetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 OTTIMIZZAZIONE MULTI-OBIETTIVO 38

5.1 FUNZIONE DI AGGREGAZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 TEORIA DEI GIOCHI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.1 Teoria di Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.2 Teoria di Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.3 Teoria di Stackelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 TEORIA DI SUPPORTO ALLE DECISIONI 42

6.1 ELEMENTI BASE E CLASSIFICAZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2 TECNICHE DI ATTRIBUZIONE DEI PESI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2.1 Tipi di attribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2.2 Adimensionalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3 METODI OUTRANKING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3.1 Algoritmo TOPSIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.4 METODI UTILITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1

7 SUPERFICI DI RISPOSTA 46

7.1 INTRODUZIONE E MODELLI DI INTEGRAZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 CARATTERISTICHE DELLE SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3 ALGORITMI NUMERICI PER LA CREAZIONE DI SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3.1 Algoritmo K-Nearest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3.2 Reti Neurali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 PROCESSI GAUSSIANI 55

8.1 KRINGING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.1.1 Superfici di risposta adattive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.2 METODO DACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9 ROBUST DESIGN 58

2

Capitolo 1

INTRODUZIONE

1.1 FUNZIONE OBIETTIVO

La progettazione consiste nel far variare i parametri in ingresso del sistema ingegneristico in esame (variabili geome-

triche, condizioni al contorno, tipo di materiale, ...) in modo da ottenere le prestazioni volute in uscita (obiettivi).

L’automatizzazione di questo processo è definito Computer Aided Optimisation (CAO) e non sono altro che

algoritmi di ottimizzazione. Tale procedimento può essere visto come una successione di decisioni da prendere in

determinati momenti dello sviluppo. Lo schema che raffigura la progettazione è il seguente:

Il CAO risponde alla domanda: quali parametri bisogna avere per ottenere le prestazioni desiderate? Nella fase di

ottimizzazione si vuole trovare la configurazione del sistema che abbia le caratteristiche volute. Di conseguenza è

necessario definire un criterio per classificare le diverse soluzioni: la formulazione numerica di tale criterio prende

il nome di FUNZIONE OBIETTIVO f . Quindi l’ottimizzazione numerica viene rappresentata come la ricerca del

massimo (o minimo) di una funzione, esprimibile nel seguente modo:

N M

→

max f : R R

Si hanno N variabili di progetto e M obiettivi (ad esempio ottenere un determinato rendimento, coefficienti o

concetti simili). Normalmente nella fase di progettazione si ha sempre a che fare con un problema di ottimizzazione

multi-obiettivo, la metodologia classica per affrontare tale problematica è creare una funzione obiettivo pesata:

N

X

f = w f

W i i

i=1

Utilizzare i pesi risulta essere un metodo semplice, ma allo stesso tempo rischioso poiché si deve andare a definire

il valore di ciascun peso. I pesi w sono connessi al valore assoluto degli obiettivi, quindi si ha il rischio di perdere

i

significatività dei diversi obiettivi. Per ovviare a tali problemi si è sviluppata la teoria numerica dell’ottimizzazione

multi-obiettivo: l’idea di base è mantenere separati tutti gli obiettivi e ottimizzarli contemporaneamente (teoria dei

giochi).

VARIABILI DI PROGETTO

Le variabili sono i parametri di input che definiscono il sistema e possono essere modificati nel corso della proget-

tazione. La modifica dei parametri prende il nome di parametrizzazione. Le variabili possono essere:

• Misurabili: possono essere ordinate numericamente (angoli, lunghezze , pesi, ...). A loro volta possono essere

continue o discrete;

• Di categoria: non esiste criterio di classificazione.

4

A seconda del tipo di variabile si potrà applicare un algoritmo di ottimizzazione o un altro. Il tempo che si impiega

per l’ottimizzazione: T = qt

Con q il numero di cicli da fare attraverso il solver e t è il tempo impiegato per fare una simulazione. Per ridurre il

tempo impiegato è possibile parallelizzare i calcoli, in tal caso il tempo sarà:

t

T = q α

p

α

In cui p è un parametro che indica quanto bene funziona il parallelismo.

VINCOLI

In molti casi reali di progettazione bisogna limitare qualche grandezza del sistema. Ad esempio si supponga di voler

ottimizzare un profilo aerodinamico, ossia minimizzare la resistenza all’avanzamento: se si chiedesse all’algoritmo di

ottimizzazione di trovare la geometria migliore che minimizzi il coefficiente di resistenza C esso troverà una lastra

D

piana. Non basta quindi definire solo gli obiettivi, ma si dovranno aggiungere dei vincoli come lo spessore minimo,

l’angolo di attacco, ...

La presenza dei vincoli modifica la soluzione finale ottima: non è detto che il massimo della funzione obiettivo

rispetti il vincolo di progetto, di conseguenza il massimo che si sta cercando presenterà un valore minore.

I vincoli possono essere disuguaglianze o uguaglianze. Generalmente queste ultime da un punto di vista ingegneristico

esistono solo come idea e non come applicazione, perciò vengono ricondotte a disuguaglianze fissando una tolleranza

all’interno del vincolo nel seguente modo:

|h (⃗x )| < ϵ con k = 1, ..., p

k

Dove ϵ è la tolleranza ammissibile. 5

Capitolo 2

PARAMETRIZZAZIONE

Nella maggior parte dei casi ingegneristici la parametrizzazione è di tipo geometrico: si fanno modificare le variabili

x entranti nel CAD in modo da trovare la geometria ideale che massimizzi le prestazioni. Le variabili non geome-

i

triche tipicamente entrano nella fase di PRE (es: tipo di materiale, temperatura, pressione, ...). Per una migliore

ottimizzazione è importante che le piattaforme siano flessibili, si tratta infatti di un processo dinamico. Il concetto

base della parametrizzazione geometrica è il fatto di andare a definire una geometria utilizzando punti di controllo,

ossia punti geometrici che permettono di modificare la geometria.

2.1 CURVE DI BEZIER

Si tratta di una formulazione parametrica di una curva bidimensionale. Si definiscono n punti di controllo della curva

e, modificando tali punti, si modifica la geometria. Ad esempio, 3 punti di controllo permettono di parametrizzare

una parabola come in seguito viene rappresentato:

− −

I punti di controllo b b b compongono il poligono di Bezier. Per calcolare il punto della curva di Bezier si

0 1 2

applica una formula ricorsiva che prende il nome di ALGORITMO DE CASTELJAN. Il punto che giace sulla

congiungente tra i primi due punti di controllo avrà equazione:

10 −

b + tb

(t) = (1 t)b 0 1

In modo analogo: 21 −

b (t) = (1 t)b + tb

1 2

Il punto appartenente alla curva di Bezier (punto in rosso) sarà quindi:

2 2

20 10 11

− − −

b (t) = (1 t)b + tb = (1 t) b + 2t(1 t)b + t b

0 1 2

≤ ≤

Il concetto è avere un parametro 0 t 1 al variare del quale si ottengono tot punti che, una volta interpolati,

permettono di ottenere una curva di grado n−1. La curva di Bezier è l’elemento infinitesimo per la parametrizzazione

poiché geometrie più complesse possono essere create aumentando i punti di controllo oppure unendo tra loro più

curve. Si nota come la curva passi per il primo e l’ultimo punto di controllo. La precedente costruzione di una

parabola può essere generalizzata per costruire una curva polinomiale di grado n in cui ci saranno n + 1 punti di

controllo. Per rendere un implementazione efficiente dal punto di vista informatico bisogna utilizzare la forma delle

curve di Bezier mediante POLINOMI DI BERSTEIN i quali esprimono la formulazione esplicita delle curve:

n

n i n−1

− ≤ ≤

B (t) = t (1 t) 0 t 1

i i

In cui: n!

n ≤ ≤

= 0 i n

i −

i!(n i)!

6

Tale espressione è una funzione di forma, ossia una funzione peso che va a pesare i vari punti di controllo. Infatti

si può dimostrare che: n

X n

B (t) = 1

i

i=1

La somma dei pesi è sempre pari a 1.

Un’importante proprietà dei polinomi di Bernstein è la seguente:

n−1 n−1

n −

B (t) = (1 t)B (t) + tB (t)

i i i−1

Si può osservare una similarità rispetto all’algoritmo di De Casteljan. L’algoritmo di De Casteljan via dopo via

andava ad interpolare i due punti precedenti. Si può dimostrare che si può andare a descrivere l’algoritmo ricorsivo

di De Casteljan utilizzando questa proprietà dei polinomi di Bernstein fino ad arrivare ad una forma compatta

delle curve di Bezier: n

X

n n

b (t) = b B (t)

i i

i=0

PROPRIETÀ CURVE DI BEZIER

1. La curva passa per il primo e ultimo punto di controllo, quindi si conosce dove inizia e dove finisce;

2. La curva è tangente al primo e ultimo segmento del poligono di Bezier;

3. I punti di Bezier si accumulano dove la curvatura è maggiore. La coordinata curvilinea t si può discretizzare

in n punti equidistanti, ma nella curva di Bezier tali punti saranno distribuiti in funzione della curvatura.

La curva è continua, ma se si vuole parametrizzarla bisogna passare da una rappresentazione analitica (Matlab,

Phyton,...) ad una numerica bisogna discretizzarla tramite il parametro t.

ESEMPIO PARAMETRIZZAZIONE PROFILO ALARE

Si vuole parametrizzare geometricamente un profilo aerodinamico tramite curva di Bezier in modo da massimizzare

l’efficienza aerodinamica e ridurre la resistenza. Si consideri un profilo bidimensionale, gli aspetti fondamentali

sono: curvatura del profilo, distribuzione dello spessore, tangenza in ingresso e tangenza in uscita. Si suddivide il

processo in 3 parti: linea media, estradosso e intradosso.

• Linea media: occorre parametrizzare la tangenza in ingresso e quella in uscita. Per controllare questi due

parametri si possono utilizzare le curve di Bezier sfruttando la prima proprietà. Si fissano i punti b e b e si

0 3

variano b e b modificando la geometria. Quindi si hanno 4 variabili: x , y , x , y .

1 2 1 1 2 2

• Estradosso: un parametro fondamentale di distribuzione dello spessore è la posizione del massimo in estra-

dosso. Nel punto di massimo si ha la tangenza orizzontale. Il 1° punto deve essere verticale rispetto al punto b

0

per mantenere la tangenza ed esso controlla quanto grosso è il naso del profilo poi si hanno tre punti allineati

(in modo da non avere cuspidi) e un ultimo punto. In totale sono 7 variabili (come i movimenti permessi dei

punti). Si parametrizza lo spessore massimo sfruttando la proprietà della tangenza orizzontale.

7

• Intradosso: in modo analogo all’estradosso, ma con le coordinate negative.

Infine si assemblano le 3 parametrizzazioni. Complessivamente si avranno 18 variabili a cui si possono aggiungere

altri come l’angolo di calettamento.

Un secondo approccio utilizzato nell’ottimizzazione è quello di prendere come riferimento il profilo già esistente e

migliorarlo.

2.1.1 Degree Elevation

Una curva di Bezier di grado n può essere rappresentata da una curva di grado n + 1 senza nessuna deformazione

geometrica. In altre parole è possibile aumentare i punti di controllo senza perdere di accuratezza. Il punto iniziale e

quello finale rimangono gli stessi perché la curva non si modifica. Aumentare il grado della curva significa aumentare

le variabili. La formula analitica per trovare i nuovi punti di controllo è data dall’interpolazione lineare tra punto

−

i-imo e quello i 1:

i

i

n+1 n n

−

b + 1 b

b = i−1 i

i n + 1 n +1

Quindi i nuovi punti introdotti sono una combinazione lineare dei precedenti. La tecnica di Degree Elevation viene

utilizzata principalmente per:

1. Creazione di superfici: tutte le curve di contorno devono avere lo stesso grado;

2. CAD diversi: passaggio dati senza perdita di accuratezza;

3. Migliorare l’accuratezza locale: più punti di controllo ci sono e migliore sarà l’accuratezza della parame-

trizzazione. Di contro, più variabili sono presente e più complessa sarà la funzione di controllo.

ATTENZIONE: aumentare il grado di una curva è sempre possibile, ma non vale il contrario. Non è possibile

diminuire il grado di una curva di Bezier senza perdere di accuratezza, ciò è possibile se la curva di partenza è data

da una Degree Elevation. Esistono metodologie di Degree Reduction, ma portano approssimazioni geometriche il

più delle volte non accettabili. Si cerca di non utilizzare curve di grado elevato perché vi è mancanza di controllo

locale: modificando un punto di controllo si modifica tutta la curva. Normalmente si utilizzano curve fino a grado

4, per geometrie più complesse si passa alle curve B-SPLINE.

2.2 CURVE DI BEZIER COMPOSITE (B-SPLINE)

Sono curve parametriche più complesse definite da più curve di Bezier congiunte. Si cerca di unire più curve di

minor grado inoverlinee di utilizzare una curva di grado elevato per avere una correlazione diretta tra la modifica

di un punto di controllo e la variazione della geometria stessa. Il vantaggio delle B-SPLINE è il controllo locale:

muovendo un punto di controllo si muovono al massimo 3 segmenti di curva (precedente, appartenente al punto e

seguente); al contrario della curva di Bezier globali in cui muovendo un punto si muove tutta la curva. Le diverse

tipologie di B-SPLINE si diversificano per la condizione di continuità nei nodi di connessione u :

i

• B-SPLINE C : con C si indica il fatto che la curva è continua. I punti di controllo immediatamente prima

1 1

e dopo il nodo di connessione u devono giacere sulla stessa retta, quindi devono presentare la stessa derivata

i

destra e sinistra. 8

Ciò significa che se si muove il punto b automaticamente si muove anche il punto b . In generale le

n−1 n+1

B-SPLINE possono essere quadratiche, ossia ogni curva di Bezier che la compone deve avere grado 2 (quindi

3 punti di controllo) oppure cubiche, quindi curve di grado 3 e 4 punti di controllo.

B-SLINE C QUADRATICHE

1

Imponendo dunque ad esempio la continuità della curva si avranno alcuni punti di essa fissati che servono

a far rispettare questa caratteristica, mentre altri possono variare a proprio piacimento. Ad esempio nella

seguente curva sono presenti punti di connessione fra le curve di Bezier c