Appunti di Fondamenti di meccanica strutturale

Appunti di fondamenti di

meccanica strutturale

Professor Giorgio Chiandussi

Sommario

INTRODUZIONE...................................................................................................... 1

FLOW CHART DI VERIFICA STATICA..........................................................................1

FLOW CHART DI PROGETTO STATICO.......................................................................2

EQUILIBRIO STATICO DEI SISTEMI MECCANICI..........................................................3

S ..................................................................................................................... 3

ISTEMA MECCANICO

F ........................................................................................................................... 3

ORZE E COPPIE

V ...................................................................................................................................... 4

INCOLI

S ...................................................................................................... 5

OLUZIONE SISTEMA MECCANICO

S .............................................................................................. 5

ISTEMI ARTICOLATI E VINCOLI INTERNI

G ................................................................................................................. 5

RADO DI IPERSTATICITÀ

TRAVATURE RETICOLARI.........................................................................................7

CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE....................................................................8

GEOMETRIA DELLE AREE.......................................................................................10

M ....................................................................................................... 11

OMENTO DI INERZIA DI AREA

SOLLECITAZIONI SEMPLICI – PARTE 1.....................................................................12

I .................................................................................................................. 13

MATERIALI METALLICI

SOLLECITAZIONI SEMPLICI – PARTE 2.....................................................................13

S S V ........................................................................................................ 14

OLIDO DI DE AINT ENANT

F ................................................................................................................................. 15

LESSIONE

SOLLECITAZIONI SEMPLICI – PARTE 3.....................................................................17

SOLLECITAZIONI SEMPLICI – PARTE 4.....................................................................19

LINEA ELASTICA................................................................................................... 20

E .............................................................................21

QUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA

M ..............................................................................22

ETODO DELLA SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

MECCANICA DEL CONTINUO – PARTE 1...................................................................24

T ................................................................................................... 24

ENSIONI E DIREZIONI PRINCIPALI

A .......................................................................................................................... 24

UTOPROBLEMI

C M ........................................................................................................................ 26

ERCHI DI OHR

Costruzione diretta............................................................................................................. 26

Costruzione inversa............................................................................................................ 26

T .....................................................................................27

ENSORE SFERICO E TENSORE DEVIATORICO

MECCANICA DEL CONTINUO – PARTE 2...................................................................28

MECCANICA DEL CONTINUO – PARTE 3...................................................................30

L H ........................................................................................................................ 30

EGGE DI OOKE

M ............................................................................................................... 30

ATERIALE ANISOTROPO

M ............................................................................................................... 31

ATERIALE ORTOTROPO

M .................................................................................................................. 31

ATERIALE ISOTROPO

D ............................................................................................................. 31

EFORMAZIONI TERMICHE

CRITERI DI CEDIMENTO STRUTTURALE STATICO.....................................................32

C .................................................................................................................... 32

EDIMENTO FRAGILE

C .................................................................................................................... 33

EDIMENTO DUTTILE

C ................................................................................................. 33

EDIMENTO STRUTTURALE STATICO

Ipotesi di Rankine............................................................................................................... 33

Ipotesi di Coulomb-Tresca-Guest.........................................................................................34

Ipotesi di Von Mises............................................................................................................ 34

Coefficiente di sicurezza..................................................................................................... 35

FATICA DEI MATERIALI – PARTE 1...........................................................................36

FATICA DEI MATERIALI – PARTE 2...........................................................................37

C ........................................................................................... 38

ICLO DI SOLLECITAZIONE E PARAMETRI

FATICA DEI COMPONENTI......................................................................................40

V ..............................................................................................43

ERIFICA A FATICA DEL COMPONENTE

P ............................................................................................ 44

ROGETTO A FATICA DEL COMPONENTE

Introduzione

L'insegnamento di fondamenti di meccanica strutturale è la base di formazione in

ambito strutturale dell'ingegneria. Ha come obiettivo fornire le conoscenze

fondamentali di base e le abilità necessarie per eseguire il dimensionamento e la

verifica strutturale di modelli di componenti, strutture e sistemi meccanici soggetti a

carichi statici o variabili nel tempo (sottoposti a fatica).

Per studiare un sistema meccanico, si utilizzano modelli matematici. Sono di natura

diversa e vengono scelti in funzione di ciò che si vuole studiare. Generalmente si

usano masse concentrate per sistemi 0D, travi e aste per sistemi 1D, piastre e

membrane per sistemi 2D ed elementi solidi per sistemi 3D.

I sistemi meccanici sono realizzati per trasmettere forze e supportare pesi e azioni,

generalmente chiamati carichi. Questi sono distinti in forze concentrate (N), forze

distribuite (N/m) e momenti (Nm). I sistemi meccanici sono quindi collegati tra loro in

base alla necessità di trasmettere i carichi o bloccarli, tramite i vincoli. Tra i vincoli

riconosciamo l'incastro, la cerniera, il doppio pendolo, il carrello e il doppio bipendolo.

Flow chart di verifica statica

Il grafico mostra l'ordine dei calcoli da

seguire durante una verifica in fase

statica. Del modello sono note le azioni

esterne (i carichi), le dimensioni da cui

è possibile ricavare le caratteristiche

geometriche delle sezioni trasversali e

le caratteristiche di resistenza statica

del materiale.

Da questi dati vanno ricavati dapprima

le reazioni vincolari, quindi si effettua il

calcolo delle caratteristiche di

sollecitazione. È possibile a questo

punto effettuare il calcolo delle

componenti di tensione rispetto al sistema di riferimento cartesiano o delle tensioni

principali rispetto al sistema di riferimento principale nel punto più sollecitato della

sezione più sollecitata del sistema.

In base alla scelta dell'ipotesi di cedimento più opportuna per il tipo di materiale del

sistema, avviene il calcolo della tensione ideale σ . A questo punto si hanno tutti i dati

id

per procedere con la disuguaglianza di verifica statica, che consiste nel confronto tra 2

¿

lim

la tensione ideale e la tensione assunta come limite di resistenza ( ) e

σ ≤ σ ¿

id

σ ¿

lim

quindi il calcolo del coefficiente di sicurezza statico ( ).

σ id

s=¿

Flow chart di progetto

statico

Conoscendo il coefficiente di

sicurezza statico prescritto da

normativa o dal progettista, le

caratteristiche di resistenza statica

del materiale, le dimensioni (di cui

una incognita) e le azioni esterne (i

carichi), è possibile ripercorrere il

flow chart di verifica in senso

inverso, in modo da progettare il

sistema in base alle necessità di

sicurezza.

In particolare, si calcolano dapprima le reazioni vincolari, le caratteristiche di

sollecitazione e avviene il calcolo delle componenti di tensione rispetto al sistema di

riferimento cartesiano o delle tensioni principali rispetto al sistema di riferimento

principale, nel punto più sollecitato della sezione più sollecitata del sistema, tutto in

funzione della dimensione incognita.

Scelta l’ipotesi di cedimento più opportuna per il tipo di materiale del sistema, è

possibile quindi effettuare il calcolo della tensione ideale σ , sempre in funzione della

id

dimensione incognita. A questo punto viene calcolata la tensione ammissibile

σ ¿

lim ( )

=σ =f

σ dimensione

e si impone il risultato come ed è a questo

s amm id

=¿

σ amm

possibile ricavare la dimensione incognita e completare il progetto del sistema.

Oltre ad essere una dimensione geometrica, l’incognita da ricavare può essere anche il

carico applicabile o il materiale che è necessario scegliere in funzione di carichi

applicati e dimensioni. L’uguaglianza finale sarà quindi funzione del carico incognito o

del materiale incognito, da cui si potranno ricavare i valori necessari.

Equilibrio statico dei sistemi meccanici

Sistema meccanico

Un sistema meccanico è qualsiasi parte o porzione isolata di una macchina o di una

struttura, atta a svolgere una determinata funzione. Un sistema in equilibrio statico è

definito tale quando il sistema in esame è in quiete o al più si muove a velocità

costante (equilibrio quasi statico) e risulta in un’accelerazione nulla. Le forze da

considerare nello studio dell’equilibrio statico devono essere costanti nel tempo e

possono sviluppare un’azione attiva (carichi) o reattiva (reazioni).

Il punto materiale è il concetto alla base dello studio del movimento e dell’equilibrio di

un sistema meccanico in quanto rappresentazione di un oggetto quando si trascura la

forma e l’estensione dell’oggetto stesso. Per determinare la posizione del punto nel

sistema di riferimento vengono definiti dei parametri indipendenti, chiamati gradi di

libertà del punto (GdL). Un punto libero nello spazio, per esempio, possiede 3 gradi di

libertà.

Un corpo rigido è costituito da infiniti punti materiali che non cambiano le loro

posizioni relative, ed è definito come la rappresentazione di un oggetto quando viene

considerata la forma e l’estensione dell’oggetto.

Un sistema meccanico può quindi essere costituito da una porzione di corpo rigido, un

intero corpo rigido o più corpi rigidi.

Un corpo di forma qualsiasi libero nello spazio ha completa libertà di movimento.

Facendo riferimento a una terna di assi cartesiani X, Y e Z, il corpo può muoversi

parallelamente alle tre direzioni X, Y e Z (3 traslazioni) e ruotare intorno ad ogni asse

(3 rotazioni). In questo esempio, il corpo ha quindi 6 possibilità di movimento, ovvero 6

gradi di libertà. Come caso particolare, si deduce che un corpo libero nel piano (per

esempio, nel piano xy) ha 3 GdL: può traslare infatti parallelamente agli assi x e y e

ruotare attorno a un asse z, perpendicolare al piano xy. Per convenzione, si parla di

spostamenti generalizzati intendendo l’insieme dei 3 GdL di spostamento (traslazioni)

e dei 3 GdL di rotazione, intendendo dunque un sistema spaziale.

Un sistema meccanico non può essere progettato correttamente se il suo progetto non

si basa su una realistica determinazione dei carichi di esercizio. Questi possono essere

direttamente determinati dagli obiettivi di progetto di sistema, oppure non noti a priori

e possono essere determinati mediante analisi sperimentali o valutazioni funzionali

delle condizioni operative del sistema. Il grado di approssimazione con cui sono forniti

i carichi per la soluzione dei modelli strutturali deve essere tenuto in considerazione

fra le indeterminatezze del dimensionamento progettuale.

Forze e coppie

Nel modello, i carichi vengono schematizzati come forze generalizzate, che possono

essere forze propriamente dette (o spinte) o coppie (o momenti). Le spinte sono divise

in forze di volume, che agiscono nei punti interni di un corpo, e forze di superficie, che

agiscono sui punti di una superficie, a loro volta distinte in forze distribuite, che

agiscono su tutti i punti di un’area non infinitesima della superfice, e forze

concentrate, che idealmente agiscono su un solo punto della superfice.

Dal punto di vista geometrico, una forza è un vettore caratterizzato da modulo,

direzione (o retta d’azione), verso e punto di applicazione. Nel sistema di riferimento

cartesiano xyz la forza può essere rappresentata dalle tre componenti del vettore F,

ovvero F , F e F . Un sistema di forze, infatti, può essere sostituito con la sua risultante

x y z

R, ottenuta mediante la regola del parallelogramma, e viceversa (sapendo che i vettori

originali devono essere concordi alle direzioni degli assi del sistema di riferimento).

Un sistema di forze costituito, per esempio, da una forza R’ applicata nel punto P e una

forza R’’ parallela e con retta di azione a distanza d da P può essere sostituito da un

sistema equivalente con la forza R applicata nel punto P a cui va aggiunto un

=R

M ∙ d

momento M, chiamato momento di trasporto, calcolato come . In caso di

forze parallele di uguale intensità e verso opposto, come nell’esempio, il sistema si

riduce ad una coppia pura. In un caso di forze applicate a rette parallele e con verso

concorde, la risultante viene calcolata come somma algebrica delle diverse forze

parallele e la retta d’azione si trova calcolando la distanza x a cui la somma algebrica

dei momenti dovuti alle forze è nulla (per convenzione, i versi antiorari sono

considerati positivi).

Vincoli

Un corpo si dice vincolato quando le sue possibilità di movimento, ovvero i GdL, sono

parzialmente o completamente impedite. I vincoli, essendo condizioni cinematiche che

impediscono alcuni o tutti i GdL di un sistema, hanno quindi la capacità di sviluppare

azioni che contrastano uno o più spostamenti generalizzati, chiamate reazioni

vincolari.

I vincoli vengono divisi in vincoli esterni, che rappresentano l’interazione tra il sistema

e l’ambiente circostante, e vincoli interni, che rappresentano l’interazione tra due o

più corpi interni al sistema.

Nel corso verranno considerati solo vincoli ideali, che sono:

Olonomi, cioè impongono una restrizione alla posizione;

 Perfetti, ovvero non cedevoli, e quindi capaci di eliminare completamente lo

 spostamento generalizzato a cui si oppongono;

Bilaterali, cioè impediscono lo spostamento in una direzione in ambedue i versi;

 Privi di attrito;

 Fissi, pertanto indipendenti dal tempo;

 Puntiformi, quindi privi di estensione superficiale;



I vincoli ideali sono l’incastro, la cerniera fissa, il doppio pendolo, il carrello o appoggio

e il doppio bipendolo, come mostrato nella tabella sottostante.

Per impedire ogni movimento rigido del corpo occorrono almeno tanti vincoli quante

sono le sue libertà di movimento, pertanto almeno 6 per un corpo libero nello spazio e

almeno 3 per un corpo libero nel piano.

Un sistema si dice isostaticamente vincolato o isostatico quando i vincoli sono in

numero strettamente sufficiente per impedire ogni movimento del corpo, iperstatico

quando esistono vincoli sovrabbondanti, cioè superiori alle possibilità di movimento

del corpo, e labile se i vincoli sono in numero inferiore ai GdL del corpo.

Bisogna però prestare attenzione che per impedire ogni

movimento del sistema non sempre basta che i vincoli siano in

numero sufficiente, ma bisogna anche accertarsi che essi siano

efficaci, cioè che non vi siano singolarità che consentano moti

rigidi del sistema. Per esempio, una trave appoggiata su 3

carrelli come in figura (vincoli in numero sufficiente) non ha

però impedita la traslazione in direzione orizzontale (vincoli inefficaci). Il caso dei 3

carrelli è efficace soltanto se 2 delle 3 rette di azione dei vincoli si incontrano in un

punto.

È importante ottenere una configurazione stabile, in quanto la soluzione della struttura

è possibile soltanto nel caso di struttura isostatica e con vincoli efficaci.

Soluzione sistema meccanico

L’equilibrio tra carichi noti e reazioni vincolari incognite si traduce in un certo numero

di equazioni algebriche che legano tra loro queste grandezze.

Se il numero delle incognite è uguale al numero di equazioni di