Appunti di fondamenti di meccanica strutturale

Dipartimento di scienze e tecnologie aerospaziali

Teoria di Meccanica strutturale (AA 2020-2021)

Docente: A.M. Pandolfi

Autore: Moscagiuri Pietro

Moscagiuri Pietro Fondamenti di Meccanica strutturale

Indice

• 1 Continui deformabili 3
• 1.1 Concetto di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.2 Continuo di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.3 Lo sforzo di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.4 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 1.5 Le condizioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 1.6 Gradiente di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 1.7 Significato fisico del tensore delle piccole deformazioni con dimostrazione . . . . . 22
• 1.8 Deformazioni principali ed invarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 1.9 Le condizioni di congruenza interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 1.10 PLV per continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 2 Legame costitutivo 30
• 2.1 Energia specifica di deformazione e i legami termodinamici . . . . . . . . . . . . . 30
• 2.2 Legame iperelastico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 2.3 Descrizione del legame costitutivo elastico lineare isotropo . . . . . . . . . . . . . 33
• 2.4 Definizione ingegneristica delle costanti elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 2.5 Definizioni di Bulk modulus e deformazione volumetrica . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 2.6 Principali legami anisotropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 2.7 Componenti sferica e deviatorica del tensore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 2.8 Criteri di resistenza per materiali fragili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 2.9 Confronto tra Guest-Tresca e Von-Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 3 Teorie strutturali per la trave 51
• 3.1 Perché parliamo di teorie strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 3.2 Modello cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 3.3 Variabili statiche generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 3.4 Equilibrio espresso attraverso il PLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 3.5 La Linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 3.6 Modello di trave di Eulero-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 3.7 Deformazioni termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
• 3.8 Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 4 Il problema di De Saint Venant 74
• 4.1 Il problema elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 4.2 Formulazione e approccio risolutivo del problema di De Saint Venant . . . . . . . 76
• 4.3 L’approccio agli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 4.4 Approccio agli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 4.5 Azioni assiali e momenti flettenti (Casi particolari) . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 4.6 Momento torcente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
• 4.7 Il centro di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
• 4.8 Le analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 4.9 Profili chiusi in parete sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 4.10 Flessione con taglio costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 4.11 Il centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
• 4.12 La soluzione approssimata del problema di Jourawsky . . . . . . . . . . . . . . . . 110
• 5 Energia potenziale totale 115
• 5.1 Teorema di stazionarietà dell’energia potenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . . 115
• 5.2 Teoremi sulla stabilità dell’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
• 5.3 Stabilità delle strutture complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1 Continui deformabili

1.1 Concetto di congruenza

Si tratta di una condizione di regolarità, necessaria per descrivere le deformazioni. Questa assume che il cambiamento di configurazione avvenga senza lacerazioni e o compenetrazioni del materiale. Questa condizione richiede che le componenti del vettore spostamento siano funzioni continue ad un solo valore di X.

Definita Γ la configurazione di riferimento, in cui un suo punto P abbia coordinate X (i = 1, 2, 3), i si suppone che questa configurazione subisca un cambiamento che la farà diventare a seguito di un tempo t la configurazione corrente Γ(t) (Figura 1a).

Il punto P si troverà ora in una posizione p, di coordinate x i.

La funzione vettoriale: x = x(X, t) → è detta traiettoria del punto P (X). Lo spostamento del punto nella transizione Γ Γ è definito dal vettore: −s = x(X, t) X regolarecontinua dove x è una funzione differenziale biunivoca.

(a) Continuo deformabile (b) Rappresentazione configurazione iniziale e corrente

Figura 1:

Se P e P sono due punti distinti nella configurazione di riferimento, devono restare definiti 0 anche nella configurazione corrente (si escludono le compenetrazioni). Per studiare questa funzione applico uno sviluppo in serie di Taylor arrestandomi al primo ordine e prendendo in considerazione la figura 1(b) δx 2−x = x + (x x ) + (o )p p p p0 0δX X=X0.

Dove ( −dX = X Xp p0 −dx = x xp p0 spostando x ottengo:p 0 δx dXx = x +p p0 δXδx δxdx = =dX con F = gradiente di deformazione δX δX.

1.2 Continuo di Cauchy

Per introdurre il concetto di continuo di Cauchy si consideri un corpo che occupa una configurazione Γ, un volume V e che sia delimitato da una superficie S.

Il corpo è soggetto sia ad azioni meccaniche (forze) agenti al suo interno, che sulla sua superficie laterale.

Si consideri ora una porzione finita ∆V di volume ed una ∆S di superficie. Definiamo come ∆F e come ∆M rispettivamente la quota parte di azioni meccaniche rappresentata dalla sua risultante 1 (applicata in un punto) e il momento risultante.

Figura 2: Rappresentazione dell’oggetto in analisi

Assumeremo come:

• V = Volume occupato
• S = Superficie di contorno
• S = Superficie vincolata u
• S = Porzione di contorno caricata t

1 Il continuo di Cauchy è caratterizzato dall’ipotesi che esistano limiti finiti.

Oltre a queste si possono definire dF e dM come azioni a distanza, mentre df e dm come azioni ravvicinate.

Date queste premesse possiamo introdurre i seguenti termini:

dm df → → = t Trazione Superficiale lim = 0 No coppie distribuite lim dS dS dS→0 dS→0 dF dM → → lim = b Forza di volume lim = 0 No coppie distribuite dV dV →0 →0 dV dV.

Le quantità definite prendono rispettivamente il nome di Trazioni superficiali f su S (N/mm²) e Forze di volume b su V (N/mm³).

L’esistenza dei limiti sulla destra è incompatibile con la presenza di azioni concentrate, che possono essere concepite solo come risultati di azioni distribuite su di una porzione finita (seppur piccola), di volume o di superficie.

Le proprietà del continuo di Cauchy sono riassumibili in tre punti:

• Le azioni esterne sono solo di tipo forza.
• Non ci sono azioni di tipo coppia.
• Non ci sono coppie e forze concentrate.

La proprietà ”2” può essere rimossa ottenendo dei continui diversi noti come continui di Cosserat, una classe più ampia di corpi che comprende il continuo di Cauchy stesso.

1.3 Lo sforzo di Cauchy

Si assuma che il corpo sia in equilibrio nella configurazione di riferimento Γ e si supponga di dividerlo idealmente in due porzioni. Poiché queste si mantengano individualmente in equilibrio occorre postulare la presenza di forze di superficie che le due parti si scambiano attraverso la frontiera di separazione.

Si consideri intorno ad un punto P di tale frontiera un elemento di area ∆Σ identificato dalla normale uscente n in P. In maniera analoga a quanto fatto per le trazioni superficiali si α postula: dm df lim = σ lim = 0 α ∆Σ ∆Σ ∆Σ→0 ∆Σ→0.

Il vettore σ = σ (P, n ) prende il nome di vettore sforzo di Cauchy e le sue componenti α α α 2 hanno come unità di misura (N/mm²) −n.

Sulla seconda porzione, l’areola infinitesima dΣ intorno a P avrà come normale uscente n = , −α α.

Figura 3: Oggetto suddiviso in due porzioni

−σ così come il vettore sforzo σ = . −α α.

Il vettore di sforzo in un punto dipende quindi dalla giacitura dell’areola dΣ, identificata dalla sua normale uscente n α. L’insieme di tutti questi vettori identifica lo stato di sforzo in P.

Lo sforzo è l’insieme di infiniti vettori sforzo, ognuno definito dalla propria normale.

Si consideri un tetraedro infinitesimo con tre facce ortogonali agli assi coordinati (Figura 4); la quarta giacitura è identificata dal versore normale n le cui componenti sono i coseni direttori α rispetto agli assi: n = cos ( n n ).[αi α i.

Figura 4: Oggetto suddiviso in due porzioni

Detta allora dΣ l’area infinitesima della faccia di normale n α, l’area dΣ della faccia ortogonale i x risulterà i dΣ = n dΣ i αi.

Sulla giacitura di normale n agisce la forza σ dΣ, le altre tre facce hanno normale uscente α α n opposta al versore n orientato nel senso positivo dell’asse x e su di esse agiranno le forze i i (−i) σ dΣ . i(−i)

L’equilibrio alla traslazione del tetraedro fornisce quindi la seguente equazione σ dΣ + σ dΣ + σ dΣ + σ dΣ = 0 α 1 2 3(−1) (−2) (−3).

Nello scrivere questa reazione non si è tenuto conto della forza di volume F dV in quanto si tratta di un infinitesimo del terzo ordine, come tale trascurabile rispetto alle altre forze in gioco che sono invece del secondo ordine.

−σ Ricordando che σ = , introducendo questa uguaglianza nell’espressione dΣ = n dΣ si −α i α αi ottiene: σ = σ n + σ n + σ n = σ n α 1 α1 2 α2 3 α3 i αi.

Dove con σ si indicano i vettori di sforzo sulle giaciture identificate dai versi positivi degli assi i coordinati.

Lo stato di sforzo in P risulta completamente definito dalle 3 componenti vettoriali σ o, equivalentemente dalle nove componenti scalari σ i ij.

Detta σ la matrice di queste componenti, si può scrivere σ come: α |σ |σ σ = [σ ]n α 1 2 3 α     σ σ σ n 11 21 31 α1 σ σ σ n = 12 22 32 α2     σ σ σ n 13 23 33 α3 = σ = σn α α.

Si osservi che le tre componenti vettoriali σ dello stato di sforzo corrispondono alle righe della i 2 matrice appena riportata.

Poiché l’espressione appena scritta deve valere per tutto il continuo, possiamo esprimere la condizione al contorno per il continuo di Cauchy: σn = t.

Dovendo inoltre esserci equilibrio per ogni porzione del solido, possiamo derivare una scrittura delle equazioni indefinite di equilibrio a partire dal volume e dalla superficie infinitesima trattati all’inizio del capitolo. 3.

Possiamo dunque scrivere che: Z Z bdV + σ dΣ = 0 α ∆V ∆Σ Z Z bdV + σn dΣ = 0 α ∆V ∆Σ Z Z ∇σdV bdV + = 0 ∆V ∆V Z ∇σ)dV(b + = 0 ∆V ∇σ + b = 0.

2 T Quella da me riportata è la notazione ingegneristica, quella matematica comprende σ al posto di σ che formalmente sarebbe più corretta.

3 Grazie al Teorema della divergenza nel terzo passaggio.

Quest’ultima espressione prende il nome di equilibrio indefinito.

Scrivendo quest’ultima espressione sotto forma di indiciale o tensoriale possiamo scrivere: dσ ij → + b σ + bj ij,i j dx i.

Nell’ultima espressione ”σ ” indica la derivata di σ rispetto a x . ij ij i i.

Le σ sono positive se concordi con il verso po-ij sitivo degli assi.

Immaginiamo ora di dover definire l’equilibrio di rotazione attorno all’asse x, per farlo possiamo 3 introdurre delle condizioni iniziali e verificare i versi degli sforzi a cui è soggetto il corpo in questione.

 kσ , σ , σ , σ , σ non appaiono poiché x 13 31 23 32 33 3  Figura 5: Sforzi agenti sul corpo di σ ha due contributi uguali ed opposti 11 riferimento  σ ha due contributi uguali ed opposti  22.

Fatte queste premesse, rimangono solamente: σ , σ 12 21.

Svolgendo dunque dei calcoli si otterrà che; − − (σ dx dx )dx (σ dx dx )dx = (σ σ )dx dx dx = 0 12 2 3 1 21 1 3 2 12 21 1 2 3 4 e dunque sono simmetriche.

Questo significa che σ = σ 12 21.

A questo punto possiamo introdurre il concetto di componente tangenziale. Prendiamo dunque un punto P del solido in analisi e proviamo a disegnare un generico sforzo σ e la normale rispetto α alla superficie su cui risiede il punto P, n α.

Figura 6: Componente tangenziale

σ = σ + τ α αn αn.

Dove poiché ·σ = σ σ = σ n αn nα α α.

Possiamo definire la componente tangenziale come: − − → |τ | |σ − |τ = σ σ = σ σ τ = = σ αn α αn α nα α α nαn.

Occorre ricordarsi che per caratterizzare un tensore sono necessari 9 parametri, infatti la componente normale è definita come: ·σ = σ n α α.

Sia le componenti tangenziali che normali del vettore di sforzo, vengono definite nel riferimento di n α.

Possiamo dunque definire il tensore degli sforzi sostituendo agli sforzi che non agiscono in direzione parallela agli assi di riferimento, bensì in direzione perpendicolare, il termine τ   σ τ τ x xy xz τ σ τ = (τ = τ )σ yx y yz ji ij   τ τ σ zx zy z.

La condizione di simmetria si basa sull’analisi fatta in merito all’uguaglianza σ = σ . 12 21.

1.3.1 Proprietà del tensore degli sforzi

Con la rotazione del sistema di riferimento, le componenti del tensore degli sforzi si trasformano seguendo la legge di variazione di un tensore doppio. Ci si chiede dunque se esistano delle giaciture sulle quali esse assumano un aspetto particolare; più precisamente si cercano (qualora esistano) giaciture n su cui il vettore tensione α 5 6 (σ = σn ) presenti solo componente normale: α α σ = sn α α.

Per identificare la rotazione che consente di avere il vettore sforzo allineato con la normale, ci si conduce alla ricerca delle soluzioni del seguente problema: −σn = sn oppure [σ sI]n = 0 α α α.

Dove I indica il tensore di Kronecker, l’ultima espressione trovata si può scrivere per esteso come:      −σ s τ τ n 0 x xy xz αx     −τ σ s τ n 0 = yx y yz αy   −τ τ σ s n 0     zx zy z αz.

La soluzione di questo problema va trovata negli autovalori, per cui occorre cercare i valori di s che annullano il determinante della matrice, operazione che viene svolta impostando la seguente operazione di terzo grado: 3 2 − −s I s + I s I 1 2 3.

5 σ = σ n α,j ij α,j.

6 ∃ ci si chiede se una direzione spaziale per cui σ = σ ? α nα.

 I = σ + σ + σ 1 x y z  7 − − − Dove si è posto: I = σ σ + σ σ + σ σ τ τ τ τ τ τ 2 x y y z z x xy yx yz zy xz zx  I = det(σ)  3.

Un noto teorema di algebra assicura che essendo σ simmetrico, l’equazione di terzo grado ha sempre tre radici reali: s , s , s ,