Appunti di Fluidodinamica sulla vorticità

Vorticità

La vorticità ω̄ = ∇̄×̄ può essere studiata tramite un approccio:

• Integrale: studio cosa accade nel volume, ovvero il vertice.
• Locale: calcolo la vorticità ω̄(x, ɛ).

Partiamo dall'approccio locale ⇒ vogli arrivare ad un'eq del tipo Dω̄..._Dt, ovvero un'eq per le vorticità in forma di trasporto.

Nota: potrei risolvere Navier-Stokes calcolando a mano per trovare ∇̄×̄ ma è un processo lungo, io voglio direttamente un'eq. con ω̄ che mi permette di capire come funziona.

⇒ ω̄ = ∇̄×̄ = ∇̄×[Navier-Stokes] per semplificare faccio qualche assunzione:

1. ∇̄× (∇̄⧠) = 0 sempre identità̄ = ∇̄×(̄² + ω̄×̄) vettoriale.
2. Considero fl-cst ovvero un fluido incomprimibile (nella notte le variazioni di densità incidono su vortic.).
3. Assumo ̄ = -∇̄ ovvero che le forze di massa siano conservative. Tale ipotesi va bene per tutte le nostre applicazioni: le forze i di gravit. Otteniamo così:

∂² / ∂ + g⧠̄⧠̄⋅̄ = -∇̄ϱ⧠̄(∇̄ - μ∇̄(∇̄⋅̄)) + μ⊔̄̄

Ora quindi posso fare il rotore di tutto, prima qualche considerazione:

• ∇̄× ∂⧠⧠̄/ ∂ ⧠≡ ∂/∂⧠•⧠
• ∇̄×( ⧠⧠̄⋅⧠⧠) = ⧠⧠̄(∇̄⋅⧠·)

Vorticità

La vorticità _ω̅=_∇xu̅ può essere studiata tramite un approccio:

• Integrale: studio cosa accade nel volume, ovvero il vertice.
• Locale: calcolo la vorticità _ω̅(x,_ε).

Partiamo dall’approccio locale → vogliamo arrivare ad un’eq del tipo D_{ω̅/dt... ovvero un’eq per le vorticità in forma di trasporto}

Nota: potrei risolvere Navier-Stokes calcolando a pc poi trovarmi _∇xu̅ ma è un processo lungo, io voglio direttamente un’eq. con tutto che mi permette di capire come funziona.

⇒ _ω̅=_∇xu̅=_∇x[Navier-Stokes] per semplificare facciamo qualche consid. invecosione

1. _∇x(_∇α)=0 sempre → identità _ū=_∇x(_u²) + _ω̅xu̅ → vettoriale.
2. Considero ❴-cst. ovvero un fluido incomprimibile (nella realtà le variazioni di durata incidono sui vortici.)
3. Assumo _F̅=_∇G̅ ovvero che le forze di massa siano conservative. Tale ipotesi va bene perlomeno p.e. nelle nostre applicazioni le forze i di gravitico. Otteniamo così:

^∂_u2/∂t+_g̅xu̅=_p̅∇G̅(_x^∇G̅)²_∇(_μ[ ^{∇G̅_xG̅i̅u̅}]) -^∇G̅+_μū

Ora quindi posso fare il rotcore di tutto, prima qualche considerazione:

• _{ω̅∇∂∇/sub>∂t^x1-x2 ∂ ω̅x•}
• _ūu̅(ū-u̅) = ū̅(∇xū)

∫ _V x (∂_u̅ / ∂t) + ∫ _V x [∇̅ (u̅ ² / 2)] + β ∫ _V x (ω̅ x u̅) = ∇̅ x (∇p̅) - β ∫ _V x (∇G̅) + μ ∫ _V x (∇ ₂ u̅)= φ per 1= φ per 2= ∇̅ (∇ x u̅) == ∂ω̅ / ∂t

Equazione di trasporto

Otteniamo così: ∫ ∂ω̅ / ∂t + β ∫ ∇̅ x (ω̅ x u̅) = μ ∇ ₂ ũ

∇̅ x (ω̅ x u̅) = û̅ · ∇ω̅ - ω̅ · ∇ũ̅

➔ ∂ω̅ / ∂t - β ( û̅ · ∇ω̅ - ω̅ · ∇ũ̅) = μ ∇ ² ũ dato lele due mot

∂ω̅ / ∂t = ∂ω / ∂t + û̅ · ∇ω̅

Ottengo: ∂Dω̅ / Dt = β ω̅ · ∇ũ + μ ∇ ² ω̅ eq. trasporto per flussi incomprimibili.

Come si intuisce tale espressione?

Ho un vortice che entra in un condotto a sezione ridotta. Il vortice però è incomprimibile, per cui diminuendo in sezione aumenta in allungamento.

Diminuendo V rende ➔ aumenta velocità di rotazione ➔ ω̅ ₂ > ω̅ ₁

Tale fenomeno è detto vortex stretching ed è contenuto nel termine ω̅ · ∇ũ che tiene conto dei cambiamenti nel gradiente di velocità ∇ũ. Tale fenomeno è responsabile della persistenza dei vortici diventano talmente piccoli da evitare degli effetti viscousi e perdere energia.

Il termine moto tiene invece conto degli effetti viscosi proprio:

Per via della viscosità, il vortice ottiene a sé altre particelle che ne aumentano l'intensità.

Nota: se mi trovi in 2D mai potrei avere verifica vortex stretching perché mancherebbe l'ipotesi di incomprimibilità.

Ciò significa che in tutto quanto, dove g≠cost e ℓ≠polo viscosità → i vortici non si esasperiscono.

Ottica integrale

Concentriamoci ora nell'ottica integrale:

Def. linee di vorticità come le linee di corrente:

• La vorticità è tg. alla linea.
• Le linee di corrente girano intorno alla vorticità (quindi ℓ tg. a linee di corrente e a linee di vorticità).
• Ovvero ω‖u‖v.

Un esempio per capire ciò è l'acqua che scorga in un lavandino.

Possiamo quindi dare una prima def. di vortice come tutte le linee di vorticità che passano attraverso una superficie chiusa, il cui bordo è detto quindi confine del vortice.

Il problema che vi pone è che il vortice è per forza "studiato in stile Lagrangiano", quindi le linee e le superfici che prendete per definirlo non possono essere di controllo (fisse) ma materiali, sono cioè date da quelle singole particelle che vi portano nello spazio.

Quindi il vortice è dato dalle linee di vorticità contenute dentro una linea materiale. Come cerco voluto l'intensità di un vortice? Con la circolazione (circolazione):

∮_cu ⋅ dl → ∮_cu ⋅ dl

Le lunghezze infinitesime con direz. tg ed u.

Ciò da faccio è cioè misurare gli effetti della velocità lungo le linee materiali, in modo da capire l'intensità del vortice.

È importante dire che comunque la componente di u che incide nelle vorticità è quella è l'insetto, che u è tg alle linee di corrente e non supera e il dato di quest'ultima è artificiale.

=> Circolazione Γ:= ∮_cu ⋅ dl), usando il teorema di Stokes

∮_cu ⋅ dl: ≡∬_s(∇^xu) ⋅ n dS che nel nostro caso= ∬_sω ⋅ n dS

Teorema di Helm

Il teorema di Helm dice che è dato Γ := ∮_cu ⋅ dl = ∬_sω ⋅ n dS.

• Se trascuriamo μ, quindi il vortice evolve senza “diffondersi”.
• Se f = -∇G nel caso di forze di massa solo gravitaz.
• Se β = cost. lungo una qualsiasi linea materiale chiusa dΦ/dt=ϕ ovvero dΓ/dt=0ϕ, cambia la forma delle linee materiali, ma la circolazione no.

Ciò è importante perché per esempio: prendo le mie linee materiali, interno all'ala di un aero, in tal caso avrò

• Per t=ϕ l'aereo è fermo => U=ϕ => Γ=ϕudl=ϕ.
• Per t≠ϕ l'aereo è in movimento => Γ ≠ ϕ.

Può per Kelvin dΓ/dt=ϕ => dΓ=ϕdt quindi anche per t≠ϕ la circolazione deve essere nulla ciò viene spiegato dallo starting vortex.

Si crea un secondo vortice che gira al vertisarsi in modo da annullare Γ. Successivamente questo secondo vortice si divide, ma finché esiste dà un contributo importante.

Nota: un aero più grosso crea uno starting vortex più grande quindi se ad esempio un aereo piccolo si ritrova in esso, potrebbe avere dei problemi.

I 3 teoremi di Helmholtz

Arriviamo così ai 3 teoremi di Helmholtz:

dΓ/dt=ϕ => dΓ=ϕdt non solo nel tempo, ma anche su ogni dt linea materiale che passano lungo un vortice (contemporaneamente).

T₁ = Γ₂ - Γ₃ Per fare ciò i vortici non devono essere divisi: quindi devono essere ad anello al centro o infiniti.