Appunti di Fluidodinamica - Parte 4

Dipartimento di Ingegneria

Fluidodinamica

Corso del Prof. Roberto Verzicco

Appunti a cura di Matteo Possidente

Dipartimento di Ingegneria

Fluidodinamica

Corso del Prof. Roberto Verzicco

Appunti a cura di Matteo Possidente

Parte 4

• Soluzioni esatte delle equazioni di Navier-Stokes
• Equazione di Bernoulli
• Tubo di Pitot
• Tubo di Venturi
• Lo strato limite
• Equazione di Prandtl dello strato limite

Soluzioni esatte delle equazioni di Navier-Stokes

Hp: fluido incomprimibile omogeneo → ρ = cost

∇ · u = 0

ρ (∂u/∂t + u·∇ u) = -∇p + ρf + μ ∇²u

Sia u = (u,v,w) in coordinate cartesiane ortogonali

{∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0

ρ{∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z} = -∂p/∂x + ρf_x + μ {∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²}

ρ{∂v/∂t + u ∂v/∂x + v ∂v/∂y + w ∂v/∂z} = -∂p/∂y + ρf_y + μ {∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² + ∂²v/∂z²}

ρ{∂w/∂t + u ∂w/∂x + v ∂w/∂y + w ∂w/∂z} = -∂p/∂z + ρf_z + μ {∂²w/∂x² + ∂²w/∂y² + ∂²w/∂z²}

Le incognite sono u,v,w,p.

Flussi piani

Caso 1: flusso tra lastre piane e parallele ferme

Sia h ↔ L_x, h ↔ L_z

i_s = (0, -g, 0)

L'unica forza che può generare del moto è il ∇p. Immaginiamo di fissare p_in e p_out costanti nelle rispettive superfici. Ciò che accade a y e che accade a z, deve essere esattamente uguale, perciò la differenza di pressione è identica, come lo è la geometria. Le pressioni lungo gli assi saranno una equilibrata all'altra.

Questo ci dice che il sistema deve essere omogeneo in z, ovviamente tutte le derivate parziali fatte rispetto a z devono essere nulle (∂/∂z = 0). Questo ciò dà anche la bidimensionalità del sistema.

Oss: Questa è una ipotesi.

Hp: u = (u,0,0) ragionevole in quanto il ∇p è applicato solo in direzione x.

In generale, sarebbe comunque il problema tridimensionale nello spazio e in linea di principio non stazionario, l'unica componente di velocità è u = u(x,y,z,t) in questo caso il moto potrebbe essere scritto con parte finale sopra.

Hp: flusso stazionario: ∂u/_∂t = 0 ~~ u(x,y)

Sostituendo le ipotesi nelle equazioni

∂u/_∂x = 0 ~~~~ questa mi dice che u può essere al più funzione di y

0 = -¹/_ρ ∂p/_∂x + ¹/_μ ∂²u/_∂y² ~~~~ non dipendendo da y, posso usare

0 = -¹/_ρ ∂p/_∂z ~~~~ ci conferma che z rispetta la bidimensionalità

d²u/_dy² = -¹/_μ dp/_dx

∫ d²u/_dy² = ¹/_μ dp/_dx y

BCs, A = -¹/_μ dp/_dx h² / 2

⇒⇒ U(y) = ¹/_2μ dp/_dx (y² - hy)

Ricordando che d²u/ = 0

dP/dx = cst ⇒ Pour - Pin/Lx =

Il profilo di velocità che si ottiene è una parabola.

max = u(h/2) = - ¹/₂ dp/_8μ

È importante fare una precisazione. Questa soluzione inizia a perdere di validità quando vengono meno le ipotesi da noi assunte basse. Queste ipotesi funzionano molto bene fino a quando il flusso rimane molto confinato. Se iniziamo a avere questo fattore di confinamento non funziona più molto bene.

Per capire se il flusso è o non è abbastanza confinato, vedremo, c'è un parametro adimensionale che ci dà cioè, ossia il numero di Reynolds.

Per questo problema il numero di Reynolds è così definito: La soluzione rimette valida fino a quando rimane sotto quel valore ( è indicativo).

Caso 2. Flusso tra lastra ferma e parallela

(Una ferma, l'altra in moto)

Nella stessa ipotesi del