Appunti di Fluidodinamica - Parte 3

Dipartimento di ingegneria

Fluidodinamica

Corso del Prof. Roberto Verzicco

Appunti a cura di Matteo Possidente

Dipartimento di ingegneria

Fluidodinamica

Corso del Prof. Roberto Verzicco

Appunti a cura di Matteo Possidente

Parte 3

• Equazione di conservazione della massa
• Equazione di bilancio della quantità di moto
• Tensore degli sforzi e relazione costitutiva
• Equazione di conservazione dell’energia
• Equazioni di Navier-Stokes
• Varie forme dell’equazione di conservazione dell’energia

Equazione di conservazione della massa

Sia b(x,t) = 1   (l unità) → B(t) = M(t)   massa di un volume materiale

M(t) = ∫_V(t) (ρ(x,t) dv = cost → M(t)/dt = 0 = /dt ∫_V(t) (ρ(x,t) dv

Cioè: − 0 = d/dt ∫_V(t) (ρ(x,t) dv = ∫_V (∫ _{/∫t dv) + ∫S (ρ v·n m ds)}  

∫_V (∫ _{/∫t dv) + ∫S (ρ v·n m ds) = 0}

Equazione di conservazione della massa (scritta in forma integrale)

Per capire cosa verificare sia − una forma (∼verde).

oss: teorema della divergenza: ∫_S q·n m ds = ∫_V q v dv

∫_V (∫ _{/∫t dv) + ∫V χ ·((ρv)dV = ∫V (∫ /∫t + χ ·((ρv)) dv = 0}

ǔCǕ = 0

oss: l'equazione in forma integrale, ha senso utilizzarla soltanto se il primo termine non c'è (quando il sistema è stazionario); vista la difficoltà di calcolo, ci chiede di calcolare una cosa all'interno del sistema e come varia nel tempo.

oss: l'equazione in forma integrale, ci porta a considerare delle quantità mediate; perché ma di vista il valore puntuale della grandezza.

Guardando _∂F/_∂t + ∇·(ρψ) = 0, essendo valida in forma locale, non guarda il sistema, ma guarda la singola particella fluida.

Rinominando ∇·(ρψ) = u·∇ρ + ρ∇·u ≃ ∂_f/_∂t + u·∇ρ + ρ∇·u = 0

Ma _D/_Dt = ∂/_∂t + u·∇; Allora: _Dρ/_Dt + ρ∇·u = 0

Ricorda che _D/_Dt è la variazione nel tempo della grandezza, vista da un osservatore che si muove _D/_Dt con la particella fluida lungo la sua traiettoria ma descritta nel momento in cui passa attraverso il punto di osservazione x.

_Dρ/_Dt + ρ∇·u = 0 ≠ ¹/_{ρ Dρ}/_Dt = -∇·u

La divergenza del campo di velocità in un punto è pari a ¹/_ρ ^D_ρ/_Dt cambiato di segno.

Sapendo che m = ρV ma m = cost, _dm = 0 = ρdV + Vdρ ≃ dp/_ρ = -dV/_V

Questo torna con quello trattato a pagina 33.

oss: Tutte le volte che ho un sistema le cui particelle fluide non cambiano di densità, allora _Dρ/_Dt = 0 e quindi l'equazione di conservazione della massa diventa:

Se ρ rimane costante lungo la traiettoria: ∇·u = 0

Le volte l'equazione di conservazione della massa scritta in questo modo, non è sbagliata, se ρ = cost (in tal caso il fluido è un fluido incomprimibile omogeneo). Non è meccanica, si può anche avere un fluido che si è densità, ma di fatto costante nello spazio ma così mantenuta scritta ∇·u = 0 esempio (es: acqua).

Esempio 1-2

Sono superfici permeabili.

u₂?

S = S_F ∪ S₁ ∪ S₂

Hp: ∂θ/∂t = 0 Sistema stazionario

∫_S ∂ρ/∂t dv + ∫_S ρu*n ds = 0 ⇨ ∫_S ρu*n ds = 0 ⇨ ∫_SF ρu_F n ds = ∫_S1 ρu₁ n ds + ∫_S2 ρu₂ n ds = 0

Se i profili u₁ e u₂ sono costanti (ulteriore semplificazione), allora:

ρ₁u₁S₁ = ρ₂u₂S₂

Hp: fluido acqua ⇨ ρ₄ = ρ₂ : Allora

u₂ = u₁ S_F/S₁ = u₁ πD₂²/πD₁² = 1,6/0,8²/0,32² = 10 m/s

Hp: fluido gas perfetto: elit ⇨ (T₁ = 200K, P₁ = 120kPa, T₂ = 255K, P₀)

u₂ = u₁ D₁²/D₂² P₀/P₂ T₂/T₁ = 45,1 m/s

P