Appunti di Fisica

Energia cinetica e lavoro

Che cos’è l’energia?

Energia

Il significato di energia è così vasto che scriverne una definizione chiara è davvero difficile. Se ci limitiamo all’aspetto tecnico, l’energia è una grandezza fisica scalare associata allo stato (o condizione) di uno o più corpi. L’energia è un numero che attribuiamo all’insieme di uno o più corpi. Se una forza interviene a modificare lo stato di uno dei corpi, ad esempio muovendolo, il numero che rappresenta l’energia cambia. L’energia si può trasformare da una forma ad un’altra e può trasferirsi da un corpo a un altro, ma la quantità di energia complessiva rimane sempre invariata (l’energia si conserva). A questo principio di conservazione dell’energia non è mai stata osservata alcuna eccezione.

Energia cinetica

L’energia cinetica è l’energia associata allo stato di moto del corpo. Quanto più veloce è l’oggetto considerato, tanto maggiore è la sua energia cinetica. Quando l’oggetto è a riposo, la sua energia cinetica è zero. Se la velocità di un corpo di massa m è notevolmente inferiore a quella della luce, si può definire l’energia cinetica come

1 2 K = mv 2 2 2 kg m /s kg · m /s

Esempio Se ci passa vicino un’anatra di massa 3 alla velocità 2, la sua energia cinetica è di 6. L’unità di misura dell’energia cinetica (così come di qualsiasi altra forma di energia) è il joule (J) ed è definita come

2 2 kg · m /s 1 J = 1

L’anatra quindi possedeva un’energia cinetica di 6 J.

Il lavoro

Se applicando una forza su un oggetto facciamo crescere la sua velocità, crescerà anche la sua energia cinetica, se con una forza freniamo l’oggetto e ne diminuiamo la sua velocità, diminuirà anche la sua energia cinetica. La nostra forza ha trasferito energia da noi all’oggetto oppure dall’oggetto a noi. In un tale trasferimento di energia causato da una forza, si dice che la forza ha compiuto il lavoro sull’oggetto. Formalmente: il lavoro è l’energia trasferita a un corpo a un corpo o da un corpo per mezzo di una forza che agisce sul corpo stesso. L’energia ceduta al corpo è un lavoro positivo, mentre quella ceduta dal corpo è un lavoro negativo.

Il lavoro dunque è energia trasferita e compiere il lavoro è l’atto del trasferimento di energia. Il lavoro ha la stessa unità di misura dell’energia ed è una grandezza scalare.

Espressione del lavoro

Per calcolare il lavoro compiuto da una forza su un corpo durante un certo spostamento, si considera solo la componente della forza lungo la direzione dello spostamento subito dal corpo. Il lavoro compiuto dalla componente della forza perpendicolare allo spostamento è nullo.

L = F d F = m a

È ottenuto dalla seconda delle di Newton proiettata sull’asse x da . Servendoci di una delle equazioni dell’accelerazione costante e prendendo in considerazione la differenza di energia cinetica finale ed L = F d iniziale si arriva proprio ad .

x F Fcosφ φ Si può scrivere come dove rappresenta l’angolo compreso tra le direzioni della forza e dello x L = F · d spostamento, si utilizza la definizione di prodotto scalare e si scrive: (lavoro compiuto da una forza 1 costante, costante). L’uso di queste equazioni è soggetto a due restrizioni la forza deve essere non deve cambiare 2 puntiforme, rigido: né in modulo né in direzione durante il moto del corpo, il corpo deve essere cioè deve essere tutte le parti del corpo devono muoversi insieme nello stesso modo.

Il lavoro svolto da una forza su un corpo può essere positivo o negativo. Una forza compie lavoro positivo quando la sua componente nella direzione dello spostamento è di verso concorde con lo spostamento stesso. Nel caso opposto il lavoro è negativo. Il lavoro è newton per metro, nullo se questa componente è nulla. Il lavoro è equivalente al perciò abbiamo

2 21J = 1kg · m /s = 1N · m .

Se due o più forze agiscono simultaneamente su un corpo puntiforme, il lavoro totale compiuto sul corpo è la somma dei lavori svolti da ciascuna forza. 1 di 4 1 2 Possiamo trovare i lavori compiuti da ciascuna forza e poi sommarli. Altrimenti possiamo calcolare la forza risultante dalla somma di tutte le forze, applicando l’equazione in cui al posto della forza abbiamo la forza φ netta e l’angolo compreso tra le direzioni dello spostamento e della forza netta.

L = F · d net

Teorema dell’energia cinetica

1 12 2 mv − mv = F d Riprendendo in considerazione la variazione di energia cinetica nell’equazione chiamiamo x0 2 2 ΔK L la variazione di energia cinetica del corpo e il lavoro totale compiuto su di esso. Allora possiamo scrivere l’equazione come ΔK = K − K = L f i e con questo intendiamo dire

(variazione di energia cinetica di una particella) = (lavoro totale svolto sulla particella).

Si può anche scrivere come K = K + L f i che equivale a (Energia cinetica a lavoro compiuto) = (energia cinetica iniziale) + (lavoro totale svolto).

Le espressioni descritte sono note con il nome di teorema dell’energia cinetica per un corpo puntiforme.

Lavoro compiuto dalla forza di gravità

m v Prendiamo in considerazione un oggetto di massa gettato in aria con velocità e con energia cinetica iniziale 01 2 K = mv . Su questo agisce la forza di gravità. Per trovare il lavoro useremo l’equazione i 02 L = mgdcosφ.

g ° F d 180 Per un corpo che sale, la forza è diretta in verso opposto a quello dello spostamento. L’angolo vale e l’equazione diventa ° L = mgdcos(180 ) = mgd(−1) = − mgd g mgd

Il segno - indica che durante la salita del corpo la forza di gravità trasferisce l’energia a spese dell’energia cinetica del corpo stesso, il che è coerente col fatto che esso rallenta mentre sale. Dopo che il corpo ha raggiunto ° φ F d 0 la massima altezza, comincia a ricadere e l’angolo tra la forza e lo spostamento diventa . Pertanto g abbiamo ° L = mgdcos(0 ) = mgd(1) = mgd g mgd

Il segno positivo indica che durante la discesa del corpo la forza gravitazionale trasferisce l’energia a favore dell’energia cinetica del corpo stesso, il che è coerente col fatto che esso accelera mentre scende.

Lavoro compiuto nel sollevare e abbassare un corpo

F Supponiamo di sollevare un corpo applicandogli una forza . La forza applicata tende a trasferire energia al corpo ΔK mentre quella di gravità tende a trasferire energia in senso inverso. La variazione dell’energia cinetica del corpo dovuta a questi trasferimenti è ΔK = K − K = L + L f i a g

Si applica anche nel caso in cui abbassiamo il corpo, ma in questo caso la forza di gravità trasferisce energia al corpo mentre la forza applicata gliene sottrae. Spesso il corpo è fermo prima e dopo il sollevamento, in questo K K caso sia sia sono nulli e l’equazione diventa f i L + L = 0 L = − L ossia a g a g L = − mgdcosφ φ F d Possiamo riscriverla come dove è l’angolo compreso tra e . Se lo spostamento è a g ° φ 0 −mgd verticale verso il basso, allora = e il lavoro svolto dalla forza applicata è a pari a .

(Esempio ascensore). 2 di 4

Lavoro svolto da una forza elastica

Forza elastica forza variabile. La è una

Forza esercitata su una molla Prendiamo in considerazione una molla nel suo stato di riposo, quando cioè non è compressa né tirata. Uno dei due capi è fisso, l’altro capo è libero ed è attaccato ad un oggetto assimilabile a una particella, come per esempio un blocco rigido. Allunghiamo la molla tirando il blocco verso destra, per reazione la molla tira il blocco verso sinistra, tendendo a ripristinare il suo stato di riposo. Questa forza è nota forza di richiamo. come Comprimiamo la molla spingendo il blocco verso sinistra, la molla spinge il blocco verso destra per cercare di ripristinare anche questa volta il suo stato di riposo. La forza elastica della molla è data da F = − k d (legge di Hooke)

Il segno - indica che la forza elastica della molla è sempre orientata in verso opposto rispetto allo spostamento k costante elastica del suo capo libero dalla posizione di riposo. La costante è chiamata e misura la rigidità k della molla, maggiore è , più rigida è la molla.

k (N/m) L’unità di misura SI per è il newton al metro .

x F = − k x x F In correlazione all’asse parallelo all’asse della molla, l’equazione diventa . Se è positivo, è x x x forza variabile, negativo, viceversa se è negativo. La forza della molla è una perché modulo e verso dipendono x F x funzione lineare dalla posizione del capo libero. ( La legge di Hooke è una tra e .x

Lavoro svolto dalla forza elastica Per trovare un’espressione del al muoversi del blocco, facciamo due ipotesi sulla 1 2 priva di massa, molla molla: la molla sia la sua massa è trascurabile rispetto alla massa del blocco; sia una ideale che obbedisce perfettamente alla legge di Hooke. Assumiamo anche che il contatto tra il blocco e il pavimento sia privo di attrito e che il blocco si comporti come un corpo puntiforme. Se la forza non è costante e F L = Fdcosφ non vi è un unico valore di non possiamo usare l’equazione , potremmo suddividere il tratto percorso dal blocco in piccoli segmenti, analizzarli singolarmente applicando l’equazione e calcolare infine il lavoro totale. Sarebbe un procedimento troppo lungo in vista di numerosi segmenti, così possiamo ridurre la infinitesimo dimensione dei segmenti a un valore ed operiamo un’integrazione matematica. Per trovare il lavoro x x svolto dobbiamo ricorrere all’analisi matematica. Sia la posizione iniziale del blocco e quella finale, dividiamo i f Δx la distanza di queste due posizioni in molti segmenti, ciascuno di lunghezza . Chiamiamo le forze relative a F , F , ciascun segmento ecc., ove il pedice si riferisce al segmento. Ora, poiché si considera costante la forza, 1 2 L = Fdcosφ possiamo applicare l’equazione a ciascun segmento per trovare il lavoro.

L x x Il lavoro complessivo svolto dalla molla sull’intero percorso da a è la somma di tutti questi lavori m i f elementari: ∑L = − F Δx m j Δx j rappresenta un generico segmento. Facendo tendere a zero, assume la forma x f ∫ L = − Fd x m x i F F = − k x Sostituendo a l’espressione otteniamo x ( ) ( )x x 1 1 ( ) f f ∫ ∫ [ ] x2 2 2 f L = (−k x)d x = − k xd x = − k x = − k x − xi f 2 2 x i xi xi Ovvero 1 12 2 L = kx − kx m i f 2 2 L Ed arriviamo a considerare che Il lavoro compiuto è positivo quando il blocco si avvicina alla posizione di m (x = 0) x = 0 riposo ed è negativo quando se ne allontana. Il lavoro è nullo se la distanza finale da non è x = 0 x mutata. Se e se chiamiamo la posizione finale, l’equazione diventa i i 1 2 L = − k x m 2 3 di 4

Lavoro svolto da una forza applicata: Quando un blocco attaccato a una molla è a riposo sia prima sia dopo uno spostamento, il lavoro sviluppato sul blocco dalla forza applicata è l’opposto del lavoro svolto su di esso dalla molla. non Se il blocco non è fermo né prima né dopo lo spostamento, la precedente affermazione è valida.

La potenza

L potenza. La rapidità con cui viene sviluppata una certa quantità di lavoro è una grandezza chiamata Se un lavoro Δt potenza media è svolto da una forza in un intervallo di tempo , la riferita a quell’intervallo si definisce con l’equazione L P̄ = Δt

P potenza istantanea La è la rapidità con la quale viene svolto un lavoro, descritta come dL P = dt

L’unità di misura SI della potenza è il joule al secondo. Questa unità si usa così spesso che ha un proprio nome: il W CV watt ( ). Spesso è usato anche il cavallo-vapore ( ) ed il loro rapporto è 1 1CV = 735,5W cavallo-vapore = P = F · v

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Vettori

In fisica si trattano numerose grandezze caratterizzate non solo da una quantità, ma anche dalla direzione in cui si manifestano; richiedono per poterle descrivere il linguaggio dei vettori. Un linguaggio che si usa in tutti gli ambiti tecnici e scientifici e persino nella comunicazione quotidiana.

Vettore direzione, ampiezza modulo, Un è un’entità individuata da un’intensità, o o da una cioè da una linea retta lungo la quale agisce, e da uno dei due sensi possibili lungo la retta. scalari Non tutte le grandezze fisiche implicano una direzione. Chiamiamo tali grandezze e le trattiamo con le vettore spostamento, vettore velocità vettore regole dell’algebra ordinaria. Esempi di vettori sono e accelerazione.

Somma di vettori

Questa non è una classica somma algebrica.

A due vettori viene associato un terzo vettore, detto vettore somma. La somma di vettori possiede due a b proprietà importanti: in primo luogo l’ordine degli addendi non è rilevante. Sommando e si ottiene lo stesso b a, risultato che sommando e cioè: a + b = b + a (commutativa)

a, b c a b c. Se vogliamo sommare e , possiamo per prima cosa sommare con e addizionare questa somma a b c a. D’altra parte possiamo per prima cosa sommare con e poi addizionare questa somma ad (a + b) + c = a + (b + c) (associativa)

-b b. Sommare ha l’effetto di sottrarre Utilizzando questa proprietà per definire la differenza tra due vettori. Se d = a-b, allora d = a − b = a + (−b) (sottrazione di vettori)

I vettori e le loro componenti

Componente La di un vettore è la sua proiezione su un asse. Per trovare le proiezioni di un vettore lungo un asse si tracciano le perpendicolari dai due estremi del vettore agli assi. Il procedimento per trovare le scomposizione del vettore. componenti prende il nome di

Somma dei vettori per mezzo delle loro componenti

Un modo di ottenere la somma di vettori nel combinare le rispettive componenti asse per asse. Si inizia r = a + b r (a + b) dall’uguaglianza , che significa che il vettore è identico al vettore . Se questo è vero, ogni r (a + b) componente di deve coincidere con la corrispondente componente di :

r = a + b x x x

r = a + b y y y

r = a + b z z z

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Prodotto di un vettore per uno scalare

a s Se moltiplichiamo un vettore per uno scalare otteniamo un nuovo vettore. Il suo modulo è il prodotto del a a.s. modulo di per il valore assoluto di La sua direzione è la stessa direzione di Se s è positivo, il vettore a; s prodotto mantiene lo stesso verso di se è negativo, il vettore risultante dalla moltiplicazione assume verso opposto.

Prodotto di un vettore per un vettore

Esistono due modi per moltiplicare un vettore per un vettore: il primo tipo di prodotto dà origine ad uno scalare (prodotto scalare), (prodotto vettoriale). l’altro dà origine ad un nuovo vettore

Prodotto scalare e prodotto vettoriale