Appunti di Elementi di impianti e centrali elettriche (parte 2)

Name: Appunti di Elementi di impianti e centrali elettriche (parte 2)
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Author: PaoloFaragalla

Revisionato il 09/07/2026

di PaoloFaragalla

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Quaderno di elementi di Impianti e centrali elettriche scritto vedendo le lezioni del professor Gatta, docente del corso di Elementi di impianti e centrali elettriche che è un esame del …

Esame Elementi di impianti e centrali elettriche

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Gatta Fabio Massimo

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2021-2022

50 pagine

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Appunti esame

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Estratto del documento

Come uso il metodo di NEWTON RAPHSON per un sistema di eq. non lineari?

voglio rimuovere {ξ}={ξ₁,ξ₂,...,ξ_m} tali che f_i(ξ₁,ξ₂,...) = Y_i

Applico Taylor prendendo una n-upla iniziale {X₁₀,X₂₀,...X_m₀} a piacere (di solito metto E=E_m e Θ=Θ 'come valori iniziali')

lo trascuro

Y_i=f_i(X₁₀,X₂₀,...,X_m₀) + _{∂f_i}/_∂x₁ ΔX₁^*+...+_{∂f_i}/_{∂x_m} ΔX_m^*

In forma matriciale:

{_Δy₁

Δy₁
Δy₂
Δy_m

{_ΔΘ

{_ΔE

= matice dei termini noti
Ϟ = matrice dei coefficienti del sistema linearizzato

Dunque trovo ΔX_m+

{ f_i(X₁,X₂,...) - Y_i } < Ѓ

in generale | f_i(X₁ⁿいm) - Y_i| < Ѓ

Tema: uso il metodo di Newton Raphson per un sistema di eq. non lineari?

y₁ = f₁(x₁, x₂, ..., x_m)y₂ = f₂(x₁, x₂, ..., x_m)...y_m = f_m(x₁, x₂, ..., x_m)

Voglio trovare {Ξ} = {Ξ₁, Ξ₂, ..., Ξ_m} tali che f_i(Ξ₁, Ξ₂, ...) = y_i

Applico Taylor prendendo una n-upla iniziale {x₁₀, x₂₀, ..., x_m0} a piacere (di fatto metto E = E_m e Θ = 0 come valori iniziali)

f_i(x₁₀ + Δx₁, x₂₀ + Δx₂, ..., x_m0 + Δx_m) = y_i

f_i(x₁₀ + Δx₁, ..., x_m0 + Δx_m) = f_i(x₁₀, x₂₀, ..., x_mo) + _{∂f_i}/_∂x₁ Δx₁^* + ... + R_i(x_io, x_m0)

(lo trascuro)... + _{∂f_i}/_{∂x_k} Δx_k^* +...

_{∂f_i}/_{∂x_m} Δx_m^*

y_i - f_i(x₁₀, x₂₀, ..., x_mo) = Σ_j=1ⁿ _∂f/_{∂x_j} Δx_j^*

(valutate con la n-upla iniziale)

In forma matriciale:

| y₁ - f₁₀ | | _∂f₁/_∂x₁ | ... | _∂f₁/_{∂x_m} | | Δx₁ || y₂ - f₂₀ | = | _∂f₂/_∂x₁ | ... | _∂f₂/_{∂x_m} | | Δx₂ || y_m - f_m0 | | _{∂f_m}/_∂x₁ | ... | _{∂f_m}/_{∂x_m} | | Δx_m |

n × 1 m × m

m vettore dei MATRICE DEI COEFFICIENTI

iincrementi DEL SISTEMA LINEARIZZATO

(Jacobiano)

Dunque trovo Δx_i+1 → x_i+1 = x_i0 + Δx_i x₂₄ = x₂₀ - Δx₂

| f_i(x₁, x₂, ...) - y_i | < ε → SI ← le soluzioni

↓ ricomincio con in generale | f_i(x_m) - y_i | < ε

le iterazioni il piccolo

Nel nostro caso all'iterazione i-esima:

| P₀ - P₀ | | _∂P/_∂Θ | | | [ΔΘ]_i || P_m+1,n | = | | [ΔE]_i |

| Q_m+1,n | | |

[Π_Ω,n],Θ,n | _∂Q/_∂E | | |

ESEMPIO:

Scrivo dunque le quattro equazioni:

P₁ = 3E₂E₁y₂₁cos(θ₂-θ₁-χ₂₁) + 3E₂y₂₂cos(χ₂₂) + 3E₂E₃y₂₃cos(θ₂-θ₃-χ₂₃)

P₃ = 3E₃E₂y₃₂cos(θ₃-θ₂-χ₃₂) + 3E₃y₃₃cos(χ₃₃)

Q₁ = 3E₂E₁y₂₁sin(θ₂-θ₁-χ₂₁) + 3E₂y₂₂sin(-χ₂₂) + 3E₂E₃y₂₃sin(θ₂-θ₃-χ₂₃)

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