Appunti di Aritmetica, aritmetica modulare, crittografia e combinatoria

Aritmetica

Lavoriamo in PE Z={...-2,-4,0,1,2,---} · Siaus a, b E B 2bt #Z a divide b: alb sse Icez: b=acb sia XER [x] è l'intero più grande toleche [x] 5 xbio b 50: esistonomo omici 9,70 E Z:b=aug treqē il qwozienteaqr è il resto.

Proprietà

• 1) Se alb eble alloca a (b + c).
• 2) Se alb allora albo kde 2.
• 3) Se oulbe blc allora allose dez: dlar, dlb, d & si dice divissacomune di a e b.

Ie piu grandea bdivisore comune di a ebé il massinomed (a, b)-290- se mad(a, b) = 1 olloca aTatarb =2 = 12 olloca no si dicono relativamente primi, being- madla, b) = mcdarbs= media, -b) = mcd6-02-b. pecché dl-a sse dla tout a.

Algoritmo di Euclide

Posso trovare e mad(a,b) con el algoritmo di Exclide siamo a, bez siamo que el com:inosrab e agbto alloca a= bqt too) madloubycomunedivisore:medđbire)per.

Posso anche usore e' algoritmo di Euclide scrivered come combinatione lineare di a ebcioè abbiamo trovato una soluzione di axtby=dcom x, ge Z, ma non ē l'unica =) => bisogna stare attenti quando si lavora cona et negativi: bisogna correggere i segnizx= x' g= 16 lg' dove xley è lasoluzione tearata con é algoritmo di Euclidex= low!'esteso.

Siamo a, b, dez somo equivalenti: @da med (a, b)o d è umdivisore comune positivo di a ebtale che ogni divisore comune a dia eb: aldd è il numero positivo piu piccolo tale che etbyse ae b somo relativamente primi :3x146Z : ax+by = 1xiyEZ +=1se albc saloequale adauxso e solo se-

Equazioni diofautee lineari

Qux+b4= (se 6=0 si dice omogenea)com x, y ez, che noi cerchiamo:

Caso 1

x = c1) Ouzo, bto solo se blc ci sono solusioni: XemMEZ29=</bq= 4.

2) Au to, b=0 solo se al ci sono solutionsla na mez14=rose 2a to, b&o, madcow, b) = 1, c=0x = -bn{24-cmMEZ=2)

Caso 3

a $0,5*0, c= madla,b), C=0{*= -bganezdaso aQ+0,5€0, de madla,b),Lo +primi.

• 1) Dfc = non ci sonosoluzioni.
• 2) Dic -> x= xhashim=x'cabosdove x, y'ME a una soluziomed14g=qtanaxt by = d.ass posto controllare se una soluzione è ouetta !!

Numeri primi

Numézisia PEZ, P>1 P si dice primo se i suoi divisorpositivi somo lepYa ez il divisore positivo so piu piccolo di a é pinIl numero dei p