Appunti di Analisi matematica I - seconda parte

Revisionato il 15/10/2026

di Francifatto

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Appunti relativi alla seconda parte del corso di Analisi matematica I, redatti seguendo le lezioni universitarie e e integrando con il libro. Comprende teoria, teoremi, dimostrazioni, esempi e …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Mercuri Carlo

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2024-2025

104 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

ES x

Descrivere e rappresentare nel piano di Gauss il luogo dei punti del piano che soddisfano contemporaneamente le seguenti disuguaglianze

|z - 1| > |z - 2 + i| e |z - 1 + i| < 1

Serie numeriche

Definizione

Data una successione di numeri reali {a_n}_n∈N, si chiama serie associata a {a_n} o serie di termine generale a_n la quantita

∑_n=0^∞ a_n = a₀ + a₁ +

Gli elementi a_n si chiamano termini della serie

Successione delle somme parziali

La successione

S_m = ∑_k=0^m a_k = a₀ + a₁ + ... + a_m

si chiama successione delle somme parziali

Serie convergente / divergente / regolare

Diremo che la serie è convergente se la successione delle

Diremo che la serie e DIVERGENTE POSITIVAMENTE se la successione delle somme parziali tende a +∞

Diremo che la serie e DIVERGENTE NEGATIVAMENTE se la successione delle somme parziali tende a -∞

Diremo che la serie e IRREGOLARE o INDTERMINATA se la successione delle somme parziali non ha limite.

In particolare, se la serie e convergente e S_m -> S&R

S = lim S_m = lim ∑_k=0^m a_k = ∑_k=0^+∞ a_k

ESEMPIO

a_m = (1/2)^m

a₀ = 1

a₁ = 1/2

a₂ = 1/4

S_m = ∑_k=0^m a_k = ∑_k=0^m (1/2)^k

S₀ = ∑_k=0⁰ (1/2)^k = 1

S₁ = ∑_k=0¹ (1/2)^k = 1 + 1/2

S₂ = ∑_k=0² (1/2)^k = 1 + 1/2 + 1/4

Sommatore di quantita positive tende a 0. a_n →

ESEMPIO Sia q in R, detta a_m = q^m. La serie associata a questa successione si chiama SERIE GEOMETRICA di ragione q

Possiamo dimostrare per induzione che

_k=0^m q^k = { m+1 se q = 1 (1 - q^m+1) / (1 - q) se q != 1 }

(non c'e bisogno dell'induzione)

Sia S in N tale che

0 in S
n in S => n+1 in S

=> S = N

Equivalentemente

Sia P(m) una proprieta che deve verificare sia vera VV m in N. Se P(0) e vera

P(m) => P(m+1)

vera per un certo m

=> P(m) e vera VV m in N

Torniamo a dimostrare il nostro esercizio

Se q = 1 => _k=0^m q^k = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = m+1

Rimane da dimostrare per induzione che

_k=0^m q^k = (1 - q^m+1) / (1 - q) se q != 1

* e P(m) sia S = {m in N : (*) e vera}

BASE DELL'INDUZIONE : P(0) vero o OES

1 = q⁰ = _k=0⁰ q^k = (1 - q⁰⁺¹)/(1 - q) = (1 - q)/(1 - q) = 1 OK

PASSO INDUTTIVO

IPOTESI

_k=0^m q^k = (1 - q^m+1)/(1 - q) per qualche m in N

TESI

_k=0^m+1 q^k = (1 - q^m+2)/(1 - q)

Dunque si ha

_k=0^m+1 q^k = q⁰ + q¹ + q² + ... + q^m + q^m+1 = _k=0^m q^k + q^m+1

= (1 - q^m+1)/(1 - q) + q^m+1 = (1 - q^m+1 + q^m+1(1 - q))/(1 - q) = (1 - q^m+1 + q^m+1 - q^m+1)/(1 - q) =

= (1 - q^m+2)/(1 - q)

Quindi se q != 1 _k=0^m q^k = (1 - q^m+1)/(1 - q)

sum q^k = lim_m->+oo sum q^k = lim_m->+oo (1-q^m+1)/(1-q)

q>1

es: q=2

lim_m->+oo (1-q^m+1)/(1-q) = lim_m->+oo (q^m+1-1)/(q-1) = +oo

La serie geometrica di ragione q>1 DIVERGE POSITIVAMENTE

q=1

sum q^k = m+1 -> +oo

La serie geometrica di ragione q=1 DIVERGE POSITIVAMENTE

1 < q < 1

|q| < 1

lim_m->+oo sum q^k = lim_m->+oo (1-q^m+1)/(1-q) = 1/(1-q)

La serie geometrica di ragione |q|<1 CONVERGE A 1/(1-q)

ESEMPIO

sum (1/2)^k = 1/(1-1/2) = 1/(1/2) = 2

sum (-1/2)^k = 1/(1-(-1/2)) = 1/(1+1/2) = 1/(3/2) = 2/3

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

q=-1

sum (-1)^k e irregolare

q < -1

_k=0^∞ (-2)^k = 1 - 2 + 4 - 8

e' irregolare

OSS Le serie geometriche sono uno dei RARI esempi di serie di cui non solo riusciamo a stabilire se converge o diverge ma (se converge) definiamo il valore preciso. Per le maggior parte dei casi ci accont

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