Appunti di Analisi matematica 1 (quello che serve per superare l'esame)

INDICE

INDICE..................................................................................................................................................................1

1. LIMITI............................................................................................................................................................... 6

Intorni.............................................................................................................................................................. 6

Punto di accumulazione e punto isolato......................................................................................................... 6

Definizione generale di limite.......................................................................................................................... 6

Successioni (e definizione di limite con le successioni)..................................................................................7

DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE........................................................................................................... 7

SUCCESSIONI CONVERGENTI.............................................................................................................. 7

ALTRA DEFINIZIONE DI LIMITE..............................................................................................................8

SUCCESSIONI DIVERGENTI E IRREGOLARI........................................................................................9

INSIEMI NON LIMITATI............................................................................................................................ 9

INFINITESIMI E INFINITI..........................................................................................................................9

SUCCESSIONE CONVERGENTE PER ECCESSO E PER DIFETTO.................................................. 10

FUNZIONI MONOTONE......................................................................................................................... 10

Teorema di monotonia.......................................................................................................................11

Limite destro e sinistro.................................................................................................................................. 11

Asintoto orizzontale.......................................................................................................................................12

Funzioni continue..........................................................................................................................................12

Il calcolo dei limiti.......................................................................................................................................... 12

TH. ALGEBRA DEI LIMITI PER I LIMITI FINITI..................................................................................... 12

Corollario del Th. algebra dei limiti per i limiti finiti............................................................................ 12

REGOLE PER LA SOMMA QUANDO UNO DEI DUE LIMITI E’ INFINITO............................................13

REGOLE PER IL PRODOTTO............................................................................................................... 13

REGOLE PER IL QUOZIENTE...............................................................................................................13

REGOLE PER LA POTENZA................................................................................................................. 13

TH. DI PERMANENZA DEL SEGNO......................................................................................................13

TH. DEL CONFRONTO.......................................................................................................................... 14

Primo Th. del confronto.....................................................................................................................14

Secondo Th. del confronto................................................................................................................ 14

Terzo Th. del confronto..................................................................................................................... 14

CALCOLO DI ASINTOTI VERTICALI..................................................................................................... 15

CALCOLO DI ASINTOTI OBLIQUI......................................................................................................... 15

CALCOLO DELLE FORME INDETERMINATE...................................................................................... 16

Calcolo xP(x)=+-............................................................................................................................... 16

Calcolo xP(x)Q(x)=............................................................................................................................16

LIMITI ESPONENZIALI: xx0[f(x)]g(x)......................................................................................................17

CALCOLO DELLE FORME INDETERMINATE ATTRAVERSO LIMITI NOTEVOLI............................... 17

Il primo limite notevole...................................................................................................................... 17

Limiti ricavati dal primo limite notevole..............................................................................................18

Il secondo limite notevole..................................................................................................................18

Il terzo limite notevole....................................................................................................................... 19

Il quarto limite notevole..................................................................................................................... 20

Il quinto limite notevole......................................................................................................................20

INFINITESIMI E INFINITI........................................................................................................................20

1

Il Th. del confronto per gli infiniti e gli infinitesimi.............................................................................. 20

Principio di sostituzione degli infinitesimi.......................................................................................... 22

2. FUNZIONI CONTINUE................................................................................................................................... 23

Definizione.................................................................................................................................................... 23

Th: legami tra funzioni continue e inverse.................................................................................................... 23

Punti di discontinuità e di singolarità.............................................................................................................23

DISCONTINUITA’ DI PRIMA SPECIE.....................................................................................................23

DISCONTINUITA’ DI SECONDA SPECIE.............................................................................................. 24

DISCONTINUITA’ DI TERZA SPECIE.................................................................................................... 24

Th. degli zeri (o Th. di Bolzano).................................................................................................................... 25

ESERCIZIO MODELLO.......................................................................................................................... 26

Th. di Weierstrass......................................................................................................................................... 26

ESERCIZI MODELLO............................................................................................................................. 27

Th. dei valori intermedi o di Darboux............................................................................................................ 27

DIMOSTRAZIONE.................................................................................................................................. 27

ESERCIZIO MODELLO.......................................................................................................................... 28

Metodo di bisezione...................................................................................................................................... 28

ESERCIZIO MODELLO.......................................................................................................................... 28

SPIEGAZIONE TEORICA.......................................................................................................................30

3. LE DERIVATE.................................................................................................................................................31

Regole di derivazione................................................................................................................................... 31

PRIMA REGOLA.....................................................................................................................................31

SECONDA REGOLA.............................................................................................................................. 31

TERZA REGOLA.................................................................................................................................... 32

QUARTA REGOLA................................................................................................................................. 32

QUINTA REGOLA...................................................................................................................................33

SESTA REGOLA.....................................................................................................................................33

SETTIMA REGOLA................................................................................................................................ 33

Th. sulla linearità della derivata.................................................................................................................... 33

COROLLARIO DEL TEOREMA..............................................................................................................33

Th. derivata del prodotto............................................................................................................................... 33

Th. derivata del quoziente.............................................................................................................................33

COROLLARIO........................................................................................................................................ 34

Derivata della tangente................................................................................................................................. 34

Derivata della cotangente............................................................................................................................. 34

Derivabilità sinistra e destra..........................................................................................................................34

Th. funzione derivabile funzione continua................................................................................................34

⇒

Regola per derivare le funzioni composte (Th.)............................................................................................ 35

ESERCIZI MODELLO............................................................................................................................. 35

Th. sulla derivata delle funzioni inverse........................................................................................................ 36

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA..................................................................................................... 36

DIMOSTRAZIONE DELLA DERIVATA DI ARCSEN X........................................................................... 36

DERIVATE DELLE ALTRE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE................................................... 36

ESERCIZI MODELLO............................................................................................................................. 37

Altra regola di derivazione............................................................................................................................ 37

ESERCIZI MODELLO............................................................................................................................. 37

Punti di non derivabilità.................................................................................................................................37

PUNTO ANGOLOSO.............................................................................................................................. 37

2

PUNTO DI CUSPIDE.............................................................................................................................. 38

PUNTO DI FLESSO A TANGENTE VERTICALE................................................................................... 38

ESERCIZIO MODELLO SUI PUNTI DI NON DERIVABILITA’................................................................ 38

Studio della derivabilità................................................................................................................................. 39

Studio della derivabilità delle funzioni a piani............................................................................................... 39

ESERCIZI MODELLO SULLA DERIVABILITA’....................................................................................... 39

4. TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI....................................................................................................42

Punti di massimo e di minimo relativi assoluti...............................................................................................42

Punti di massimo e di minimo assoluti (o globali)......................................................................................... 42

Th. di Fermat o delle “tre ipotesi”.................................................................................................................. 43

ESERCIZIO MODELLO.......................................................................................................................... 43

Th. di Rolle....................................................................................................................................................44

ESERCIZI MODELLO............................................................................................................................. 44

Th. di Lagrange.............................................................................................................................................45

A LIVELLO FISICO................................................................................................................................. 46

ESEMPI.................................................................................................................................................. 46

Corollari Th. di Lagrange.............................................................................................................................. 46

PRIMO COROLLARIO............................................................................................................................46

SECONDO COROLLARIO..................................................................................................................... 47

TERZO COROLLARIO........................................................................................................................... 47

Utilizzi dei corollari........................................................................................................................................ 48

Th. derivante dal terzo corollario...................................................................................................................48

Analisi dei punti stazionari con la derivata prima.......................................................................................... 48

PER TROVARE I PUNTI STAZIONARI.................................................................................................. 49

Analisi dei punti stazionari con la derivata seconda..................................................................................... 49

Funzioni concave, convesse e punti di flesso...............................................................................................49

TH. CRITERIO DI CONCAVITA’ E CONVESSITA’ PER LE FUNZIONI DERIVABILI DUE VOLTE........ 50

PUNTI DI FLESSO................................................................................................................................. 50

Condizione necessaria per l’esistenza di un punto di flesso.........................................................................50

Studio del segno della derivata seconda...................................................................................................... 51

Th. di Cauchy................................................................................................................................................51

Th. di de l’Hopital.......................................................................................................................................... 51

5. FORMULA DI TAYLOR.................................................................................................................................. 53

Come si ottiene la formula di Taylor?............................................................................................................53

Un esempio pratico della formula di Mclaurin............................................................................................... 53

Quale relazione matematica c’è tra il polinomio di Taylor e f(x)?.................................................................54

Formula di Taylor con il resto di Lagrange.................................................................................................... 55

Definizione di o piccolo................................................................................................................................. 56

PROPRIETA’ DI O PICCOLO................................................................................................................. 56

EQUIVALENZA ASINTOTICA.................................................................................................................57