Appunti di Analisi 1 e 2 completi

Name: Appunti di Analisi 1 e 2 completi
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Author: EnricoPichierri

Revisionato il 10/07/2026

di EnricoPichierri

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Sono uno studente presso l'università Politecnico di Bari, offro appunti su tutto il programma svolto dia in analisi 1 che in analisi 2 con esempi ed esercizi svolti, il programma …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Coclite Giuseppe Maria

Università Politecnico di Bari

A.A. 2022-2023

136 pagine

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Appunti esame

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Analisi matematica

L'insieme dei numeri naturali

N = { 0, 1, 2, ... } _{sistema europeo}

N* = N - {0} _{sistema americano}
L'insieme dei numeri interi relativi

Z = { 0, 1, -1, -2, 3, -3 }

n ∈ N ⇒ n ∈ Z (N ⊂ Z)

IN ⊄ Z

-1 ∈ Z - IN (IN ≠ Z)
L'insieme dei numeri razionali

Q = {ⁿ/_m , m ∈ Z , m ∈ Z* }

retta reale
L'insieme dei numeri irrazionali

Sono quei numeri non razionali ad esempio: π, √2, e, √5, ecc...
Simboli e linguaggio matematico

∀x, y ∈ R : x > y. x ∃y ∈ R

(quantificatore universale)

∃x ∈ R t.c.

-

1 ∃!

esiste un unico

(assol.) L

quantificatore universale
Proprietà associativa

∀x, y, z ∈ R . (x + y) + z = x + (y + z) . (λ + y) . z = λ (y + z)
Proprietà commutativa

∀x, y ∈ R . x . y = y . x

y > x
Proprietà distributiva

∀x, y, z ∈ R : x . (y + b) = x . y + x . z
Proprietà di ordinamento totale

∀x, y ∈ R : x < y c r y < x

Analisi matematica

Prof. Giuseppe Maria Coclite Lezione 127/9/22

L'insieme dei numeri naturali

N = { 0, 1, 2, ... }sistema europeoN* = IN - {0}sistema americano

L'insieme dei numeri interi relativi

Z = { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 }IN ⊆ Z-1 ∈ Z - IN (IN ∉ Z)

L'insieme dei numeri razionali

Q = { ^m/_n, m ∈ Z , n ∈ Z* }

L'insieme dei numeri irrazionali

Sono quei numeri non razionali ad esempio: π, √2, e, √5 ecc...

Simboli e linguaggio matematico

∀ x, y ∈ R : > x y . x y ∈ R(quantificatore universale, e unione per "or")

∃ x ∈ R t.c.O∃!(esiste un'unica assol)

Proprietà associativa

∀ x, y, z ∈ R . (x + y) + z = x + (y + z) ; (λ y) . z = λ (y z)

Proprietà commutativa

∀ x, y ∈ R . x y = y x , x + y = y + x

Proprietà distributiva

∀ x, y, z ∈ R . x ( y + z ) = x y + x z

Proprietà del ordinamento totale

∀ x, y ∈ R . x r < y (Y < X)

Teorema

Il teorema è composto da:

Ipotesi → Tesi

implica

ma nelle dimostrazioni per assurdo troviamo

Ipotesi ma falsa tesi

che puo' condurci ad una contraddizione

Esempio:

Teorema √2 ∉ ℚ

per assurdo supponiamo che √2 ∈ ℚ quindi

∃ m,m ∈ ℤ t.c. √2=`m/m` m ≠ 0

Non è restrittivo supporre che m e `m` siano primi tra loro.

√2=`m/m` → `m=m √2` → `m^2=m*m*2` → `m^2=2m^2` → `m` pari

Poiché m pari → ∃ k ∈ ℤ t.c. m=2k

Quindi

√2=`m/m` → `m=m/√2` → `m^2=4k^2/1=2k^2`

→ `m^2` e pari → m è pari →

se m e m non sono primi tra loro in quanto entrambi pari. □

Fine di una dimostrazione.

Proprietà del continuo

∀ x,y ∈ ℝ x<y → ∃ q ∈ ℚ t.c. x<q<y

Cio' enuncia che in mezzo ad ogni coppia di numeri seppur vicinissimi in mezzo

si troverà sempre un numero razionale

Intervallo

(sotto insieme di R)

Si parla di intervalli solo quando si usano i numeri reali.

a, b ∈ R, a < b

[ a, b ] = { x ∈ R | a ≤ x ≤ b }

INTERVALLO CHIUSO E LIMITATO

] a, b [ = { x ∈ R | a < x < b }

INTERVALLO APERTO E LIMITATO

francese usano ⟦ a, b ⟧ inglesi invece (a, b)

[ a, b [ = { x ∈ R | a ≤ x < b }

INTERVALLO SEMI APERTO (SEMI CHIUSO E LIMITATO)

] a, b ] = { x ∈ R | a < x ≤ b }

INTERVALLO SEMI APERTO (SEMI CHIUSO E LIMITATO)

[ a, +∞ [ = { x ∈ R | x ≥ a }

INTERVALLO CHIUSO E ILLIMITATO (SUPERIORMENTE)

] a, +∞ [ = { x ∈ R | x > a }

INTERVALLO APERTO E ILLIMITATO (SUPERIORMENTE)

] -∞, b ] { x ∈ R | x ≤ b }

INTERVALLO CHIUSO E ILLIMITATO (INFERIORMENTE)

INTERVALLO APERTO E ILLIMITATO

Esempio

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