Appunti del corso di Segnali e sistemi

Esempi segnale di indicatrice dell'intervallo

Esempi segnale di A indicatrice dell'intervallo (-tit] funzione · Itte=I serect: >I IIt⑧ se -2-I impulso Grafico rettangolare funzione cardinale seno · I t1 0=tel R=sic: st to funzione gradino · Aretc0I ③1te =u: tc00 me II I triangolare Funzione impulso. MI reIta1itte=Mi re(t) 1= > Funzione segno A1I t >0te eogn: 7+ 201 x- 1-compleno esponenziale Funzione · est_cost+; tel: sint itit - 2jsinte eest =--cost-jsintest_est_it -it sint-costC2 +2 2j

Trasformazioni di segnali

Ribaltamento

Ribaltamento · MM SDy(t)x:(R 1(t)x nermat- =Fte y(t) x)- t) ribaltato III 'te= in'tz tz- -tol(di

Traslazione parametro

Traslazione parametro · &1 Ix : -Xt,to ytolt) x(t-to)=tz0 RITARDO* > -t'- tt to ++ 2 01to ANTICIPO20 · - SCALA

Cambiamenti di scala

Cambiamenti di scala · 1R KiX: - y(t) x(a) x(t)Ftel, x(â)y(t) == =& viene a<1 y compreno -I& dilatato viene c ao < 1 y inIaLO y((alt)y,(t) y) at) =-=y(t) y,) t)-=

Parametri descrittivi di un segnale

Valor medio

Valor medio [t, tz] dei intervallo limitato Su SEGNAL CONTINUI · +2S1 I(t)dt1(t,,t)(x) = ta-teI I[n,, nn] dei intervallo limitato Su SEGNAL DISCRETI · IIm* (n)(x) x=In, ha) 1nz n, h,n+- =i dei Se SEGNAL CONTINUl · eIlin dt1(x) (t)x= 2 TT +0>- dei se DISCRETI SEGNAL · EIlin x(n)1(x) = 02N+1T > N+ n- -=

Energia per un segnale

Energia XUN SEGNALEDI [t, tz] dei intervallo limitato Su SEGNAL CONTINU · 1)"xcidtEs,,t)(x) =[n,, nn] dei intervallo limitato Su SEGNAL DISCRETI · *IxCK)122E (x) =(n,nz) k h,=Sei dei SEGNAL CONTINUl · lin/(xcadtG (x) =1R cT 3 +- T-dei su DISCRETI SEGNAL · +2 (x(k)12E(x) = k A-=

Potenza media

Potenza media XAI [t, tz] dei intervallo limitato Su SEGNAL CONTINUI · txtdttPe,t)(x) = -I 1[n,,] dei intervallo limitato Su SEGNAL DISCRETI Re · EXCKIPin,, nz)(x) = 14na +-dei Se SEGNAL CONTINUl · xdtT1Pr(x) lun=dei su DISCRETI SEGNAL · wIXIP(x) ctbi= Neto il detto ha S: segnale P(x)co, Se di segnale segnale potenza. x(t) è in- Se P(xalforaE(x) Lemma 1: <0 0=OLPCx Se affara E(x) Lemma2: 0 0=PER

Prodotto scalare e tipologie di segnale

Prodotto scalare 4LE TIPOLOGIE SEGNALEDI Sotto finite intervallo l'energia Segnali continui che potesi su sia (t)y(t)dtf(,t) (x)) Ex)D: xx,x)xy: (x,y)-- = ==R Segnali continui su ) Spaci1 (e(t)y)t)dt vettoriale D euclideilx,y: xx,y) x=- = I KNH,"CIR), 1 Segnali I e(2), tempo discreti tu),x fruita l'insieme dei ad(0,1,...,N 1 seguali energia t(:(x,yx,y: ==- L L"(R) vettoriale in K spazio uno è=Segnali limitato discreti supporto a xK:R In-xy: xx,y) = n -=

Energia mutua di 2 segnali

Energia mutua DI 2 SEGNALI: L’energia mutua di due segnali è un parametro che riassume la descrizione congiunta di due segnali. Nel caso di segnali→continui x, y : I C l’energia mutua su R, denotata Ex,y, è: scalare~prodotto(x(ty(t)dtE =(x,y) xx,y)= =In particolare l'energia interpretata due di prodotto mutua segnali x, mer camey pur22.scature (x,y) in finita AISUGUAGLIANZA ad Se segnali DI CAUCHY SCHWARTz: energia yxe eco(x,y) 11 x11.1y1)=(y VENORI ORTOGUNALI: x(x,y) 0* = =decompare modo due segnale di unico LEMMA: può ogni sama camin in segualli 2(c(t) t))0xex(t) +xe(t) Xo(t) -=+= f(e(t) t))x)=x --xelt) del dispari.porte parte segnate con topari e

Simmetrie dei segnali

Simmetrie dei segnali tel ha segnale, sia x zu isx(t) x(t) xft)x) parte pari:t) PARI xp(t) += - = 2x) t) DISPAR x(t) - x(t) dispari:- parte xft)= Xo(t) -=x(t)x(t) REALE 2= =(t) x(t) x) hermitioua: xa(t) t) parte x(t) =IMMAGINARIO + -- = 2x(x(t) t) HERMITIANO = x(t) x)Xa(t) t) antifermitiona: parte - -=x) t)x(t) 2 ANTIHERMITIANO = --(xidt=Hdt+/cdt=! cidsFeldo+!Es: ↑ tS = -Provo che seguale dispari: in è xe(tattxeft).ft)xelt).to(t),g(t) -g(t)g(-t) xeCt). f1)tot= = =-= =Xolti2=/Xelt) xottdt parte<xelt), dispari segnale di parte pari ortogonali 0 tue sono=E=(x) E=(Xe) E (xd)=+=-ne

Segnali periodici notevoli - tempo continui

Segnali periodici notevoli - tempo continui C->DEF. X:(a) il periodo: /R periodo reale segnale DdelunTF0numero x: è se=T) fte(tx(t) x +=/b) che segnale ammette periodo segnale periodico: en un è funzione Sia che costante che segnale ammette continua DEF. (t) sia una in none endefaito fondamentale di periodo è Il TF0. xct) periodo come inf(T30/x(t) fteR]To T),x(t= +=Segnali periodici notevoli (t) cost dementare sinusoidale segnale x · =fondamentale periodo segnale Te in 2n.con = x(t) Acos(w,tsinusoidale · segnale generale 9), Owo>+=fondamentale seguale periodo è T 2π con un = wo Questo ultimo segnale, ammette anche rappresentazioni: generale, altre sinusoidale Cesat,cejat(t) bsinkut),acoskut) x(t)x + oppure= =

Sinusoide in forma canonica a tempo discreto

Sinusoide in forma canonica a tempo discreto Acos(24Mon Acos (wong)x(n) 9)= + +=A>o47[ π,i]-Mot(1, Ima Acos(2πMn (2x(Mog)defacito Acos q)(t)tuttoMr è m(nxMom u. +su+ === + + ==(24Mon (enmonAcos Acos2in.m) q)9 ++= +=Pano auch (0,2): (i cospironcos(-erMonte)prendere 9) alfMo)ncosMoe -+ ==Nel frequenza tra discreto, la andare 1.prendo sinuseide, 0 può ma eaLa la velocità faminima di variazione =si manima0,i iper per=↓ -g) Acos(4)=Acos(2 costx(n) un += Acos(nnAcos(242n= 4)g)x(n) + =+ ===Acos(in)cosp-Asin/an)sing ==fe)". Acos4La24Mo(n+N) discreta tempo2kr periodica sinusoide se24MoN è=gg+ =+- vazionale! è No numero in Il periodo KeN24MoN= N fondamentale qualche nMoN=K2TK Mo- se per è vale = 9)Acos(210.127n+ Q perché 0.12 periodica 12Es: ee = 100Acos(2π(-0.12)n Acos(-(2π(0.12/nq) Acos(25ConzIn-4)) frequenza è fla> 0.12=+ + == =Acos(en q)Es: +Che dato [-t,E]prendo frequenza che i=Acos/n(- Gn)Acos(aan g -+Non funzione n perché 3 periodica è ua -Acos(zien 9),eES: 2.718...=+Frequenza? devo ef questo sottrae degli tiz) uteri, 3=-0.28e-in caso Come frequenza e dato prendo influisce dancuti:it3-e non Nar razionale e perché periodica è non è

Esponenziale immaginario a tempo discreto

Esponenziale immaginario (tempo discreto) Aet(Wor+9)_ 9)_Aemon Aes.etMon_ Aesewan+(n)X =frequenze famodistinte, diversi positive significati negative vanno eMot(- Il.me2 jan(estminstMon junjurmin MonjzπMMr Mo 2 =e e =em += .jeπ Mo cos(enmon) RiMon)sine +;= sesontN_AeeMon_eizMow_ eitN)(nx(n) 24MoN 2kπx 1und+= == AMo= sEs- Spiraln-), frequenza,periodo,(n) periodica?x 3e-=A 3= 3.89Mo= 4 0.11- =-π4 =

Confronto tra sinusoidi o esponenziali immaginari discreti e continui

Confronto tra sinusoidi ( o esponenziali immaginari ) discreti e continui x(t) = ejωt, cos ωt

• Sono periodici, in t, per ogni ω R∈
• Valori di ω diversi producono segnali diversi x(n) = ejωn, cos ωn
• Sono periodici, in n, solo se ω/2π Q∈
• Valori di ω che differiscono per multipli di 2π producono lo stesso segnale

In altri termini e^jωn è periodico in ω di periodo 2π, il che significa che, mentre a tempo continuo le sinusoidi(o equivalentemente gli esponenziali immaginari) possono esibire qualunque pulsazione in [0, ∞), a tempodiscreto le pulsazioni possibili sono limitate a [0, 2π).

In termini di frequenza f = ω/2π, l’intervallo delle frequenze continue è [0, ∞), mentre quello 2π delle frequenze discrete `e [0, 1).

Qual’è la pulsazione (ovvero la frequenza) piu` alta a tempo discreto? (-1)20Sin == π, oppure f = 1/2 .è il segnale piu` veloce del West, ovvero ωmax max

Delta di Dirac

Delta di Dirac segnale ((IR):generalizzata DEF. tale frzcue (t)La che, xe per ogni( xcedt x(0)=Assume la definizione f (t) proprietà rivelatrice campionamento di di oPer segnate il un'interpretazione da considero intuitiva, impuba T20:rettangolare perE))u(tI(u(t 1)rect(E)r(t) += - -=delle L'aca fence sempre e T20 1è per =Utilizzando funzionale il si definiscao, 1xdf(x(x)dth(x1 ==Quando del L, bucua fenzionale T-o, approximazione campionamente:il una è=(*(t) rdt=xxa= S- integrale del Rappresentanare campionamento appromimate Più realizzare piccolo l'approximazione.i migliore viesa a è si

Proprietà delta di Dirac

Proprietà delta DI DIRAC NORMALIZZAZIONE AREA1. OParado del nell'equazione ha6(t)(t) si1x =BAdt L'area anche vale vale,sotto fit)1 => per i= Quitequalsici ilsia T,-Co si causerva PARITA'2. DELL'IMPULSO la f(t) funzione jeverahzzata ma pari. è 6(-t) f(t)=3. CAMBIO Al SCALA Glat) ial f(t)=PRODOTTO4. PER SCALARE UNOPAS(xCtdt Axcol=PRODOTTO3. SEGNALE Impulso ASia nell'agire f(t)ma funzione couture f(t)f(t) f(0)f(t)=RITARSO/TRASLAZIONE6. 8JH-to) rivela xCTidt regnale x(to) toilx in=CAMPIONAMENTO7. x(tg(i) i) ( t)x= -

Rappresentazione integrale di segnali

Rappresentazione integrale DI SEGNALI Hatdt=Sostituendo alle formula di 6(t), g(t) g(0),si ricava xs-t)= hacherestituendo la definiaur onerando glo) six(s)sua efa =(t) la traslazione daret)dtx(n statenè entrodotta distinguere xca) per- = la indipendente. ad Tornando delle variabile viabile indicare indipendente tcan+6f(t)x(t -idt x(t) (15)= W RITARDO la facendo fart-sostituzione l'ii = ~IH i) (t)dt x(t) (16)x- =Nella (15) l’impulso rimane fermo nell’origine mentre il segnale `e traslato e ribaltato sull’asse di integrazioneτ in modo tale che nell’origine si presenti il valore x(t), infatti x(t − τ )| = x(t), e quindi il calcolo del valoreτ =0medio nell’intervallino [−T/2 , T/2] dell’asse τ fornisce x(t). (16)(15) Tco'?rect)E)I tende qualcosa defenitorit) 0.costante,di neu ina ma è=↓Do (it) (t)dt (0)xx =

Derivata generalizzata

Derivata generalizzata Seiin LaIl segnale ma tratti derivabile discontinuità con a è punti devirabilità di non Un segnale derivabier tratti può gradino ilenere a

Relazione gradino delta

Relazione gradino delta · EM .i ↳E-I I odt Eta 20 R-= 10- . . . "Idtt -A--Ect sVforid 1 I 7= -E= dtt) dt+fädt t E= (t)Ma +r(t) S 1...i ↳ -T - ⑧T 8 ↓>-"f(t) S -U(t)↳ ↳7 AtT(oH(u(t-4)dt bodt perché 6(t)dult) ult)= = =xd( 6(t) dractl'integrale delle il deltagradino 2=è u(t) = dt=> =Derivata generalizzata dei segnali con discontinuità a salto!~i - maxalt-taxo(t)x(t) +=arreM 2max6X(t) f(t-4x(t) ta)= +derivata di Es: re:aV,(t) 26(t=6(t I), E)(t).i -+ -=+-E-I -6 (6t [7dt f(u(t6(tE) E))u(tE)+ - - + -= -derivata di:Es:X ! t3itelto teX discontinuità (-An,-An,Quando l'impreso Asusocisero*A3 7+s to"An 't3· Az-⑨

Derivata di delta

Derivata di delta G'rivela prodotto valore Il il della derivata del regnate con un+I stixCtdt "rivela prodotto valore Il il della-xCos derivata del seconda regnate con un=so così via- e(ur= (inricordo integrazione per parti sime: ur.+So66(t) 8/6(t)xct).f(t) x'(0)itidtx(tidt x -==

L'impulso discreto delta

Impulso discreto DELTA Fx:neR- K I=Pf(n)x(k) I sof(n)6:prendo di definizio x(0) came= =I C=- graficamente:Ó.⑧ 8.⑧[8x(k)f(n A) x- =# (n)xf(x) kren =x(k)6(n k)Sk(n) -= = 88. ⑧⑤altrimenti SoSx(n) 8.x(n) = Se 8.S2 8..Sn 8.

Relazione gradino unitario discreto

Gradino unitario discreto CON 6(k)u(n) =PROPRIETA RIVELATRICI(nd)f(nx(n)6(n ho) delno) delta,generale valore regnale moltiplico il il rimane x caso e · per mi in-- -= dov'è centrato stato delta.regnale il x(n)f(n) f(n)x(0) no 0caso · = =x(nd(n -no) x(no. =

Introduzione ai sistemi

Introduzione ai sistemi è Un SEF. sistema La segnali funzione che codominio dominio dei perma e S: Yx

Tipologie di sistemi

Tipologie di sistemi: Ecu)dex(),(ScontimoScontinuo CONTINUI: · -> y(t)es: =Integratore 0x(k)Sdiscreto xinSdiscreto y()SISCRETI: · - es: =carenteSomma IBRID):Sdiscreto x(t)Scontimo x(nT)· (y(n)-> es: =I KSdiscreteScontimo -> compionatoreSegnale Es tempo controa S(x)X yy =y(t) S(x(t))x(t) attenzione!y(t) farricate,my=La che notazioni uso: S(xCi)(t)S(x)Ct)y(t) y(t)oppore= =

Serie geometrica

Serie geometrica ES: iz* er-- -z- ()Sia Tr(z)=(z-1)Calcolare z-1) D. z 1ze z == -E Tn(z) 1e z= =S.zl 2 1-2) = nSia 1z13) 1SnCz)=Gz*==(im i Gio-n 3- ISacz)Vz/z11SnCz) 24 -z) 2 ai1 1-= ⑰0- ==.z 111 z|1- 2- *-

Serie e parallelo per sistemi

Serie e parallelo per sistemi SERIE SaAl S, E Sz(y)S: Y S20S,(x)Sia X-Y S2: z->e =x S1 >S2 z Si(y)=PARALLELO DI S, SeE (S,Sia Sz)(x) S,()Sn:X Y,Y, Sa:X S2(x)- - ++ ="SiX 7S2" ↑Richiano trasformazioni segnali di · su2,BE/R-ta,(x)y =Fte/R, B)x(xt