Appunti del corso di Fluidodinamica

Lezione 1

Il primo approccio di studio dei fenomeni fluidodinamici è stato quello di tipo empirico: attraverso lo studio dei modelli in galleria del vento è possibile osservare direttamente le proprietà di un corpo nelle varie situazioni a cui esso è sottoposto.

Tuttavia, questo metodo presenta delle problematiche in quanto è un processo lento, costoso e che richiede la realizzazione di nuovi modelli, in base alle varie modifiche che vengono apportate.

Si è così passati alla formulazione di leggi matematiche che permettessero di spiegare i fenomeni fluidodinamici da un punto di vista analitico e si è giunti così a formulare l’equazione di Navier-Stokes, la quale permette di fare ciò.

Tuttavia, anche questa equazione presenta una limitazione che è la sua risoluzione: trattandosi di un sistema non lineare di equazioni differenziali alle derivate parziali, l’ottenimento di soluzioni analitiche uniche è pressoché impossibile, tranne per una manciata di problemi a geometria molto semplice.

Per ovviare a ciò, si sono introdotte delle approssimazioni che permettessero la risoluzione di tale problema. La prima di queste è il non considerare gli effetti dovuti alla viscosità del fluido: facendo ciò, si assume che il fluido abbia vorticità nulla e risulti irrotazionale.

Tale semplificazione permette di spiegare alcuni fenomeni, come ad esempio la portanza, ma non riesce a spiegarne altri, allo stesso modo evidenti, come le forze di resistenza (paradosso di D’Alembert).

Si è superata questa approssimazione introducendo il concetto di strato limite: in questa porzione di spazio gli sforzi viscosi non sono trascurabili e si viene a creare un gradiente di velocità che arriva ad annullarsi in prossimità del corpo. Al di fuori dello strato limite il flusso risulta nuovamente irrotazionale.

Introducendo ciò è possibile spiegare la presenza di forze di resistenza, ma presenta anch’essa delle limitazioni: questa teoria, infatti, non riesce a spiegare il fenomeno del distacco dello strato limite, per cui, a valle di un corpo tozzo, si genera una scia dovuta al distacco di quest’ultimo.

Non è possibile trascurare questo fenomeno in quanto è responsabile della generazione di importanti forze resistenti. Prendendo ad esempio un autoveicolo, la separazione dello strato limite porta alla formazione di una zona di bassa pressione nella scia, la quale si riflette nella forza resistente, dovuta alla differenza di pressione tra la parte anteriore del veicolo, a più alta pressione.

È importante sottolineare però che, sebbene questa differenza di pressione sia dovuta alla viscosità del fluido, la forza resistente dipende esclusivamente dalla geometria del veicolo ed è infatti chiamata resistenza di forma.

Il fenomeno dello stallo è il fenomeno per cui, al superamento di un angolo critico, un profilo alare si comporta da corpo tozzo. Ciò è dovuto alla geometria del profilo, che porta alla generazione di una scia molto ampia e alla conseguente forza resistente. Anche il fenomeno dello stallo non è spiegabile attraverso la teoria aerodinamica classica.

In tempi moderni, si è potuto superare le difficoltà di risoluzione dell’equazione di Navier-Stokes grazie all’avvento dei computer: implementando modelli fluidodinamici predefiniti, è possibile analizzare situazioni affini ai modelli inseriti, sfruttando la potenza di calcolo di questi dispositivi.

Tuttavia, è importante sottolineare come in questi casi si ammetta un’approssimazione e un errore dovuto sia alle operazioni di calcolo limitate di un computer sia al fatto che l’equazione di Navier-Stokes non è risolvibile.

Queste considerazioni vengono fatte assumendo un flusso non turbolento. In natura la maggioranza dei flussi, infatti, è turbolenta: la turbolenza è un fenomeno di formazione di strutture vorticose, di diversa grandezza, il cui studio risulta ancora più complesso.

La formazione di queste strutture è gestita da un parametro, che prende il nome di numero di Reynolds, che esprime il rapporto tra le forze di inerzia e le forze viscose del flusso. La presenza di queste strutture rende il flusso irregolare e imprevedibile e descrivibile solo per via statistica.

La presenza di fenomeni turbolenti non è trascurabile nell’analisi dei flussi e ciò porta all’aggiunta di nuove equazioni di possibili vari modelli turbolenti in grado di rappresentare tale situazione. Tali modelli presentano un grado di approssimazione da tenere in conto ed è necessario scegliere correttamente il modello giusto. L’aggiunta di questi modelli porta un aumento della difficoltà di calcolo per cui sono necessarie simulazioni complesse al computer.

Lezione 2

Come già detto, ci è possibile risolvere l’equazione di Navier-Stokes solo per alcuni problemi a geometria molto semplice. Tuttavia, il suo studio ci può fornire dati importanti per l’analisi del sistema, anche se non siamo in grado di giungere ad una soluzione analitica, valutando ad esempio solo le condizioni al contorno.

Possiamo, poi, operare delle semplificazioni per cui ci è possibile eliminare alcuni dei termini dell’equazione, in modo da semplificare il calcolo. Analizziamo nello specifico queste semplificazioni.

1. Dimensione del problema: sia l’equazione di Navier-Stokes che il vettore velocità hanno dimensione pari a 3, tuttavia, non in tutti i problemi le tre dimensioni sono importanti nella stessa maniera. Ad esempio, nello studio di un moto in un condotto si può trascurare l’apporto della larghezza del flusso, per cui l’equazione e il campo di velocità sono nettamente semplificati.
2. Comprimibilità: un fluido viene detto incomprimibile se la sua densità rimane costante. Tale semplificazione è molto importante in quanto i liquidi sono pressoché incomprimibili e tale assunzione ci permetterà di semplificare di molto i calcoli. I gas, invece, sono considerati comprimibili.

L’indicatore che analizza gli effetti di comprimibilità di un fluido è il numero di Mach, definito come il rapporto tra la velocità del fluido e la velocità del suono. Se il numero di Mach è minore di 0,3, il fluido è assunto come incomprimibile.

3. Viscosità: la viscosità di un fluido è ciò che dà origine agli effetti di attrito di un flusso. Appare evidente come questo contributo, data la sua importanza, sia difficilmente trascurabile, tuttavia, al di fuori della regione dello strato limite, in cui il flusso non è perturbato dalla presenza di corpi esterni, tale contributo può essere trascurato. Al contrario, dentro tale regione, i contributi viscosi devono essere necessariamente considerati, dato che la loro dimensione è confrontabile con quella delle forze di inerzia.
4. Condizione di aderenza: la condizione di aderenza è una condizione per cui la velocità del fluido, a diretto contatto con il corpo esterno, è nulla. Tale fatto è diretta conseguenza della viscosità e si riflette nella generazione di una tensione tangenziale di parete, e quindi della forza di resistenza di attrito, ma è anche responsabile della generazione dello stesso strato limite.

Ci è possibile imporre questa condizione solo nell’equazione di Navier-Stokes, mentre, per l’equazione di Eulero, possiamo imporre solo la condizione di non penetrazione della superficie solida.

5. Moti interni ed esterni: definiamo con moti interni quei moti in cui l’influenza della viscosità la si ha in tutto il campo del moto, mentre definiamo con moti esterni quei moti in cui gli effetti viscosi svolgono un ruolo significativo solo all’interno dello strato limite.

Un esempio di moto interno è quello del condotto, in cui possiamo distinguere due regioni diverse: la regione fluidodinamica di ingresso e la regione di flusso pienamente sviluppato.

6. Moti laminari e turbolenti: un flusso è detto laminare se è caratterizzato da un grado di ordine tale per cui le linee di flusso sono disposte come delle lamine. Un flusso, invece, è detto turbolento se è caratterizzato da un grado di disordine tale per cui non si hanno più le linee di flusso del laminare ma strutture vorticose confuse. Esiste poi una condizione intermedia, chiamata moto di transizione, per cui nel flusso si ha la coesistenza di strutture laminari e strutture vorticose. Il parametro che influenza la transizione tra un regime di moto e un altro è il numero di Reynolds.
7. Moti stazionari e non stazionari: un moto è detto stazionario se le grandezze che lo caratterizzano sono invarianti rispetto al tempo. Ciò significa che la derivata temporale di una qualsiasi grandezza è nulla. I moti non stazionari possono apparire come moti stazionari se vengono mediati nel tempo.

Analizziamo ora alcune formule che ci saranno utili per gli studi futuri. Gli operatori importanti saranno il gradiente, la divergenza e il rotore.

Lezione 3

Diamo ora una definizione di fluido. Per fare ciò possiamo analizzare i fluidi sia dal punto di vista chimico sia dal punto di vista fisico:

• Punto di vista chimico: dal punto di vista chimico distinguiamo i liquidi dai gas. I liquidi presentano un volume proprio e assumono la forma del contenitore in cui si trovano. Inoltre, in presenza di un campo gravitazionale, generano una superficie libera. I gas invece non presentano né un volume proprio né hanno una forma ben precisa, ma assumono sia la forma che il volume del contenitore in cui si trovano. Al contrario dei liquidi, non possono formare una superficie libera.

Andando ad analizzare la struttura chimica di questi due stati, possiamo notare che i liquidi sono caratterizzati da legami intramolecolari più deboli di quelli dei solidi ma più forti di quelli dei gas. Ciò dona ai liquidi la possibilità di riorganizzare facilmente la loro struttura interna e ciò si riflette, ad esempio, nella possibilità di mutare la loro forma. Nei gas invece, i legami intramolecolari sono talmente deboli che le particelle sono slegate tra loro e ciò si riflette nel fatto che non presentano un volume proprio.

• Punto di vista fisico: dal punto di vista fisico, per distinguere un solido da un fluido, si analizza il loro comportamento a seguito di uno sforzo tangenziale alla loro superficie. Un solido è in grado di resistere a tale deformazione reagendo con una tensione interna, la quale è proporzionale alla deformazione. Al contrario, un fluido reagirà continuando a deformarsi e la tensione interna generata è proporzionale alla velocità di deformazione.

Analizziamo ora, nello specifico, gli sforzi a cui possono essere soggetti i fluidi. Innanzitutto, definiamo con sforzo la forza agente per unità di area. Esso è un vettore che è caratterizzato da due contributi: un contributo tangenziale e un contributo normale.

Il contributo tangenziale è presente esclusivamente in un fluido in moto e dipende dalla viscosità e dalla velocità di deformazione. Il contributo normale dipenderà sia dalla pressione che dello sforzo viscoso e, in un fluido in quiete, si ha solo uno sforzo tangenziale, dipendente solo dalla pressione.

Proprietà dei fluidi

Vediamo ora di analizzare le diverse proprietà dei fluidi. Queste, innanzitutto, si dividono in intensive ed estensive: le proprietà intensive sono le proprietà indipendenti dalla massa di fluido e sono, ad esempio, la temperatura, la pressione e la densità, mentre le proprietà estensive sono le proprietà dipendenti dalla massa e queste sono, ad esempio, l’energia e la quantità di moto. Chiamiamo poi con proprietà specifiche le proprietà specifiche per unità di massa.

Per studiare le proprietà di un fluido dobbiamo prima introdurre un’ipotesi di fondamentale importanza che è l’ipotesi del continuo: secondo questa ipotesi è possibile trascurare la natura atomica di un gas in favore di una maggiore continuità delle proprietà studiate.

Un tipico esempio è la densità per cui, in prossimità dei nuclei atomici assume valori molto elevati, mentre, nel vuoto intermolecolare, assume valore nullo. Per questo motivo, si assume valida l’ipotesi del continuo, in cui tutta la massa viene distribuita uniformemente nello spazio.

Una volta fatte queste precisazioni, possiamo iniziare ad analizzare le varie proprietà di un fluido. Queste sono:

1. Densità e peso specifico: in gas queste due proprietà sono funzione di pressione e temperatura, mentre, per un fluido, la dipendenza dalla pressione è molto debole ma la dipendenza dalla temperatura è significativa.
2. Energia, temperatura e calore specifico: l’energia totale di un fluido si presenta in varie forme: energia termica, energia cinetica, energia potenziale, energia elettrica, energia magnetica, energia chimica ed energia nucleare.
3. Tensione di vapore: si definisce tensione di vapore la pressione esercitata da un vapore in equilibrio di fase con il liquido ad una certa temperatura. Se la pressione scende al di sotto della pressione di vapore, il liquido inizia ad evaporare e la formazione di bolle di vapore può portare al fenomeno della cavitazione: la formazione e la successiva implosione delle bolle di vapore nel liquido porta alla formazione di rumori e vibrazioni che possono danneggiare le parti metalliche, ad esempio, immerse nel fluido.
4. Viscosità: la viscosità è la proprietà che rappresenta la resistenza interna del fluido al moto. Esistono due tipologie di viscosità che sono la viscosità dinamica e quella cinematica: la prima è la viscosità per come la intendiamo comunemente, mentre, la seconda, è il rapporto tra la viscosità dinamica e il peso specifico del fluido.

Questa viene misurata per mezzo di uno strumento specifico, che prende il nome di viscosimetro, in cui due cilindri concentrici sono separati da un fluido, messo in moto dalla rotazione di uno dei due cilindri.

Prima di capire come funziona un viscosimetro, trattiamo un caso più semplice che è la misurazione della viscosità di un fluido, posto tra due piastre piane e in cui la piastra superiore è messa in moto a velocità costante. Imponendo la condizione di aderenza, possiamo arrivare al seguente risultato.

A questo punto, possiamo studiare come funziona un viscosimetro a cilindri concentrici. Innanzitutto, affinché possiamo ritenere valida la formula ricavata in precedenza nel caso piano, la distanza tra i due cilindri l deve essere molto minore del raggio del cilindro interno R. In questo modo, possiamo assumere che localmente il fluido si muova di moto di Couette.

Ora, usando la definizione di tensione tangenziale, il momento esercitato su una porzione infinitesima di area dA è pari a M=RτdA=RμdAV/l e, integrando, ricaviamo che il momento torcente totale è pari a M=RμAV/l. Sappiamo poi che la velocità di rotazione tangenziale è pari wR e che l’area della superficie bagnata è pari a 2πRh. Possiamo perciò ottenere così la formula finale che lega il momento e la velocità di rotazione alla viscosità.

Ora che sappiamo calcolare la viscosità, possiamo fare una classificazione dei fluidi in base all’andamento di quest’ultima.

I fluidi si dividono in: fluidi newtoniani, fluidi dilatanti, fluidi pseudoplastici e fluidi dal comportamento plastico alla Bingham. I primi, sono i fluidi che presentano un andamento lineare tra la velocità di deformazione e lo sforzo tangenziale e che, quindi, hanno una viscosità costante.

I fluidi dilatanti e i fluidi pseudoplastici hanno un andamento della viscosità non lineare e si differenziano in base al fatto che i primi, all’aumentare della velocità di deformazione, presentano un andamento decrescente della viscosità, mentre, i secondi, presentano un andamento crescente. Infine, i fluidi a comportamento plastico alla Bingham sono quei fluidi che resistono a sforzi finiti prima di assumere un vero comportamento da fluido.

Nei fluidi newtoniani, la dipendenza della viscosità dinamica dalla pressione è trascurabile mentre la dipendenza dalla temperatura non lo è: nel caso dei gas questa aumenta all’aumentare della temperatura, mentre, nei liquidi, diminuisce.

È importante sottolineare che l’approssimazione della viscosità dinamica, nei fluidi comprimibili, non vale nel caso della viscosità cinematica: dato che il peso specifico dei fluidi comprimibili è dipendente dalla pressione, anche la viscosità cinematica lo sarà.

5. Tensione superficiale: le gocce di un liquido si comportano come piccoli palloncini sferici riempiti dal liquido stesso e la superficie del liquido agisce come una membrana elastica tesa sottoposta ad una tensione. La forza che tira la membrana e che provoca questo fenomeno è dovuta alle forze attrattive tra le molecole e viene detta tensione superficiale.

Abbiamo infatti che le forze attrattive tra le molecole, nei fluidi, non sono simmetriche: le molecole sulla superficie riescono a formare legami solo con le altre molecole al di sotto e al loro stesso livello, mentre le molecole all’interno del fluido riescono a formare legami con tutte le altre molecole circostanti. La tensione superficiale si misura per mezzo di un telaio, in cui un lato mobile viene tirato fino a che non si rompe il film superficiale.

Lezione 4

Statica dei fluidi

Iniziamo a trattare uno degli argomenti principali del corso che è la statica dei fluidi, la quale tratta le leggi che descrivono gli sforzi a cui sono sottoposti i fluidi e le super