Appunti del corso di Didattica della matematica

Didattica della matematica

Non vedere la matematica con univocità o predestinazione, non come rigida applicazione di formule e regole, no approccio mnemonico e meccanico, ma matematica come rete di connessioni fra conoscenze.

Valore formativo della matematica

«Le conoscenze matematiche contribuiscono alla formazione culturale», allo sviluppo del pensiero nei suoi vari aspetti (immaginazione, progettazione, ipotesi ed eduzione, controllo) > consapevolezza e capacità critica.

Valore strumentale

«La matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi della vita quotidiana > interpretazione e comprensione della realtà e previsione eventi.»

Valore culturale

«Le conoscenze scientifiche sono, al pari di quelle delle arti e delle lettere, prodotti non statici della cultura umana > attività matematica come espressione di cultura e valori.»

Rischi da evitare

• Frammentazione del sapere
• Impostazione didattica trasmissiva

L’alunno deve essere attivo, formulare le proprie ipotesi, negoziare e costruire significati. Insegnamento costruttivo: lo studente non riceve passivamente la conoscenza, ma la costruisce. L’apprendimento avviene nel contesto sociale, dove i significati si negoziano e le proprie opinioni si argomentano. Lo studente diventa protagonista del proprio apprendimento e responsabile di esso.

Paradigma teorico del costruttivismo sociale

Vygotsky, anni '80. L’apprendimento avviene per progressiva costruzione delle conoscenze, di cui lo studente è protagonista e responsabile. L’apprendimento avviene nel contesto sociale: l’interazione tra pari è un processo essenziale alla costruzione e alla interiorizzazione dei significati matematici. Insegnamento/apprendimento centrato sullo studente.

Triangolo didattico tra sapere, insegnante e alunno

Il triangolo didattico è un insieme di elementi dinamici che evolvono in conseguenza alle relazioni reciproche. Da sapere sapiente prodotto dalla comunità scientifica diventa sapere da insegnare e sapere insegnato > trasposizione didattica. L’alunno deve relazionarsi col sapere esplorandolo, costruendo modelli, verbalizzando la propria attività allo scopo di creare una relazione autonoma con il sapere. In questo senso il sapere deve essere ridepersonalizzato e ridecontestualizzato dallo studente. Alla fine l’alunno dovrebbe saper risolvere problemi senza il supporto dell’insegnante. Dunque il sistema didattico deve operare per la sua stessa dissoluzione, affinché non ci sia più necessità della presenza dell’insegnante come mediatore culturale e rappresentante del sapere.

Apprendimento per problemi

Far percepire allo studente la necessità intellettuale della conoscenza e in particolare dell’introduzione di specifici concetti matematici per risolvere problemi. Problemi autentici e contesti significativi.

Campi di esperienza

• Extramatematici fortemente matematizzati (tempo, scambi economici, rappresentazione spaziale)
• Extramatematici e poco matematizzati (ombre, scommesse, gioco d’azzardo)
• Intramatematici (esplorazione di regolarità, giochi numerici)

Contratto didattico

Nonostante la devoluzione, spesso gli studenti di fronte a un’attività matematica si comportano in modo stereotipato, impegnandosi a soddisfare le aspettative dell’insegnante. Contratto didattico (Brousseau, 1980): insieme delle abitudini dell’insegnante attese dallo studente e dei comportamenti dello studente attesi dal maestro. Si tratta di condizioni e aspettative implicite, che però hanno una grande influenza sulle dinamiche del processo educativo. Ad esempio, il fatto che ad un problema debba sempre esserci una soluzione e quindi anche se i dati non servono ce li mettono. Un modo per uscire da questo è chiedere di argomentare la soluzione. Bambini sempre stimolati a spiegare fenomeni e giustificare strategie sostenendo il proprio punto di vista > importanza dell’argomentazione in ottica di sviluppo delle competenze di cittadinanza > spirito critico, consapevolezza, capacità di interpretare situazioni reali e informazioni.

Discussione matematica

È fondamentale. Incoraggia l’esplorazione e favorisce lo sviluppo dei concetti matematici dalla conoscenza spontanea. Incoraggia la verbalizzazione, l’argomentazione e la formulazione di congetture. Porta gli studenti alla consapevolezza che i problemi matematici possono avere più risposte corrette. Costrutto particolarmente importante è la discussione matematica > momento della vita della classe nella quale ci si aspetta che il docente abbia un ruolo ben preciso. È una polifonia di voci articolate su un oggetto matematico (concetto, problema, procedura).

Teoria della mediazione semiotica

Si prevede l’uso di artefatti, cioè oggetti reali e virtuali che il docente sceglie come mediatori didattici. Il docente assegna un compito da svolgere attraverso un opportuno artefatto. Attraverso la modalità d’utilizzo di quell’artefatto per svolgere il compito, ovvero lo schema d’azione, quell’artefatto diventa strumento. Quindi gli artefatti sono oggetti che vengono utilizzati dal docente per realizzare un certo compito. Non è un oggetto dato, è qualcosa che si carica del modo in cui il singolo lo utilizza per realizzare il compito; nel senso che ogni bambino può utilizzare quell’oggetto in modo diverso, può utilizzare un diverso schema d’uso e quindi diventa uno strumento. Lo stesso artefatto può dare luogo a più strumenti. Le relazioni fra un artefatto, un compito, il sapere matematico in gioco, gli schemi d’uso attivati sull’artefatto, i segni riconducibili a tali schemi d’uso e lo strumento che ne deriva costituiscono il potenziale semiotico dell’artefatto. La costruzione di significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente legata, da una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si sviluppano durante l’esercizio di tali attività.

Gli allievi quando lavorano in gruppo producono dei segni situati, legati alla situazione, al particolare compito e alle operazioni svolte. Il compito dell’insegnante è far evolvere questi segni da segni ingenui a segni evoluti e condivisi, tipici della matematica. Ogni bambino utilizza l’artefatto in maniera diversa, ad esempio un quadernone per misurare il banco. Il docente deve far evolvere questi segni da segni ingenui e situati (che hanno significato per l’alunno, ad esempio le tacche sul banco) a segni evoluti e condivisi della matematica (le tacche sul righello). Il docente deve essere consapevole del potenziale semiotico dell’artefatto sia in termini di significati matematici che in termini di significati personali. Quando utilizziamo un artefatto deve essere fatto secondo un movimento a spirale; in questo ciclo l’artefatto da un lato è un mezzo per realizzare un compito (quadernone usato per misurare cattedra) ma è anche un mezzo per passare dai segni situati ai segni del sapere condiviso, ai segni matematici.

Ciclo didattico

L’artefatto è insieme mezzo per realizzare un compito e strumento di mediazione semiotica rispetto a un opportuno obiettivo didattico. Quindi un artefatto è un mediatore (mezzo che si frappone tra soggetto che apprende e sapere da apprendere) ma anche un mediatore semiotico (da segni ingenui a segni condivisi). Ciclo didattico > docente fornisce consegna e artefatto con cui realizzare consegne e gli studenti da soli o a coppie realizzano l’artefatto, consegne aperte che lasciano un certo margine di libertà e questo porta alla produzione di segni scritti. I segni che gli studenti hanno prodotto vengono condivisi e discussi cioè si cerca di capire cosa significano quei segni (argomentazione). Docente promuove discussione matematica o interagisce individualmente con gli studenti al fine di arrivare alla transizione da segno ingenuo a segno matematico condiviso.

Uno stesso artefatto può dare luogo ad uno schema d’uso diverso. Le indicazioni nazionali consigliano di promuovere l’apprendimento cooperativo e valorizzare l’esperienza e le conoscenze degli allievi per ancorarvi nuove conoscenze e favorire esplorazione e scoperta.

Nuclei tematici matematica

• Numero
• Spazio e figure
• Relazioni, dati e previsioni

Numero

Sensi del numero:

• Numero come etichetta, identifica un oggetto, un animale, una persona
• Numero in senso ordinale, la posizione di un oggetto in un certo insieme
• Numero come misura, come un orario o una lunghezza
• Numero in senso cardinale, la numerosità di un certo insieme, risponde alla domanda “quanti sono?”
• Numero come relazione o valore, indica il valore convenzionale di un oggetto rispetto ad un altro. “Ne vale 3..”

L’insegnante deve proporre attività che consentano ai bambini di passare dalle parole-numero ai concetti numero. Favorire coordinamento di due processi per contare: ripartizione (suddivisione progressiva di oggetti già contati da quelli da contare) e etichettamento (etichettare ogni oggetto che si estrae con una parola numero diversa). Supportare i bambini nella costruzione della sequenza numerica, nella corrispondenza uno a uno (corrispondenza parola-numero e oggetto contato) e costruire il senso cardinale del numero (il senso cardinale del numero e la conta sono collegati dal fatto che l’ultimo valore che si nomina è equivalente alla numerosità dell’insieme).

Per bambino scuola infanzia i numeri hanno una sequenza unidirezionale che parte sempre da uno. Bisogna farli partire anche da numeri diversi da uno. Coordinamento tra azione e la pronuncia della parola numero, poi valorizzo il senso cardinale del numero, che è l’ultimo valore che si nomina quando si contano gli oggetti di una collezione e rappresenta la numerosità della collezione. Dal punto di vista matematico il numero naturale è la caratteristica comune di insiemi equipotenti.

La linea dei numeri

La linea dei numeri è un artefatto culturale, cioè un mediatore didattico prodotto e rinforzato da pratiche culturali. La linea dei numeri è un utile modello per l’ordinamento dei numeri, ma consente inoltre di rappresentare e dare significato anche alle operazioni aritmetiche. È essenziale che nella scelta delle attività e dei mediatori il docente sia consapevole delle implicazioni delle sue scelte. Per veicolare un concetto matematico, i diversi mediatori devono essere integrati, perché ciascuno di essi ha elementi che rimandano al concetto in gioco, ma anche elementi propri che «portano fuori» dal concetto. Attraverso i mediatori avviene la ricostruzione del sapere da parte dell’allievo, quel sapere che ha legami con il sapere insegnato, ma che assume i tratti soggettivi di chi lo fa proprio.

Quando noi lavoriamo su addizione o moltiplicazione e proponiamo esempi con numeri semplici questo è perché l’insegnante vuole che il bambino si concentri sul processo e non gli interessa farlo con numeri grandi, ma poi nello studente si insinua questa abitudine e pensa che se viene un risultato strano sia un errore. Stessa cosa se disegno le figure. Docenti devono sapere quello che le loro azioni provocano sugli studenti. Bisognerebbe orientare l’attenzione degli studenti su ciò che lo sguardo esperto vede.

3 livelli di consapevolezza di Mason

• Consapevolezza dell’azione: del fare, cosa faccio quando cammino, nuoto, mangio, quando faccio i conti
• Consapevolezza della disciplina: appartiene all’esperto in quella materia: riconosce la relazione tra camminare e correre, riconosce un modo di pensare matematico nell’ordinare, classificare, mettere in relazione, fare i conti. Consapevolezza di colui che quando fa una certa operazione ha la sensazione di star facendo bene o male e capisce come quella operazione sia collegata a qualcos’altro, avere la sensibilità della disciplina, padroneggia il modo di pensare matematico. Ma questo livello non è sufficiente per essere un bravo insegnante ma è necessario un terzo livello di consapevolezza.
• Consapevolezza della consapevolezza della disciplina: consapevolezza di cosa è necessario fare, proporre, discutere per permettere che altri sviluppino le consapevolezze dei livelli precedenti, allora solo in questo caso si è docenti nel vero senso del termine. In particolare questo terzo livello consente al docente di essere in grado di promuovere negli studenti lo “slittamento d’attenzione” che permette agli studenti di vedere nella maniera in cui vede un esperto. Es: se io faccio sulla lavagna tutti triangoli diversi, il bambino della scuola d'infanzia potrebbe non capire quale è l’elemento comune, possono classificarli in base a colore o grandezza e non necessariamente al tipo di poligono. Lo studente non capisce sempre cosa un esempio esemplifica e per far questo serve focalizzare la sua attenzione su ciò che è invariante di una certa classe di esempi.

Il ruolo del docente è cruciale in questo processo di sviluppo della consapevolezza e delle abilità matematiche degli studenti.