Appunti Costruzione di macchine 2

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Facoltà di Ingegneria

Costruzione di Macchine II

Verica probabilistica di resistenza Adabilità e albero dei guasti

·

Molle a tazza e travi ad anello Giunti, innesti e freni

·

Materiali compositi per applicazioni strutturali

Docente prof. Sergio Baragetti

Appunti a cura di Cristiano Rollo

Anno accademico 2019/2020

Indice

1 Notazione e simboli ricorrenti 1

I Verifica probabilistica di resistenza 3

2 Dalla verifica deterministica a quella probabilistica 4

2.1 Un esempio di verifica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Impostazione probabilistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Affidabilità e margine di sicurezza probabilistico 7

3.1 Affidabilità elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

z

3.2 La variabile e il margine di sicurezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Loading roughness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Verifica probabilistica a fatica 11

4.1 Il diagramma di Wöhler e la regola del Miner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Dal discreto al continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Affidabilità dei sistemi e albero dei guasti 13

5.1 Componenti in serie e in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 Costruzione dell’albero dei guasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2.1 Esempio: funivia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2.2 Esempio: ascensore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Architettura di un impianto a fune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II Molle a tazza e travi ad anello 16

6 Le molle a tazza 17

6.1 Caratteristiche e impiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 La teoria del Grammel 18

7.1 Azioni interne nella trave ad anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.2 Cinematica della sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

m

7.3 Legame tra e le azioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.4 Posizione del centro di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

i

Indice ii

8 Applicazione alle molle a tazza 21

8.1 Accorgimenti di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.2 Momento in funzione della rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.3 Legame carico-freccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.4 Stato di sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Flange bullonate 25

III Giunti, innesti e freni 26

10 Classificazione di giunti e innesti 27

10.1 Giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10.2 Innesti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

11 L’innesto centrifugo Siemens 29

11.1 Il punto di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

12 Innesto centrifugo con masse ad accostamento radiale 31

12.1 Grandezze caratteristiche del motore asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

12.2 Le quattro fasi dell’avviamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

13 Il transitorio di avviamento 33

13.1 Senza innesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

13.2 Con innesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

13.3 Lavoro dissipato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

14 Dimensionamento e verifiche dell’innesto 35

14.1 Azioni interne sulla massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

14.2 Punto di applicazione della risultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

14.3 Determinazione del raggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

14.4 Verifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

15 Freni 38

15.1 Tipologie di freni meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

15.2 Bilancio energetico e coppia frenante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15.3 Equazione dinamica del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

IV Materiali compositi per applicazioni strutturali 41

16 Legge di Hooke per il continuo anisotropo 42

16.1 Dai materiali isotropi ai laminati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

16.2 Il caso isotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

16.3 Il caso anisotropo generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

16.4 Effetto di un piano di simmetria elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Indice iii

16.5 Il materiale ortotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

17 La lamina ortotropa 45

17.1 Stato di sforzo piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

17.2 Cambiamento del sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

17.3 Trasformazione della matrice di cedevolezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

18 Criteri di resistenza per materiali ortotropi 47

18.1 Criterio di Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

18.2 Criterio di Tsai-Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

18.3 Criterio di Hoffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

18.4 Criterio della massima dilatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

18.5 Criterio della massima tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

V Esercizi svolti 49

19 Dimensionamento probabilistico di una mensola 50

19.1 Impostazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

19.2 Dimensionamento deterministico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

19.3 Verifica probabilistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

20 Molla a tazza 52

20.1 Momento in funzione della rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

20.2 Relazione carico-freccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

20.3 Stato di sforzo e verifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

21 Torre stazionaria per la distribuzione del calcestruzzo 54

21.1 Geometria e azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

21.2 Riduzione delle azioni al piede della colonna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

21.3 Verifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

21.4 Calcolo dei tirafondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

22 Innesto centrifugo con masse a moto radiale 58

22.1 Calcolo dell’avviamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

22.2 Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

22.3 Verifica di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

23 Verifica di resistenza di una lamina ortotropa 60

23.1 Caratterizzazione elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

23.2 Passaggio al riferimento di ortotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

23.3 Applicazione dei criteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

CAPITOLO 1

Notazione e simboli ricorrenti

Le grandezze che intervengono nella verifica probabilistica sono variabili aleatorie: per

valor medio, scarto quadratico

ognuna si distinguono il indicato con la sopralineatura, e lo

medio (deviazione standard), indicato con seguito dal pedice della grandezza. Una generica

µ

X

grandezza viene quindi scritta nella forma ±

=

X X ,

µ X

e la sua densità di probabilità, nell’ipotesi di distribuzione gaussiana, è

2

− )

( X

X

1 − 2

√ 2µ

( ) =

C X e .

X

2π µ X

Verica di resistenza e adabilità

L, S carico applicato (load) e resistenza del materiale (strength)

= S/L

coefficiente di sicurezza deterministico,

η η

R carico unitario di scostamento dalla proporzionalit a allo 0, 2%

p0,2

R carico unitario di rottura a trazione

m limite di fatica del materiale

σ

FAF

(·)

C densita di probabilit a della grandezza indicata

−

=

R P R

affidabilita (probabilit a di non cedimento); 1

−

=

z z S L

variabile ausiliaria

Z margine di sicurezza probabilistico

R

L loading roughness

R

N numero di cicli a rottura

f

W W

, modulo di resistenza a flessione e a torsione

T

f

Molle a tazza e travi ad anello

R R

, raggio interno ed esterno della molla

e

i

R raggio del centro di rotazione della sezione

R raggio del baricentro della sezione

G

t spessore della lamina

h l

, altezza del tronco di cono e altezza totale della molla scarica

0 0 angolo della configurazione indeformata

β ≤ ≤

rotazione della sezione, 0

α α β

m coppia per unit a di lunghezza

M, M M M

, , momento risultante, normale, binormale e torcente

n t

b

f freccia 1

Notazione e simboli ricorrenti 2

∗ ∗ 2

−

= ( )

E E E/

modulo elastico delle piastre, 1 ν

q coordinate locali della sezione

ρ,

Innesti e freni

C C C C

, , , coppia motrice, resistente, trasmessa, frenante

m r t f

, velocit a angolare dell’albero motore e dell’albero condotto

ω ω 2

1 , velocita di sincronismo e velocit a di regime

ω ω

1s 10

s scorrimento

J J

, momento d’inerzia dell’albero motore e dell’albero condotto

2

1

F F T

forza centrifuga; forza delle molle; precarico

c m 0

f coefficiente d’attrito

semiampiezza angolare del settore di contatto

ψ

L lavoro dissipato per attrito

p rendimento del riduttore

η r

Materiali compositi

L, T direzione longitudinale (fibre) e trasversale della lamina

E E G

, , moduli elastici e modulo di taglio nel riferimento di ortotropia

L T LT

, coefficienti di Poisson

ν ν

LT TL

a A

, matrice di cedevolezza

[ ] [ ]

T matrice di trasformazione (rotazione) delle tensioni

[ ]

R R R

, , resistenze nelle direzioni principali di ortotropia

L T LT angolo tra la direzione delle fibre e la direzione di carico

θ Convenzione sui segni

Le funzioni trigonometriche seguono la notazione italiana: sen per il seno. Salvo diverso

avviso le lunghezze sono in millimetri, le forze in newton, le tensioni in MPa.

Parte I

Verica probabilistica di resistenza

3

CAPITOLO 2

Dalla verica deterministica a quella probabilistica

2.1 Un esempio di verica classica P

Si consideri il perno di collegamento riportato in figura 2.1: la forza trasmessa dal mozzo lo

sollecita a flessione e a taglio. Schematizzando il perno come una trave appoggiata alle due

A B, l,

estremità e di luce con il carico applicato in mezzeria, il momento flettente massimo

vale Pl P l

·

= =

M ,

f ,max 4 2 2

P/2

essendo la reazione vincolare in ciascun appoggio. La tensione massima si ottiene

3

=

W

dividendo per il modulo di resistenza a flessione /32:

πD

f

M Pl

8

f ,max

= = .

σ

max 3

W πD

f A

A P P

l

P B B

Figura 2.1: Perno sollecitato a essione e taglio e relativo schema di trave appoggiata.

La verifica di resistenza tradizionale impone R s

≤ ,

σ

max η

R

dove è la resistenza del materiale ed il coefficiente di sicurezza deterministico. Nella

η

s = =

pratica si assume 2 in fase di dimensionamento ed 1, 5 in fase di verifica.

η η

Il limite dell'approccio deterministico

Il coefficiente di sicurezza deterministico non contiene alcuna informazione sulla

variabilità dei parametri in gioco: si limita ad allontanare il valor medio della

sollecitazione dal valor medio della resistenza. Due componenti con lo stesso possono

η

avere probabilità di cedimento molto diverse.

4

2. Dalla verica deterministica a quella probabilistica 5

2.2 Impostazione probabilistica

Nella verifica probabilistica si accetta di ridurre il coefficiente di sicurezza deterministico a

patto di considerare esplicitamente la variabilità dei carichi e della resistenza del materiale.

Il carico non è più un numero ma una variabile aleatoria

±

= P

P ,

µ P

descritta da una distribuzione di probabilità (gaussiana, oppure di Weibull). Nell’ipotesi di

distribuzione normale s

2

− m

( )

P P 2

− )

( P

P

1 − ∑ i

2

√ 2µ =

( ) = e

C P , ,

P µ P −

m 1

2π µ P =

i 1 m

dove è la deviazione standard stimata su un campione di misure. Lo stesso

µ P l, D R

ragionamento vale per la luce per il diametro e per la resistenza : la verifica

s

deterministica scritta sopra utilizza in realtà i soli valori medi,

Pl R

8 s

≤ .

3 η

πD

C [1/MPa] zona di interferenza Strength

Load [MPa]

σ

R

σ max p0,2

Figura 2.2: Distribuzioni della sollecitazione applicata e della resistenza del materiale. La zona

critica è quella di interferenza, dove lo sforzo applicato supera quello ammissibile.

=

Porre 1, 5 equivale ad allontanare molto le due curve, in modo da avere una

η

probabilità di intersezione bassa. Se si vuole abbassare è necessario conoscere le due

η

curve e definire un termine di confronto probabilistico che permetta di capire quale rischio

di intersezione esista effettivamente.

La curva di resistenza è facilmente determinabile tramite prove sperimentali (trazione,

torsione) su un campione di materiale. È invece molto più complicato, in fase di

progettazione, conoscere la variabilità dei carichi in esercizio e la loro distribuzione di

probabilità.

2. Dalla verica deterministica a quella probabilistica 6

Densità di probabilità ( )

C P

L’area sottesa dalla curva rappresenta una probabilità; in particolare

∞

+

Z ( ) =

C P dP 1.

∞

− h i

P dL dL

− ≤ ≤ + =

P P P P

La probabilità che il carico cada in un intorno dL di vale

1 1 1

2 2

( )

C P P

dL, mentre la probabilità che il carico superi vale

1 1

∞ +

+ P 3µ

Z Z P

P ≃

> = = ( ) ( )

P P A C P C P

dP dP.

[ ]

1 1 P P

1 1

CAPITOLO 3

Adabilità e margine di sicurezza probabilistico

3.1 Adabilità elementare

Adabilità affidabilità R

Si definisce la probabilità di non cedimento di un componente meccanico,

ovvero la probabilità che la resistenza superi la sollecitazione applicata:

P −

= ( > ) =

R S L R P,

, 1

P

con probabilità di cedimento. Si misura in percentuale.

Se la distribuzione, soprattutto quella del carico, è ampia, l’interferenza tra le due curve

>

S L

ha valori di probabilità finiti — compreso il caso — che il coefficiente di verifica

deterministico non valuta.

L

Fissato un valore del carico si scrivono le due probabilità

1 ∞

 +

+ S 3µ

Z

Z S

P

 ( ) =

( ) =

( > ) = C S A

C S

S L dS ,

dS

 2

1

 L

L 1

1

h i

P dL dL

 − ≤ ≤ + = ( )

L L L C L dL.

 1 1 1

 2 2 insieme.

Occorre valutare la probabilità che le due condizioni si verifichino Nell’ipotesi che

le due distribuzioni siano indipendenti — la resistenza del materiale non dipende dal carico

applicato — la probabilità che i due eventi accadano contemporaneamente è il prodotto delle

affidabilità elementare:

singole probabilità e prende il nome di ∞

+

Z

·

= ( ) ( )

C L C S

dR dL dS.

1 ∞

−

Integrando su tutti i possibili valori del carico si ottiene la definizione generale di

affidabilità:

Denizione generale ∞ ∞

+ +

Z Z

= ( ) ( )

R C L C S dS dL.

∞ ∞

− −

R

Per calcolare occorre conoscere intervalli di integrazione finiti. Sapendo che un

±

intervallo di ampiezza 3 volte la deviazione standard racchiude il 99% delle probabilità

totali, si scrive " #

+ +

L S

3µ 3µ

Z Z

L S

= ( ) ( )

R C L C S dS dL.

−

L L

3µ L 7

3. Adabilità e margine di sicurezza probabilistico 8

3.2 La variabile e il margine di sicurezza

z ( )

S L C z

Per mettere in relazione le due distribuzioni di e si introduce una distribuzione e la

funzione associata



( ) = ( ) ( )

C z f C S C L

; funzione di due funzioni con distribuzione probabilistica,

 −

=

z S L.



Trattando un’unica funzione probabilistica 2

− )

( z

z

1 − 2

√

( ) = e

C z ,

2µ z

2π µ z >

z S

l’affidab