Appunti di Fondamenti di costruzione macchine

Appunti di fondamenti di costruzione macchine

Ingegneria meccanica - Dario Losi

Comportamento elastoplastico

Caratterizzazione dei materiali

Le caratteristiche dei materiali metallici si dividono in:

• Proprietà fisiche: si riferiscono alle caratteristiche generali della materia (massa volumica, dilatazione e capacità termica, conducibilità …);
• Proprietà chimiche: riguardano i fenomeni che si producono tra il materiale e l’ambiente in cui esso è posto;
• Proprietà meccaniche: indicano l’attitudine di un materiale a resistere alle sollecitazioni esterne che tendono a deformarlo (le sollecitazioni sono statiche, dinamiche ed a fatica, le deformazioni si dividono in elastiche e permanenti);
• Proprietà tecnologiche: indicano l’attitudine di un materiale ad essere lavorato in un certo modo (plasticità, duttilità, malleabilità, truciolabilità…);
• Proprietà magnetiche: indicano l’attitudine dei materiali metallici posti in un campo magnetico a modificare le proprietà del campo stesso (paramagnetici, magnetici, ferromagnetici, diamagnetici).

I componenti presentano un comportamento meccanico diverso in funzione di vari aspetti:

• Tipo di materiale che li costituisce;
• Tipo di sollecitazione al quale sono sottoposti;
• Geometria del componente stesso (forma e dimensioni);
• Condizioni fisiche e chimiche in cui opera (temperatura, ambiente circostante, velocità di applicazione del carico, …).

Prove meccaniche

Per disporre di informazioni standardizzate riguardo al comportamento di un materiale si svolgono le prove meccaniche. Grazie ad esse è possibile definire il campo ed i limiti di impiego del componente. Le prove meccaniche si suddividono in:

• Statiche
• Impulsive
• Cicliche
• A carico costante

• Trazione
• Resilienza
• Fatica
• Usura
• Compressione
• Scorrimento
• Flessione
• Torsione
• Durezza

Disponendo di prove meccaniche si è in grado di stabilire metodologie standardizzate (prove ripetibili in condizioni prefissate che forniscono risultati confrontabili) e di valutare le proprietà intrinseche di un materiale (indipendenti dalla geometria del componente e costanti a parità di condizioni chimico-fisiche). A livello europeo queste prove sono fissate dalle normative UNI EN.

Prova di trazione

La prova di trazione consiste nel sottoporre il provino ad una forza F (unidirezionale ed applicata ortogonalmente alla sezione del provino). Questo porta ad una deformazione a velocità costante nel tempo. Durante la prova si misurano il valore del carico e la lunghezza del provino.

Il macchinario utilizzato prende il nome di macchina di prova universale: un attuatore (meccanico o idraulico) che applica la forza ed un telaio in grado di contrastarla (cosicché si deformi esclusivamente il provino). I sistemi di controllo sono in grado di applicare sia la forza sia lo spostamento delle ganasce seguendo una precisa legge temporale.

Durante la prova il campione viene serrato tra le ganascie ed è soggetto allo spostamento di una delle due, mentre l’altra resta fissa. Lo spostamento avviene a velocità basse e controllate. La macchina è equipaggiata con una cella di carico che controlla la forza applicata e con un estensimetro che misura l’allungamento del provino.

I risultati ottenuti possono essere riportati su un grafico forza-allungamento, ma questo li renderebbe dipendenti dalla geometria del provino, mentre ciò non avviene se si considerano lo sforzo e la deformazione ε.

• La tensione media (o nominale) si calcola come F/A₀ dove A₀ è la sezione iniziale del provino.
• La deformazione media si calcola come ε = ΔL/L₀.

La curva si suddivide in vari tratti:

• Il tratto rettilineo 1-2 in cui il provino ha un comportamento elastico;
• Il tratto curvilineo 2-3 in cui il comportamento è elastico ma non lineare;
• Il tratto 3-4 in cui si inizia ad avere una piccola deformazione residua;
• Il tratto successivo al punto 4 in cui il provino si deforma permanentemente sino alla rottura.

I vari punti caratteristici del grafico sono chiamati:

• Punto 2: limite di proporzionalità;
• Punto 3: limite elastico;
• Punto 4: limite di deformazione permanente.

Per semplificare il grafico si può utilizzare un offset (da normativa 0,2%), sostituendo il tratto della curva sino al punto 4 con una retta avente la stessa pendenza E, ma che si origina ad una deformazione maggiore.

Superato il punto 4 iniziano a verificarsi i fenomeni di incrudimento (tra i punti B ed M). L’incrudimento derivante dalla lavorazione a freddo modifica le caratteristiche chimico-fisiche del provino. In particolare si ha un forte aumento della resistenza alla trazione, lieve riduzione del modulo di Young, riduzione dell’allungamento e della strizione, formazione di tensioni interne ed aumento della resistività elettrica. Il punto M ci fornisce i valori di carico massimo (R_m) o di carico di rottura (σ_r). Quest’ultimo valore si ottiene dalla formula σ = F/A_r.

Tra i punti M ed F invece si ha il fenomeno della strizione che porta la sezione del provino a diminuire sino alla rottura dello stesso. La strizione è un fenomeno per il quale si ha una riduzione localizzata dell’effettiva sezione resistente.

Riassumendo, possiamo dividere il grafico in 3 parti principali:

• Campo elastico:
• Deformazione uniforme;
• Leggero aumento di volume;
• Vale la legge di Hooke.
• Campo plastico uniforme:
• Deformazione uniforme;
• Volume costante.
• Campo plastico localizzato:
• Deformazione concentrata nella sezione;
• Volume costante.

La forma del grafico ovviamente varia in base al materiale che stiamo analizzando: materiali più fragili hanno un campo plastico molto ristretto, mentre i materiali duttili lo avranno di notevoli dimensioni (a discapito di un campo elastico assai ristretto). Un grafico assai particolare è quello degli acciai a basso tenore di carbonio: in esso possiamo riconoscere il punto di snervamento superiore (B_s) ed il punto di snervamento inferiore (B_i). Si riconosce inoltre una zona caratteristica in cui si formano le bande di Lüders, ossia linee di scorrimento a 45°.

I grafici possono essere utilizzati anche per valutare qualitativamente il comportamento di un dato materiale dal punto di vista di resistenza, duttilità e tenacità. Le varie leghe metalliche si comporteranno in modo differente in base alle percentuali dei loro componenti (ad esempio una maggiore quantità di carbonio in un acciaio porta ad una maggiore resistenza ma ad una minore duttilità), ma anche i trattamenti che il metallo subisce e la temperatura di esercizio modificano le curve. All’aumentare della temperatura, infatti, aumentano duttilità e tenacità, mentre diminuiscono elasticità e limite di snervamento.

La duttilità di un materiale si può riconoscere anche dalla rottura del provino: un materiale duttile si allunga e si deforma maggiormente prima di rompersi rispetto a un materiale fragile.

Si possono costruire moltissimi grafici per comparare i vari materiali in base a specifiche caratteristiche come leggerezza, rigidezza, resistenza, costo, ecc…

Meccanica dei materiali

Per analizzare il comportamento dei materiali si utilizzano schematizzazioni e modellazioni analitiche. Alcuni criteri in base ai quali possiamo suddividere i materiali sono:

• Omogeneità: quando ogni porzione del materiale possiede le stesse caratteristiche meccaniche;
• Isotropia: quando le proprietà meccaniche non dipendono dalla direzione di osservazione;
• Duttilità e fragilità: quanto riesce a deformarsi il materiale prima di giungere a rottura;
• Linearità: quando la legge di tensione-deformazione è lineare (gli elastomeri non sono lineari).

Sono stati creati dei modelli di comportamento che puntano ad approssimare la curva di tensione-deformazione nel tratto compreso tra l’inizio della deformazione plastica ed il cedimento. Il più comune è σ = Kεⁿ dove K è il valore della tensione per ε = 1 ed n è il coefficiente di incrudimento (corrisponde alla pendenza della retta che si ottiene ponendo la curva tensione-deformazione in un diagramma bilogaritmico).

Si vengono però a creare notevoli complicazioni matematiche utilizzando questa relazione, soprattutto nella trattazione analitica della teoria della plasticità. Diventa quindi necessario individuare curve di flusso idealizzate, caratterizzate da:

• Espressione semplice per descrivere il legame (σ, ε) = 0;
• Sufficiente approssimazione nel descrivere il comportamento del materiale, almeno in un campo di tensioni-deformazioni limitato.

Legame elastico – perfettamente plastico

Il tratto OA è caratterizzato dal comportamento elastico del materiale, comprende 0 ≤ σ ≤ σ_s. Una volta raggiunto lo snervamento la deformazione può assumere un qualsiasi valore, ma allo stesso tempo lo stato tensionale non si modifica e rimane pari a σ_s. Se si opera una diminuzione di carico in B si raggiunge il punto B’ con un tratto avente pendenza uguale ad OA.

Approssimiamo il comportamento del materiale a quello di un acciaio al carbonio, con un pronunciato allungamento allo snervamento e senza incrudimento: σ_s = costante. Allo scarico dε = 0

Legame elasto-plastico con incrudimento

Se consideriamo anche l'incrudimento dobbiamo aggiungere una componente plastica al modello precedente:

• Tratto OA: comportamento elastico;
• Tratto AC: comportamento plastico;
• Tratto OA e BB’: E = costante;
• Tratto AC: E_t = costante.

E_t è il modulo elastico tangente e ci fornisce la pendenza del tratto AC. Nello stesso tratto però la deformazione che si raggiunge è data sia da una componente elastica (legata ad E) che da una componente elastica (legata al modulo plastico E_p); si ha quindi:

ε = ε_e + ε_p ⇒ σ/E = σ_s/E + σ/E_t ⇒ 1/E_t = 1/E_p - 1/E

Legame rigido perfettamente plastico

Se le deformazioni elastiche sono piccole rispetto a quelle plastiche (lavorazioni siderurgiche per stampaggio o trafilatura) è possibile trascurare il loro contributo. Così facendo si ottiene ε = ε_p. Con un ulteriore semplificazione possiamo assumere che E ≫ E_p ⇒ σ ≈ σ_s.

Prove di durezza

Dalle prove di durezza si ottiene un indice convenzionale, dal quale si possono ottenere informazioni utili sulla qualità e le caratteristiche del materiale testato. Non esiste una definizione univoca della durezza di un materiale: in base alla prova scelta verranno utilizzati un penetratore ed un carico differente, il che porterà ad avere anche indici di durezza diversi.

La durezza H (hardness) può essere definita come:

• La resistenza alla deformazione elasto-plastica (concetto meccanico);
• La resistenza alla scalfittura (concetto mineralogico);
• La resistenza che la superficie di un materiale oppone alla sua penetrazione (concetto tecnologico).

Queste prove si dividono in prove a penetrazione dinamica e prove a penetrazione statica (lenta compressione della superficie). Questa seconda categoria si suddivide a sua volta in prove per lo studio della macrodurezza (l’impronta interessa un notevole volume di materiale come nel caso delle prove Brinell, Vickers e Rockwell) ed in prove di microdurezza (come Knoop, Grodzinsky ed ancora la Vickers).

I principali vantaggi delle prove statiche sono: la conservazione dell’organo su cui viene eseguita (prova non distruttiva), può essere eseguita direttamente sul pezzo in esame, è pratica, rapida ed economica e fornisce indici di confronto riguardo alla qualità dei materiali. Di contro abbiamo l’inefficacia del solo valore della durezza (è condizione necessaria ma non sufficiente a superare il test di progetto) e la dipendenza del risultato dalle condizioni e dalla tipologia di prova.

Dato che la durezza rappresenta con quanta facilità un metallo si deforma plasticamente risulta possibile determinare relazioni empiriche tra la durezza e la resistenza meccanica per ogni classe di materiale, in particolare tra durezza e carico di rottura. Queste correlazioni empiriche risultano molto utili in quanto la prova di durezza non rovina il materiale ed è molto più semplice da eseguire rispetto alla prova di trazione.

Studiamo ora la prova di durezza Brinnel: una pressa preme una sfera di acciaio temperato del diametro D (usualmente 10 mm), per un tempo standard (tra i 10 ed i 30 secondi), con una prestabilita forza F (3000 kg, ma può essere diminuito per materiali più teneri) contro la superficie del pezzo o della provetta. La forza deve essere aumentata gradualmente e poi mantenuta costante per un certo periodo di tempo. Successivamente si passa a misurare il diametro d dell’impronta una volta rimosso il carico di prova.

Si può quindi definire la durezza Brinnel HB come il rapporto tra il carico di prova e la superficie dell’impronta ottenuta:

HB = 2F/[πD(D - √(D² - d²))]

Se i dati non sono standard oltre alla sigla HB è necessario esplicitare il carico di prova, il diametro della sfera ed il tempo di permanenza del carico. Questa prova ha alcuni limiti (durezza del penetratore, variabilità dei risultati, errori di misura dell’impronta) ma risulta particolarmente comoda per il calcolo empirico del carico di rottura: R_m = 3,35 · HB.

La durezza Rockwell utilizza invece un penetratore a cono in diamante, premuto in 2 fasi differenti e con carichi differenti. Si procede poi a misurare la differenza di profondità (e) tra la prima e la seconda fase di pressione. I principali vantaggi sono:

• Il valore della durezza viene fornito direttamente dalla macchina (niente calcoli);
• La prova può essere svolta anche su superfici finite (impronta molto piccola);
• Velocità di esecuzione.

La prova Vickers infine utilizza un penetratore a forma di piramide retta a base quadrata, fatto in diamante. Contrariamente alla prova Brinnel risulta avere un campo di applicazione illimitato, sia per durezza che per dimensioni del pezzo, inoltre il numero di durezza risulta indipendente dal carico applicato al penetratore. Di contro abbiamo però che necessita di un’accurata preparazione della superficie ed il limitato volume di materiale interessato, il che porta ad avere valori localmente variabili.

Teoria dell’elasticità

I carichi che agiscono su di una struttura fanno nascere delle forze all’interno della struttura stessa (forze interne). Tuttavia, lo studio delle forze interne non è sufficiente per stabilire se la struttura può sorreggere determinati carichi in sicurezza. Oltre alle forze interne anche la dimensione delle parti che compongono la struttura è importante, ossia dall’”intensità” di tali forze oltre che dal materiale di cui è fatta.

Partiamo dalla rappresentazione di un solido elastico-deformabile, che si vuole studiare sottoposto a forze esterne e privo di vincoli, sostituiti dalle opportune reazioni vincolari e considerate anch’esse esterne al corpo (schema di corpo libero). Consideriamo anche una sezione arbitraria che divide il corpo in due parti. Se il solido è in equilibrio significa che ogni sua parte è in equilibrio; ciò comporta che, affinché le due parti in cui è diviso il solido restino in equilibrio, è necessario che le forze esterne agenti su entrambe le parti siano bilanciate da forze interne.

Le forze interne sono distribuite sull’area della sezione, per cui se consideriamo le forze esse agiranno sulla porzione dell’area ΔA e tutte insieme formano la forza interna ΔF. L’intensità di tali forze è definita come:

σ = lim(ΔF/ΔA) con ΔA → 0

La tensione può essere a sua volta scomposta in 2 componenti:

• Una parallela al piano di sezione che prende il nome di tensione tangenziale τ;
• Una perpendicolare al piano di sezione che prende il nome di tensione normale σ.

Le tensioni moltiplicate per l’area su cui agiscono danno come risultato delle forze. La sommatoria (o l’integrale) di tali forze mantiene il solido in equilibrio. L’unità di misura delle tensioni risulta essere N/m² (pascal) ma per comodità si usano molto più spesso i mega-pascal (MPa).

Caso con solo tensioni normali

Prendiamo come esempio una trave sottoposta a due forze assiali di trazione applicate nelle sezioni di estremità. Se sezioniamo la trave con un piano perpendicolare al suo asse per mantenere l’equilibrio, ognuno dei due tronchi dovrà esercitare sull’altro una forza uguale e contraria al carico applicato all’estremità. Con queste ipotesi, le tensioni saranno sicuramente normali alla sezione ed il loro “valor medio” potrà essere calcolato come:

σ = F/A

In questo caso particolare il valor medio coincide con i valori puntuali, ma non è sempre così.