Appunti completi lezioni di Statistica

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Corso di Laurea: Ingegneria Meccanica

Anno Accademico: 2025/2026

Semestre: I Statistica

Insegnamento:

Codice Insegnamento: 086449

Numero di CFU: 5

Professore: Nicolussi Federica

Libro di testo (di riferimento): Statistica per ingegneria – Montgomery, Runger, Hubele

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

15 lezioni teoriche sulla statistica e sulla probabilità

Documento redatto a scopo di studio personale. È severamente vietata la riproduzione, la condivisione e la rivendita non

autorizzata a terzi. Questo materiale non sostituisce lo studio sui testi ufficiali o la frequenza alle lezioni.

Programma del corso:

Statistica Descrittiva. Distribuzione di frequenza, istogrammi, box-plot. Media, moda, mediana.

Indici di variabilità. La disuguaglianza di Chebychev. Percentili, IQR. Elementi di probabilità. V.A.

continue. Distribuzioni: uniforme, esponenziale, Normale. V.A. discrete. Distribuzioni: binomiale e

di Poisson. Indipendenza. Teorema Centrale del Limite. Teoria della stima e test. Stimatori non

distorti. Errore quadratico medio. Test. Errore di tipo I. Test z sulla media di una Normale. P-value.

Dimensione del campione ed errore di tipo II. IC per la media di una Normale: varianza nota. Test t

e IC per la media di una Normale: varianza ignota. Test chi-quadrato e IC per la varianza di una

Normale. Test e IC su due medie. Test t per dati accoppiati. Test chi-quadrato di buon adattamento.

Modelli lineari: Regressione lineare semplice e multipla. Stima ai minimi quadrati dei parametri del

modello. Test e IC per i parametri di un modello lineare. Previsione di una nuova osservazione.

Analisi e scelta del modello.

Versione del file: 1.2

In caso di eventuali modifiche (correzione di errori o altre) la versione del file cambia

Nota dell’autore:

“ Grazie per il tuo acquisto!

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e affidabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatti, è ciò

che mi permette di continuare questa attività, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Costruzione di Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica Applicata alle Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica dei Fluidi (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Se ho visto più lontano, è perché stavo sulle spalle di giganti."

— Sir Isaac Newton

Lezione 1 - 17/09/25

Statistica: è una disciplina scientifica che si occupa della raccolta, dell’analisi e

dell’interpretazione dei dati ottenuti dall’osservazione di un esperimento. Essa

ha una struttura coerente basata sulla teoria della probabilità.

Teoria della probabilità: serve ogni volta in cui dobbiamo descrivere un evento di

cui non abbiamo certezza e permette di estendere i risultati ottenuti su un

determinato campione all’intera popolazione

Campione: porzione di popolazione

Probabilità

Riguarda gli esperimenti aleatori, ossia un esperimento in cui tutti i possibili esiti

sono noti ma il cui esito effettivo (quello che avverrà realmente) non è noto

Esito (o “eventi elementari”): i possibili risultati dell’esperimento

Ω Ω=

Spazio campionario (  ): è l’insieme di tutti i possibili eventi elementari

{e , , … } 

e

1 2

​ ​ Ω

Evento: è un sottoinsieme dello spazio campionario  oppure è un insieme di

eventi elementari (vengono indicati con lettere maiuscole)

Rappresentazione insiemistica:

Leggi di De Morgan: permettono di passare da unione ad intersezione

c c c

(A ∪ = ∩

B) A B

c c c

(A ∩ = ∪

B) A B

Lezione 1 - 17/09/25 1

Esempio - Tiro dei dadi

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

= "esce = {2, 4, 6}  è un evento non elementare in

E un numero pari" 2, 4, 6

quanto è insieme degli eventi elementari 

Esempio

Scatola con 3 palline: rossa, blu, gialla

Estraggo una pallina, la reinserisco e ne estraggo un’altra

Ω=

{(R, (R, (R, (B, (B, (B, (G, (G, (G,

R); B); G); R); B); G); R); B); G)}

9 eventi elementari

a. Qual’è l’evento in cui la prima pallina estratta è la gialla?

= {(G, (G, (G, 

A R); B); G)}

3 eventi elementari

b. Qual’è l’evento in cui la stessa pallina viene estratta due volte?

= {(R, (B, (G, 

B R); B); G)}

3 eventi elementari

∪

c. Quanto vale  ?

A B

∪ = {(G, 

A B G)}

1 evento elementari

∩

d. Quanto vale  ?

A B

∩ = {(G, (G, (G, (R, (B, 

A B R); B); G); R); B)}

5 eventi elementari

c

e. Calcola 

A

Lezione 1 - 17/09/25 2

= {(R, (R, (R, (B, (B, (B,

c 

A R); B); G); R); B); G)}

6 eventi elementari

f. Cosa succede se non reinserisco la pallina?

Ω = {(R, (R, (B, (B, (G, (G, 

B); G); R); G); R); B)}

6 eventi elementari

= {(G, (G, 

A R); B)}

2 eventi elementari

= {∅} 

B

0 eventi elementari

Probabilità:

Interpretazione frequentista: la probabilità è la frazione di volte in cui

l’evento si verifica in un numero infinito di repliche dell’esperimento aleatorio

Interpretazione soggettiva: la probabilità quantifica il grado di fiducia sulla

possibilità del verificarsi di un evento (A)

La probabilità di un evento A, indicata con 

, è un numero reale

P

[0, 1]

nell’intervallo chiuso 

che quantifica la possibilità che l’evento si verifichi

Proprietà della probabilità:

(Ω) = 1 

P

0 ≤ (A) ≤ 1 

P , , … ,

dati  eventi numerabili incompatibili  tali che i generici

K E E E

1 2 K

​ ​ ​

∩ = ∅ ∀ =

eventi  allora



E E i j

j i

​ ​

(E ∪ ∪ … ∪ ) = (E ) + (E ) + … + (E )

P E E P P P

1 2 1 2

K K

​ ​ ​ ​ ​ ​

Conseguenze:

(A ) = 1 − (A)

c 

P P

Lezione 1 - 17/09/25 3

(∅) = 0 

P

In maniera formale:

Ω

Definizione: dato  spazio degli eventi elementari e ƒ una famiglia di eventi

Ω Ω

definita su  (qualsiasi evento calcolabile usando gli eventi di ), allora si

chiama probabilità una qualsiasi funzione

: ⟶ [0, 1]

ƒ

P

con le seguenti proprietà:

∈ ⟶ (A) ∈ [0, 1]

ƒ 

se A P

(Ω) = 1 ⟶ (∅) = 0 

P P

{E }

sia  una successione di eventi appartententi a ƒ tali che:

K ​

 sia numerabile

K

gli eventi siano disgiunti (o incompatibili) a due a due

allora: k

∑

k

(∪ ) = (E )

P E P

i i

i=1 ​ ​ ​ ​

i=1

∈ ⟶ (A ) = 1 − (A)

ƒ c 

se A P P

∈ ⊂ (A) ≤ (B)

ƒ

se  e  allora 

A, B A B P P

∈ ⟶ (A ∪ = (A) + (B) − (A ∩

ƒ

se 

A, B P B) P P P B)

{A }  successione di eventi appartenenti ad ƒ con  numerabile allora

K

K ​ k

∑

k

(∪ ) ≤ (A )

P A P

i i

i=1 ​ ​ ​ ​

i=1

(Ω, )

ƒ,  definiscono uno spazio di probabilità

P

Lezione 1 - 17/09/25 4

Esempio - Negozio

A = “cliente con American Express”

V = “cliente con Visa”

(A) = 0, 22



P (V ) = 0, 58



P (A ∩ ) = 0, 14



P V

a. con che probabilità il cliente ha una di queste due carte?

(A ∪ ) = (A) + (V ) − (A ∩ ) = 0, 22 + 0, 58 − 0, 14 = 0, 66



P V P P P V

b. con che probabilità il cliente ha una American Express ma non una visa

(A − ) = (A) − (A ∩ ) = 0, 22 − 0, 14 = 0, 08



P V P P V

c. con che probabilità il cliente non ha nessuna carta

N = “cliente con nessuna carta”

(N ) = (Ω) − (A) − (V ) + (A ∩ ) = 1 − 0, 22 − 0, 58 + 0, 14 =

P P P P P V

0, 34



Lezione 1 - 17/09/25 5

Lezione 2 - 18/09/25

Esempio:

= “richiesta ˋ

e urgente” 

U = “fuori citt aˋ

” 

F (U ) = 0.30 

P (F ) = 0.40 

P (U ∩ ) = 0.40

c c 

P F (U ∩ )

1. quanto vale  ?

P F

c c c c c

((U ∩ ) ) = ((U ∪ )) = 1 − (U ∩ ) = 1 − 0.4 = 0.6 

P F P F P F

(U ∪ ) = (U ) + (F ) − (U ∩ ) 

P F P P P F

(U ∩ ) = (U ) + (F ) − (U ∪ ) = 0.3 + 0.4 − 0.6 = 0.1 

P F P P P F

(U − )

2. quanto vale  ?

P F

(U − ) = (U ) − (U ∩ ) = 0.3 − 0.1 = 0.2 

P F P P F

Eventi elementari equiprobabili

, , … ,

sono eventi elementari 

che hanno tutti la stessa probabilità

e e e

1 2 n

​ ​ ​ Ω

dato un sottoinsieme  dello spazio campionario  formato da eventi

E

equiprobabili:

Formula calcolo eventi equiprobabili: #E n casi favorevoli

⊆Ω (E) = =

E P #Ω n casi totali

​ ​

Lezione 2 - 18/09/25 1

Esempio - lancio dado

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

(Ω) = ({1}) + ({2}) + … + ({6}) = 1

dato che 

P P P P

({1}) = ({2}) = … = ({6}) = 1/6

allora 

P P P

= "esce un numero pari" 

E (E) = 3/6 = 1/2 

P = "esce un numero maggiore di 2" 

F (F ) = 4/6 = 1/3 

P

Esempio - clinica: 32

in un caso clinico ci sono  pazienti:

18 ⟶ (G) = 18/32

 guariscono 

P

9 ⟶ (S) = 9/32

 rimangono stabili 

P

5 ⟶ (P ) = 5/32

 peggiorano 

P

Esempio:

= errori commessi da un dattilografo 

X (Ω) = 1 

P

X P 0.2 + 0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.05 = 1 

0 0.2 Quindi sto considerando tutti i casi

1 0.35 possibili

2 0.25 (X ≤ 3) = (0) + (1) + (2) +

P P P P

3 0.15 (3) = 1 − (x > 3) = 1 − 0.05 =

P P

4 o più 0.05 0.95 

(X ≤ 2) = 1 − (X > 2) = 1 −

P P

[P (3) + (4 o pi u

ˋ )] = 1 − 0.15 −

P

0.05 = 0.8 

Lezione 2 - 18/09/25 2

Probabilità di eventi condizionati

rappresenta la probabilità di un evento 

sapendo che si è verificato l’evento

E



F (E∣F ) ⟶ probabilit aˋ di dato (E dato F) 

P E F

Formula generale per il calcolo delle probabilità condizionate:

(E ∩ )

P F

(E∣F ) =

P (F ) ​

P

Esempio - lancio di due dadi

⎧ ⎫

(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6)

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6)

⎨ ⎬

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6)

Ω= 

(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6)

​ ​ ​

⎩ ⎭

(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6)

(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)

36 ⟶ (i, = 1/36

 eventi elementari (casi possibili) equiprobabili 

P j)

= "il primo dado ha esito 3" 

F = "la somma dei due dadi ˋ

e pari a 5" 

E

dato  i nuovi casi possibili sono:

F

{(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6)} 

(E∣F ) = 1/6 (3, 2)

quindi  che corrisponde al caso 

P (E) = 4/36 = 1/9

mentre 

P (E∩F ) 1/36

P = =

(E∣F ) = 1/6

usando la formula invece: 

P (F ) 6/36

P ​ ​

Esempio - confezione di transistor

La confezione contiene 40 transistor di cui:

5 guasti (  )

G

10 difettosi (  ) - funzionano per qualche ora ma poi si guastano

D

Lezione 2 - 18/09/25 3

25 accettabili (  ) - funzionanti

A

Se prendiamo un transistor e funziona qual’è la probabilità che sia accettabile?

= "funzionava all’inizio" = {D ∪

chiamo F A}

(A∩F ) (A) 25 10+25

P P

= =

(A∣F ) = ÷ = 25/35 

P (F ) (F ) 40 40

P P

​ ​ ​ ​

Dato che: ⎧ (E∩F )

P

(E∣F ) =

P (F )

⎨ P ​ ) = (F ∩

con (E ∩

⎩ F F F E)

​ ​

(F ∩E)

P

(F ∣E) =

P (E)

P ​

allora: (E ∩ ) = (E∣F ) ⋅ (F ) = (F ∣E) ⋅ (E)

P F P P P P

Esempio - azienda

= "l’azienda apre una nuova sede" ⟶ (N ) = 0.30 

N P

= "diventa dirigente" ⟶ (D∣N ) = 0.60 

N P

Qual è la probabilità che il dipendente diventi dirigente della nuova azienda?

(D ∩ ) = (D∣N ) ⋅ (N ) = 0.6 ⋅ 0.3 = 0.18 

P N P P

Esempio - veterinario

Ci sono 4 cani e 6 gatti

1. Qual è la probabilità che scelga 2 cani?

4 3

(C ∩ ) = (C ) ⋅ (C ∣ ) = ⋅ = 2/15



P C P P C

1 2 1 2 1 10 9

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

(C )

questo perché  dipende da cosa ho estratto per primo, dato 

P C

2 1

​ ​

rimangono 3 cani e 6 gatti

2. Qual è la probabilità di estrarre 1 cane e 1 gatto?

Lezione 2 - 18/09/25 4

( (C ∩ ) ∪ (G ∩ ) ) = (C ∩ ) + (G ∩ ) = (C ) ⋅

P G C P G P C P

1 1 1 2 1 1 1 2 1

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

4 6 6 4 8 8

(G ∣ ) + (G ) ⋅ (C ∣ ) = ⋅ + ⋅ = + = 8/15

P C P P G

2 1 1 2 1 10 9 10 9 30 30

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Eventi indipendenti

Due eventi  e  si dicono indipendenti se:

A B (A∣B) = (A) e (B∣A) = (B)

P P P P

ossia se l’accadere di un evento non influenza la probabilità dell’altro

Conseguenze - Se due eventi  e  sono indipendenti allora:

A B

1) (A ∩ = (A) ⋅ (B)

P B) P P

(A ∩ = (A∣B) ⋅ (B) = (A) ⋅ (B)

perché  se  e  sono

P B) P P P P A B

indipendenti c c c

2)  è indipendente con  ,  è indipendente con  e  è indipendente

A B A B A

c

con 

B (A ∩ ) = (A − ∩ = (A) − (A ∩ = (A) −

c

infatti P B P A B) P P B) P

(A) ⋅ (B) = (A) ( 1 − (B) ) = (A) ⋅ (B )

c 

P P P P P P

(A ∩ = ∅ (A ∩ = 0

Se  allora gli eventi si dicono incompatibili e 

B) P B)

Esempio - pesca di una carta

Pesco a caso una carta da un mazzo di 52 carte

= "la carta ˋ

e un asso" 

A = "la carta ˋ

e di cuori" 

B

Lezione 2 - 18/09/25 5

 e  sono indipendenti?

A B

(A) = 4/52 (B) = 13/52 = 1/4 

P P

(A ∩ = 1/52



P B) 4 13

(A) ⋅ (B) = ⋅ = 1/52



P P 52 52

​ ​

(A ∩ = (A) ⋅ (B)

dato che  allora concludo che  e  sono eventi

P B) P P A B

indipendenti

Lezione 2 - 18/09/25 6

Lezione 3 - 24/09/25

Indipendenza di eventi

Se  e  sono indipendenti:

A B

(A∣B) = (A) 

P P

(A ∩ = (A)P (B) 

P B) P

l’errore più comune è confondere eventi indipendenti con eventi incompatibili

L’indipendenza non gode della proprietà commutativa:

Se A è indipendente da B e B è indipendente da C questo non implica che A sia indipendente da C

∧ ⇒

∐ ∐ ∐ 

A B B C A C

​

Esempio - carte

= “la carta ˋ

e un asso” 

A (A) = 4/52



P = “la carta ˋ

e di cuori” 

B (B) = 13/52 = 1/4 

P = “la carta ˋ

e una figura” 

C (C) = 12/52 

P (A ∩ = (A)P (B) ∐

 quindi  è indipendente da  (  )

P B) P A B A B

(B ∩ = 3/52



P C) 1 12

(B)P (C) = ⋅ = 3/52



P 4 52

​ ​

(B ∩ = (B)P (C) ∐

dato he  allora  è indipendente da  (  )

P C) P B C B C

che relazione c’è tra  e  ?

A C

(A ∩ = 0/52 = 0 ∩ = ∅

 perchè  quindi  e  sono due eventi incompatibili

P C) A C A C

4 3

(A)P (C) = ⋅ = 12/52 = (A ∩ ∐

 quindi  e  non sono indipendenti (  )



P P C) A C A C

52 52

​ ​ ​

, , … , Ω

Definizione: siano  eventi appartenenti a  definita su . Questi ev