Statistica - Appunti completi

Trivisano – statistica dalle fabbriche Sofia - Clasfastatistica

Concetti base

La statistica ha 2 obiettivi:

• Offrire strumenti che permettono di sintetizzare grandi quantità di dati, estraendo da essi informazioni utili (statistica descrittiva);
• Elaborare metodi per estendere all’intero collettivo di riferimento i dati derivanti dall’osservazione di un gruppo relativamente piccolo (inferenza statistica).

La statistica si occupa infatti di analizzare i fenomeni collettivi, il cui studio richiede l’osservazione di un insieme di manifestazioni individuali differenti tra loro che si presentano in modo variabile; l’interesse viene concentrato sull’andamento d’insieme del fenomeno.

Il collettivo (o popolazione) rappresenta il soggetto di riferimento. Deve essere deciso e ben specificato per poter garantire una corretta interpretazione dei dati. Viene rappresentato come aggregazione di unità elementari (unità statistiche) su cui viene rilevato il fenomeno (variabile o carattere) che si desidera studiare, ottenendo risultati distinti (modalità).

La fonte utilizzata per raccogliere i dati può essere di diversa tipologia e dipende dalle dimensioni del collettivo di riferimento:

• Censimenti rilevazioni su tutte le unità elementari della popolazione (difficilmente applicabile quando si esaminano popolazioni di grandi dimensioni).
• Indagini campionarie – rilevazione solo su un sottoinsieme delle unità che compongono la popolazione (campione).
• Fonti amministrative – dati raccolti per altri scopi ma utili al fine di condurre indagini statistiche.

In Italia la fonte ufficiale di dati statistici è l’Istat che conduce ogni anno circa 200 indagini campionarie principalmente in ambito economico e sociale.

Con il termine popolazione si fa riferimento a qualunque sia l’oggetto dell’indagine che si deve condurre (NON si tratta necessariamente di persone). Si distinguono:

• Popolazioni reali o finite – composta da un numero limitato di elementi tutti identificabili (es. cittadini di un paese, industrie del settore agricolo, ecc.).
• Popolazioni concettuali o infinite – non esistono concretamente, pertanto non si può conoscere in modo esatto il numero delle loro unità elementari (es. pezzi che un macchinario può produrre, membri di una specie animale, ecc.). Fanno spesso riferimento ai risultati prodotti da un determinato esperimento e per analizzarle è obbligatorio ricorrere all’uso del campione che deve coincidere il più possibile con la conformazione dell’intera popolazione; solitamente gli elementi del campione vengono estratti casualmente.

Una volta ottenuti i dati, vengono inseriti all’interno di una matrice, ovvero una tabella di n righe, dove ogni riga rappresenta una unità statistica, e p colonne, dove ogni colonna rappresenta una variabile.

Si indica con lettera maiuscola (es. X) la variabile e con lettere minuscole (x₁, x₂, ..., x_i) le modalità assunte da quella variabile. Quando si esaminano più variabili si possono indicare con lettere diverse oppure con la stessa lettera a cui viene aggiunto un pedice.

Utilizzando la codifica disgiuntiva (variabile Dummy) è possibile rappresentare numericamente anche variabili qualitative, assegnando a ciascuna un valore numerico (0, 1). Se si hanno solo due variabili è possibile effettuare dei conteggi.

In statistica si utilizza l’operatore sommatoria, su cui sono applicabili le proprietà dell’addizione, per rappresentare sinteticamente la somma di più termini.

Classificazione dei caratteri

Classificazione

La classificazione è un'attività che permette di riunire in modo ordinato le unità statistiche, raggruppandole secondo le modalità di uno o più caratteri. La prima classificazione è rappresentata dalla matrice che raccoglie l’insieme delle modalità dei vari caratteri osservati.

Notazione {x_i} i= 1, ..., n – rappresenta le modalità di un carattere.

Possiamo utilizzare diverse tipologie di classificazione:

• Distribuzioni di frequenza – unidimensionali, un carattere.
• Tabelle a doppia entrata – bidimensionali, due caratteri.
• Classificazioni multidimensionali, più di due caratteri.

Classificazione unidimensionale

Si costruisce raggruppando in classi le unità statistiche secondo le modalità del carattere. Ogni classe raggruppa una o più modalità. Se le modalità hanno carattere qualitativo, la classificazione risulta semplificata dalla probabile ripetizione delle modalità, perciò è possibile creare una classe per ogni modalità.

La distribuzione di frequenza può essere scritta sotto forma di:

• Frequenze assolute – conteggio della frequenza delle varie modalità (n_k).
• Frequenze percentuali – calcolo di percentuali sul totale (p_k).
• Frequenze relative – percentuali con totale a 1 (f_k) (non moltiplichi per 100).

Per i caratteri quantitativi difficilmente accade che vi siano modalità che si ripetono uguali per più unità statistiche; di conseguenza è difficile rappresentare i dati tramite tabelle di frequenza contando le unità statistiche con la stessa modalità. Le varie modalità vengono quindi raggruppate in classi secondo la loro somiglianza.

Vengono quindi create delle classi sotto forma di intervalli in cui vanno inserite le varie modalità. Le classi devono essere esaustive, ovvero fornire tutte le informazioni necessarie a comprendere i dati riportati pur operando una sintesi delle informazioni, e disgiunte in modo che una modalità possa essere assegnata a una sola classe.

La scelta delle classi è soggettiva ma, in generale, si utilizza un’ampiezza costante per studiare la forma distributiva di un fenomeno; si utilizzano, invece, classi di ampiezza diversa per identificare in ogni classe un tipo.

Frequenze cumulate

Considerando un carattere con K modalità, indichiamo:

• Frequenza assoluta cumulata: F_k = n₁ + n₂ + ... + n_k
• Frequenza relativa cumulata: F_k = f₁ + f₂ + ... + f_k
• Frequenza percentuale cumulata: F_k = p₁ + p₂ + ... + p_k

Il calcolo delle frequenze cumulate può essere utile per migliorare la leggibilità del fenomeno.

Funzione di ripartizione empirica

La funzione di ripartizione empirica associa ad ogni x₀ la somma delle frequenze relative dei valori precedenti x₀. Si tratta di una funzione definita matematicamente ma di fatto analoga alle frequenze relative cumulate.

Distribuzioni di quantità

Indica come l’ammontare globale di un carattere trasferibile si ripartisce tra le unità che compongono il collettivo.

• Carattere trasferibile – trasferibile tra due unità (reddito, dipendenti, ecc.); considerabile come la ripartizione del suo ammontare totale tra le varie classi del collettivo.
• Carattere non trasferibile – non trasferibile tra le unità (statura, età, ecc.).

Grafici

I grafici rappresentano in maniera chiara e sintetica la distribuzione di un carattere. È necessario che siano presenti alcuni elementi:

• Titolo – descrizione del carattere di riferimento.
• Etichette – identificano le varie modalità/classi.
• Legenda – per rendere chiari grafici complessi.
• Fonte dei dati – verifica l’attendibilità delle informazioni riportate.

Tipi di grafici

Grafico a settori circolari (torta)

Ad ogni modalità x_k si associa un settore circolare (spicchio) avente area proporzionale alla sua frequenza relativa f_k.

Grafico a barre e a nastro

Ad ogni modalità x_k si associa un rettangolo avente base costante e altezza proporzionale alla sua frequenza relativa f_k. Se le barre sono orizzontali si definisce a nastro. Possono essere anche suddivisi, ovvero rappresentare due (o più) caratteri contemporaneamente.

Cartogramma

Utilizzato per le serie territoriali con base città, regioni, paesi, ecc. colorati diversamente secondo una legenda.

Pittogramma

Utilizza delle figure per rappresentare i vari valori. Sono grafici utili per attirare l’attenzione ma non molto precisi nel comunicare le informazioni.

Istogrammi

Grafico utilizzato per la rappresentazione di caratteri quantitativi, costituito da barre non distanziate dove ogni barra possiede un’area proporzionale alla frequenza della classe che rappresenta. In particolare, la base di ogni colonna deve essere tanto più ampia quanto la classe che rappresenta è ampia, altrimenti il risultato del grafico sarà inesatto. L’altezza delle colonne rappresenta la densità di frequenza e deve essere proporzionale alla frequenza della classe rappresentata. Unendo i punti centrali delle basi superiori delle colonne si ottiene un poligono di frequenza.

Grafico a dispersione

Rappresenta le varie modalità come punti lungo una retta. Adatto in caso di caratteri che difficilmente assumono più volte la stessa modalità.

Grafico a stella

Le modalità sono rappresentate come lunghezze del raggio di un cerchio. Poco leggibile con molte unità statistiche ma adatto a rappresentare dati in cui è necessario evidenziare il loro scostamento dalla media generale.

Grafico per le serie storiche

Le unità statistiche sono costituite da un insieme di tempi successivi tra loro.

Box-plots

Rappresentazione grafica basata su valori medi e indici di variabilità, utilizzata nei confronti tra più collettivi. Prevede alcuni elementi:

• Una linea o un punto che segnano il valore di una media (di solito Me o M);
• Un rettangolo la cui altezza indica la variabilità dei valori prossimi alla media;
• Due segmenti che partono dai lati del rettangolo e raggiungono i valori estremi.

Questo grafico mette quindi in evidenza la mediana, i valori max e min e il primo e terzo quartile.

Confronto fra dati quantitativi

Un dato quantitativo assume significato nel momento in cui viene confrontato con altri dati; il confronto rappresenta, infatti, la prima forma di analisi di dati quantitativi. Un metodo è la differenza ma, venendo espressa nell’unità di misura della grandezza considerata, per essere attendibile richiede l’assoluta omogeneità delle grandezze considerate. Per questa ragione i dati vengono generalmente confrontati per rapporto, metodo che permette di annullare l’unità di misura, consentendo di confrontare grandezze eterogenee tra loro.

Non è, però, possibile effettuare rapporti con tutti i tipi di dati numerici (es. temperature): per essere possibile lo 0 deve avere significato di assenza del fenomeno.

Tipi di rapporti

• Composizione: il numeratore è parte del denominatore (es. frequenza relativa, tasso di disoccupazione, ecc.).
• Coesistenza: numeratore e denominatore sono due gruppi statistici che coesistono nello stesso collettivo (es. rapporto tra nati maschi e femmine).
• Densità: numeratore e denominatore rappresentano un fenomeno e la sua dimensione sul territorio (es. densità abitativa).
• Derivazione: numeratore e denominatore sono un fenomeno e il suo presupposto; permette di confrontare l’intensità del fenomeno in tempi o luoghi diversi (es. tasso di fecondità).

Oltre al rapporto è sempre necessario considerare il dato assoluto per ottenere una corretta interpretazione.

Numeri indici

Permettono di considerare l’intensità di un fenomeno in tempi o luoghi diversi. Permette lo studio di fenomeni che si sviluppano nel tempo. Il calcolo dei numeri indici può avvenire con base fissa o mobile.

NB In una serie storica per calcolare il risultato dell’anno successivo (n+1) a variazione costante tra anno n-1 e n basta moltiplicare il valore dell’anno n per il suo numero indice (base mobile).

Serie storiche: si ottengono quando l’unità statistica è rappresentata dal tempo; il fenomeno viene rilevato su tempi diversi. Sono rappresentate su un grafico composto da una serie di punti collegati da segmenti (i segmenti non hanno alcun significato, facilitano solo l’identificazione di un trend).

Sintesi numerica delle distribuzioni statistiche

Quando si analizza una distribuzione statistica è necessario adottare metodi che rendano l’analisi il meno soggettiva possibile. Alcuni indici utili a tale scopo sono:

• Indici di tendenza centrale (o di posizione o valori medi)
• Indici di variabilità o dispersione
• Indici di forma

Valori medi

Tra le medie possiamo distinguere:

• Medie lasche, basate sulla frequenza o sulla posizione occupata in graduatoria (applicabili a caratteri quantitativi e qualitativi);
• Medie analitiche, calcolate tramite operazioni (solo su caratteri quantitativi).

Un valore (C) per essere considerato valore medio deve soddisfare due proprietà:

• Criterio di internalità (Cauchy) - essere compreso tra il massimo e il minimo valore.
• Criterio di invarianza (Chisini) - deve mantenere invariato il risultato di una funzione f.

Due diversi insiemi di dati possono avere una media simile tra loro ma una variabilità delle modalità molto diversa.

Media aritmetica

La media aritmetica ( M(X)) soddisfa entrambe le proprietà dei valori medi poiché è necessariamente compresa tra il valore massimo e il valore minimo dell’intervallo (prop.1) e la somma dei valori assunti da un insieme di n unità statistiche è uguale alla media aritmetica sommata a sé stessa per n volte, ovvero moltiplicata per n (prop.2).

Quando si utilizza la media aritmetica?

• Quando le modalità del carattere possono esprimere la sua distribuzione tra i soggetti di un collettivo (es. reddito);
• Quando viene utilizzata per stimare un “valor vero” (cioè, quando vi è la possibilità di un errore di misura non sistematico, ovvero in cui l’eccesso è probabile quanto il difetto; in questo caso la somma dei valori fa sì che questi errori di misurazione si compensino a vicenda e permette di ottenere un risultato più accurato).

Di quali proprietà gode la media aritmetica?

• Rappresenta il baricentro della distribuzione, la somma degli scarti è uguale a 0 (scarto – differenza tra ogni valore x_i e il valore della media aritmetica).
• La somma dei valori assunti da un insieme di n unità statistiche è uguale alla media aritmetica moltiplicata per n (prop.2).
• Considerando un valore C qualsiasi è sempre verificata la seguente relazione:
• La proprietà precedente assume valore minimo quando C è uguale alla media aritmetica poiché il valore minimo ottenibile è x=0 (proprietà dei minimi quadrati).
• Se un collettivo di n unità statistiche viene suddiviso in L sottoinsiemi (o gruppi) la somma della media aritmetica di ogni gruppo moltiplicata per il numero dei membri del gruppo, diviso il totale n è uguale alla media del totale.