Appunti completi di Psicometria: logica, probabilità e statistica

PSICOMETRIA

ARGOMENTI

Fondamenti di logica e insiemistica

Cenni sui sistemi relazionali empirici e numerici

Teoria della probabilità:

teoria classica della probabilità,

 impostazione frequentista della probabilità

 spazio campionario, spazio di eventi e spazio di probabilità

 probabilità condizionale e indipendenza

 genesi di variabili casuali discrete e continue



Cenni sulle tecniche di campionamento

Elementi di statistica descrittiva:

distribuzione di frequenza (rappresentazione tabellare e rappresentazione

 grafica)

indici di tendenza centrale

 indici di posizione

 indici di variabilità



Funzione campionaria della media

Impianto dell’inferenza statistica e della verifica delle ipotesi:

errore di I e II tipo

 potenza di un test statistico



Introduzione allo z test

A seguito della lezione ci sarà uno spazio di feedback e di esercizio

PERCHÉ STUDIARE LA PSICOMETRIA?

È uno strumento che estende i fondamentali processi di pensiero che ogni essere

umano utilizza.

Questo studio è finalizzato nel supportare il benessere e per questo:

si osserva il comportamento delle persone,

 pensano e riflettono su quello che hanno osservato,

 intuiscono delle regolarità (una struttura) dei comportamenti,

 in riferimento alla teoria si creano un’idea di come funzionino le cose,

 si pongono domande con lo scopo di entrare in possesso delle informazioni

 necessarie, la psicometria aiuta a trovare una risposta, permette di prendere

una decisione.

IL METODO SCIENTIFICO

Processo per acquisire conoscenze in modo rigoroso.

Finalità di: descrizione, predizione, spiegazione, applicazione.

Caratterizzato da:

approccio empirico, enfatizza l’osservazione diretta, la sperimentazione come

 strumento per rispondere alle domande. Oggettiva.

atteggiamento scettico, utilizzare un approccio probabilistico per quel che

 riguarda le affermazione. “si potrebbe ipotizzare che…”.

Le prove più solide per un’affermazione scientifica vengono da risultati convergenti di

molti studi sebbene un ricercatore riconosca che le affermazioni sono sempre

comunque di natura probabilistica.

Il controllo è fondamentale per stabilire se quella identificata è l’unica possibile

spiegazione in relazione all’effetto evidenziato. Ci permette di avere una maggiore

sicurezza ed infondere una maggiore sicurezza.

Se manca il controllo si parla di teorie ingenue (che si basano sulla disordinata ricerca

di conferme), da professionisti non possiamo permettercelo.

I passi fondamentali del metodo scientifico:

Alla base ci sono le nostre conoscenze, come ad esempio l’esistenza di

 risultati contraddittori nelle ricerche precedenti, la presenza di lacune nei

risultati di indagini precedenti o la permanenza di fatti e condizioni prive di

spiegazione

Da queste sorgono interrogativi.

 Misurare gli eventi e i dati in modo rigoroso e sistematico

 Le risposte all’interrogativo devono essere:

 empiricamente controllabili

o razionalmente accettabili

o replicabili da parte della comunità scientifica

o

Dalle risposte individuate scaturiscono nuove domande, per le quali si

 cercheranno nuove risposte e così via in un circuito virtuoso.

È un circuito virtuoso.

PRICIPI DI LOGICA

La logica ha come obbiettivo verificare l’esattezza dei ragionamenti, cioè stabilire

in che modo da una o più proposizioni sia possibile dedurre logicamente altre

proposizioni.

Gli enunciati della logica sono delle proposizioni semplici, dichiarative, per le quali

ha senso interrogarsi riguardo al loro valore di verità (V o F), senza presentare

ambiguità nelle alternative.

Ad esempio, non è una frase dichiarativa “in un punto passano infinite rette” in quanto

è possibile attribuire a questa frase il solo valore VERO, oppure le frasi optative

“disinfettati le mani”.

Si arriva a delle frasi semplici e di natura binaria o vere (1) o false (0), senza alcun

grado intermedio.

GLI OPERATORI LOGICI

I termini “e” “non” “oppure” “se… allora” sono usati nel linguaggio di tutti i giorni, in

questa o in altre forme, per collegare proposizioni semplici e formare

proposizioni composte, queste parole possono essere indicati col nome di operatori

logici o congiunzioni proposizionali o connettivi logici.

La logica stabilisce le regole in base alle quali è possibile indicare il valore di verità di

alcune espressioni complesse, sulla base dei valori di verità che assumono gli

enunciati componenti.

Gli operatori logici permettono di svolgere operazioni tra due proposizioni A e B legate

da un determinato tipo di relazione, tali da dare origine a una terza proposizione C,

con valore V o F.

È importante stabilire il valore di verità delle nuove proposizioni composte, che si

ottiene solo a partire dal valore di verità delle proposizioni componenti.

Le tavole di verità permettono di trasformare in modo rigoroso i valori di verità delle

nuove proposizioni composte.

OPERATORE DI NEGAZIONE

“non è vero che” “non”

Cambia il valore di verità di una proposizione.

Simbolo: “¬”

Le tavole di verità sono usate per determinare se, attributi i valori di verità alle

proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa.

Il numero di righe è uguale al numero di valori di verità (1 e 2) elevato per il

numero di proposizioni semplici (A o B).

Due proposizioni sono dette uguali quando hanno la stessa medesima tavola di verità.

φ NON φ ¬ ¬ φ

¬ φ

V φ 1 0 1

V φ 0 1 0

Negare due volte la stessa proposizione φ significa cambiare due volte il valore di

verità, ed essendo binario, riportarlo al valore iniziale:

φ= Sara studia

¬ φ= Sara non studia

¬ ¬ φ= Non è vero che Sara non studia

OPERATORE DI CONGIUNZIONE

“e”

Simbolo: ∧

La proposizione composta: A ∧ B per essere vera devono essere vere sia A che B.

La tabella è:

A B A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Giorgio ha preso 5 in storia e 7 in matematica.

La proposizione composta è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere, in

tutti gli altri casi è falsa.

Per l’operatore congiunzione vale la proprietà commutativa A ∧ B= B ∧ A

ESERCIZI OPERATORE CONGIUNZIONE

-A ∧ B

A B -A -A ∧ B

1 1 0 0

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 0

A ∧ -B

A B -B A ∧ -B

1 1 0 0

1 0 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

OPERATORI DI DISGIUNZIONE

“o/oppure”

La disgiunzione può essere di diversi tipi, tanto che in latino si utilizzavano diverse

parole per esprimere i vari tipi di disgiunzione:

In senso esclusivo, “aut-aut”, come nella frase “mi iscriverò o al liceo o al

 tecnico”, secondo la quale non si possono avverare entrambe le possibilità. Il

simbolo è ⊻.

In senso inclusivo, “vel”, come nella frase “al concorso sono ammessi i

 laureati in matematica o fisica”, in questo caso non si esclude che le due

possibilità si verifichino contemporaneamente. Il simbolo è ⊻.

In condizioni di incompatibilità, come nella frase “si mangia o si parla”, si

 esclude che entrambe possano essere entrambe vere ma non che possano

essere entrambe false. Il simbolo è ↑.

Per questi operatori non vale la proprietà commutativa.

DISGIUNZIONE ESCLUSIVA

Il simbolo è ⊻.

Si esclude che possano accadere entrambi.

Devono essere una vera e una falsa perché sia valida.

A B A ⊻ B

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

OPERATORE DISGIUNZIONE INCLUSIVA

La cosiddetta “o debole”.

“Per lo studio si può utilizzare il libro 1 o il libro 2”.

Non è esclusa la possibilità di studiare da entrambi i libri.

Il simbolo è ∨

A B A ∨ B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

DISGIUNZIONE PER INCOMPATIBILITÀ

Simbolo è ↑.

Riguarda la disgiunzione resa dall’incompatibilità tra due proposizioni, impiegata

quando si vuole sottolineare l’impossibilità che sussistano contemporaneamente due

stati di cose (che due proposizioni siano vere entrambe in contemporanea), tutte le

altre possibilità sono vere.

A B A ↑ B

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

ESERCIZI OPERATORE DISGIUNZIONE

-A ∨ (B∧A)

A B -A (B∧A) -A ∨

(B∧A)

1 1 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

((A∨B) ∨ (-C))

A B C -C A∨B ((A∨B) ∨ (-

C))

1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1

1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

((A∨B) ⊻ (-C))

A B C -C A∨B ((A∨B) ⊻ (-

C))

1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

((-A) ∨ B)

A B -A ((-A) ∨ B)

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 1

((-A) ∨ (A∧B))

A B -A (A ∧ ((-A) ∨

B) (A∧B))

1 1 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

((-B) ⊻ (A ∧ B))

A B -B A ∧ B ((-B) ⊻ (A ∧ B))

1 1 0 1 1

1 0 1 0 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

((-A) ↑ (-A ∧ B))

A B -A (-A ∧ B) ((-A) ↑ (-A ∧ B))

1 1 0 0 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 0

0 0 1 0 1

((-A) ∨ (B ∧ C))

A B C -A (B ∧ C) ((-A) ∨ (B ∧

C))

1 1 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

0 0 0 1 0 1

((A ∧ B) ⊻ (-C))

A B C -C A ∧ B ((A ∧ B) ⊻ (-

C))

1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

((A ∨ B) ↑ (-C)

A B C -C A ∨ B ((A ∨ B) ↑ (-

C)

1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 1

OPERATORE DI IMPLICAZIONE

OPERATORE DI IMPLICAZIONE MATERIALE O CONDIZIONALE

“se” -ipotesi “allora” -conclusione

Se ho la febbre, allora sono malato

Il simbolo è ⟶

A B A ⟶B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Nel linguaggio logico, al contrario del linguaggio quotidiano, la proposizione A ⟶B non

pone né vuole sottintendere nessuna condizione nel caso in cui A non si verifichi.

Se uno dice “se domani c’è bel tempo, allora usciamo” spesso si sottintende “se

domani non c’è bel tempo, allora non vengo”.

A ⟶B e B⟶A hanno valori differenti.

A B B ⟶A

1 1 1

1 0 1

0 1 0

0 0 1

Tramite diagramma di Venn si possono comprendere le svariate espressioni che si

utilizzano per leggere A⟶B: 1. Se sei milanese allora sei italiano

2. Dall’essere milanesi segue l’essere italiano

3. Essere milanesi è condizione sufficiente per

essere italiani

4. Essere italiani è condizione necessaria per

essere milanesi

(A⟶ (B ∧ C))

A B C (B ∧ C) (A⟶ (B ∧

C))

1 1 1 1 1

1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 1 1 1 1

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 0 1

((A⟶B) ∧ (B ∨ C)

A B C A⟶B B ∨ C ((A⟶B) ∧ (B ∨

C)

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 0 0

((B⟶A) ∧ (B ∨ C))

A B C B⟶A B ∨ C ((B⟶A) ∧ (B ∨

C))

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 0 0

DOPPIA IMPLICAZIONE

“se e solo se”, “A equivale a B”, “se A allora B e viceversa”, “A è condizione necessaria

e sufficiente per B”

Il simbolo è ⟷

È uguale a (A⟶B) ^ (B⟶A)

A B (A⟶B (B⟶A (A⟶B) ^

) ) (B⟶A) A⟷B

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 1

RIASSUNTO

φ proposizione semplice

¬ operatore negazione “non”

∧ operatore congiunzione “e”

⊻ operatore disgiunzione esclusiva “o uno o l’altro”

∨ operatore disgiunzione inclusiva “o uno o l’altro o entrambi”

↑ operazione disgiunzione per incompatibilità “o uno o l’altro o nessuno dei due”

⟶ operatore implicazione materiale “se… allora…”

⟷ operatore doppia implicazione “solo se… allora…”

((A^B) ⟷ C)

A B C (A ∧ B) (A ∧ B) ⟶C C⟶ (A ∧ B) (A ∧ B) ⟷C

((A ∧ B) ⟶C)∧ C⟶ (A

∧B)

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 1 1

0 1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 1 1

0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 1 1

((A⟷B) ∧ (B∨C)

A B C A⟶B B⟶A (A⟷B) B∨C ((A⟷B) ∧

(B∨C)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 0 0

((A⟶B) ^ (B⟷C)

A B C A⟶B B⟶C C⟶B B⟷C ((A⟶B) ^

(B⟷C)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 1

RELAZIONI FRA FORMULE LOGICHE

EQUIVALENZA FRA FORMULE LOGICHE

Quando otteniamo gli stessi risultati di verità con due proposizioni logiche differenti si

parla di equivalenza fra formule logiche

Il simbolo è ≡

- (A ∨ B) ≡ (- A ^ -B)

LE TAUTOLOGIE

Quando un’espressione logica è vera per qualsiasi valore di verità attribuito alle sue

variabili essa viene detta tautologia.

φ ∨ (- φ)

φ - φ φ ∨ (- φ)

1 0 1

0 1 1

Una formula non è una tautologia se e solo se nella corrispondente colonna della

tavola compare almeno uno 0.

LE CONTRADDIZIONI

Quando un’espressione logica è falsa per qualsiasi valore di verità attribuito alle sue

variabili, al contrario delle tautologie, essa è detta contraddizione.

φ ∧ (- φ)

φ - φ φ ∧ (- φ)

1 0 0

0 1 0

ESERCIZI

((¬ A) ⟷ (B ∧ C))

A B C -A B ∧ C ((¬ A) ⟷ (B ∧ C))

1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0

((A ∧ B) ↑ (¬ C))

A B C -C A ∧ B ((A ∧ B) ↑ (¬ C))

1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1

0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 1

((¬ A) ⟶ (B ∧ C))

A B C -A B ∧ C (¬ A) ⟶ (B ∧ C)

1 1 1 0 1 1

1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0

LA TEORIA DEGLI INSIEMI

Un insieme è un qualunque gruppo o aggregato di oggetti, individui, osservazioni, i

quali costituiscono gli elementi empirici o numerici.

Un insieme è definito con una lettera maiuscola, gli elementi al suo interno con lettere

minuscole.

Gli elementi che costituiscono l’insieme vengono messi in delle parentesi graffe.

{ }

[

a , b , c ,d , e …]

A=

Viene utilizzata la notazione “x” per indicare un elemento generico dell’insieme,

quando la scelta dell’elemento stesso è lasciata indeterminata.

Un insieme finito è un insieme in cui elementi possono essere contati.

Un insieme infinito è un insieme in cui elementi non possono essere contati.

CARDINALITÀ DI UN INSIEME: A o B

Insieme finito (A).

Con la notazione “n(A)= 22” indico il numero degli elementi presenti nell’insieme A (in

questo caso 22).

Per quanto riguarda un insieme infinito (B), per esprimere il numero infinito di elementi

utilizzerò “n(B)=∞”

UNIVERSO U

Un insieme U include tutti gli elementi in esame in una particolare discussione

Es: insieme delle lettere latine, dei numeri naturali, degli iscritti a STP…

INSIEME VUOTO ∅

È un insieme che non contiene elementi. Il simbolo è ∅

INSIEMI UGUALI

Due insiemi sono uguali se ogni elemento di A appartiene contemporaneamente

all’insieme B e viceversa.

Se non sussiste tale condizione si avrà A≠B

{ }

a , z

A= { }

a , z

B=

IDENTIFICAZIONE DEGLI INSIEMI

L’ordine con il quale vengono elencati gli elementi non cambia la proprietà

dell’equivalenza, se essi sono espressi fra parentesi graffe.

RELAZIONE DI APPARTENENZA

Per definire l’appartenenza utilizziamo il simbolo ∈, vale solo per l’appartenenza di

elementi dentro un insieme.

a ∈ A

Per definire la non appartenenza utilizziamo il

simbolo ∉.

f ∉ A

CONTENERE

Per definire il contenere utilizziamo il simbolo ∋.

A ∋ a

Per definire il non contenere utilizziamo il simbolo

∌.

A ∌ f

RELAZIONE DI INCLUSIONE

Un insieme di un insieme si definisce sottoinsieme.

Il simbolo è ⊂

SOTTOINSIEME PROPRIO ⊂

A contenga tutti gli elementi di B (B ⊂ A) e sia diverso da B (A≠B)

Chi porta gli occhiali in aula.

Tale relazione può essere indicata formalmente con la seguente notazione:

B ⊂ ⇔ { ∀∈

, ∈

⇒ ∈

} e ∃ ∈

, ∉

Tale notaz