Appunti completi di Fondamenti di algebra lineare e geometria

Regola Sarrus di matrici 3x3

SOL PER:I( De anz& 211 M3xy(k)EA &21 &az&ar= Q &&2231 13 (( e ane e&22da asL di : &22es . A Oaz-(ans ass)det &12 AzzOrzt Res+022. Az +OgQui Azz.011 Azzazi anz= ane ·· +· ..· ..·.1)Esempio a =l (1det A 0)0( (2 30 3 21 1) +01 24 2+ ++ 11 2 . . ...- -. ... . - .= . 66 12=-= ---1

Di per condizioni matrici invertibilità equivalenti

Mn(KIA E quadrata la condizioni equivalenti seguenti sono :,1) JBEMn(k) AèA t 1nBINVERTIBILE AB. = .: =c ..o =2) Ax EK"il lasel ha soluzione xsolo= G] K"Fa k2+KerA è iniettiva(1 :# = A-xX +3) A sullo/ottenutaforma Triangolarediridotta superioreè 1EG)tramiteogni condiagonale principale2) FbEK"Ax b hail FasoluzioneSEL è suriettiva=5) rango (A) = n6) soluzionehaAxib beknil sel unica1) det(A)il + 0* ( inventilila)Fa è K" liunivocaautomorfismo di ossia =un ,In " risultadatiparticolare di devettari unun,n ...,,val& valè Ev indiplosa K" eindi sonoseunavi ...,, , ..., ,(vu )... det/AleEMpCK)Asolo dota derimereese se =, ,&IR"/2 dimW=2 intip<

Esercizio 1

ESERCIZIO 1) liv.01W perché=(Wi 3 We 11 -10 w we== ,, , ,,, , ,,2)3aIRhV (1 ) 7< 38)2 12vi= va= =- - ,, ,, , ,, tEIR lin dimuche scelga indipsi osservi si 2= >v2vcomunque =1,, .?383Per tElm UnW/quale volere d :=SRisulte W-Odim/unw))dim3 dimche dim/U WUn W solo WI ++e sese =/GrossmannTi h2 2+= =~inVe w sommedi reta IRhsolo U+Wse e se = 5w vasdiSiccome è dellageneratoriinsieme wasommaun v, ,,linve3{wsolo indipe sese wa v ., ,,: (TA)detdet A =- 32 Va det (A) =solo 0ese se I 111111 --det/Ahn) 203(Az) + 2det M 2 1(A) detA + -2+0 1 == I.= . t 31 12 1- -La ColonnaLaplace 2)(03)( 6t) 0+t (( -2) 16 2 3 ++ -1 -- -- .-- -= -7) 7) 2t2)2t 4+10+ = -1 -=- / 1t 3832t +17 2 -w0 v( == =-Il 583t =ellore W2 Use = .S 21 CIR"/510

Esercizio

ESERCIZIO < dimv1130)V 01v 0 2:ve0,: = , =, , ,,,la IRhScrivere endomorfismo dinotrice ad loseassociata rispetto cononicaallaunIRh (si intended codor)don tele Kenf Inf= eche 22) Vsia = Vaen a vsu = =, ,IR" IR" CincorefPer definite secondo fdefinire le deisufficienteè di- vettoriimmagini: unoIR"Cose di estendesi linearitàpoi; perEaEn en3Scelgo lose en 23le coronica = , , ,8 VEIR23Egivi/8(e festfles fien frealInf10 è dagenerata0l =0:: 0. ,, , ,,,8grel 10 00 0:: ,., ,,Inf vil:108(est 01 )1 0ve v=: = ,, ,. 1)freal 13 0Vz 0= = ,, ,( (0003Mig e= 000 *B 001freildi Ecoordinate rispettoVi h21 3= , , , (81))Mf10"Si linearità" d) haestende y En3 coordinata: rispetto porper c a,, ,↓ IRhdivettoregenerico810 df(e)ef(ey)bfd) freib + ++ en)a= ,oppure c, ,, d+= c.v vz., IRhè stola definita f Tutocosì su=>

Matrici simili

fstudiano gliSi rettoriale dimV endomorfismidoto lineorediVinspazio V-Vvuno, :, ,MB)valB=Ev Adilose usSie v =una...,, MBgB Evi vil ACose di m: una =...,,NB dominiostudione associalemotrici casegli empomorfismi si: Stessaper suconcodominioe !Qual'è Atrail legone A e BparBidv) BconciamentomotricedeRicordo di daCase su asecherisultaP" . PA A-= eMagMBigl lida d: .,DEFINIZIONE A'EMnxn(k)A PEMnxn(k1diconosida esistemotrici siMici: seetinvertilile c. . PAp"AP" AA P =( = -= MixnTole relazione diè(kIOSSERVAZIONE Equivalenza: su 11FAEMnxn[kI AAA A 1nsimileeRIFLESSIVA- =:a: .:, . PA .è edA psimileSIMMETRICA inventilile AlAEp t~ : se : =c. . )" +JP"A' pA A(Ptè +adallora invertibilesimile A . .: =c. . AlA B èBa similesimileè C CsimileTRANSITIVA allora- Se: a aa:invertilite t PIP BA p .=c. .Ja &Ctinvertibile QB :c ...p" (a" a) iAAllora c= . .(P"a") (9 P)c . ·.= Y↓ essendoQanche P prodottoè inverticila.+ di(Qp) inverticiei1QP)"A A(QP) è CsinileC =>== a..BEMaxn(k)

COROLLARIO Aquadrate rappresentonomotric andomorfismoDue stessouno: ,di divettoriale CosidimenV rispetto solodiversespazio a e seuna se,A SIMILIB2 sono MBgfA AB Erappresenta lose diesisteVV V =: se cuna .. MBB'div te B g)8 loseesisterappresente Veu =sese una: c. .A BAllora similie sonoMB(f)A BEMnxelkl eViceverse sie similesie e:, ..B PFP inventilice t A P= = -c. .OSSERVAZIONE diPPinvertilila corliamentoè motrice di Cose: Es meEv&: val dilose V, ..., )I-p di P linepineteca n vene inte esonViDefinisco Qu Rai Va coordinate vi de+... anive+ di rispetto= sa colonnala di Psono~ è V Bcoordinatelaquel di rispettoveltare cui aPdiila colonnasono3B' E -vi Pdi V inverticileloseè èperché= = v una...., ,,MBP i sCid) alliano definito= vettori lper= comeMB Migl MP" P Cion) il aBQuindi A= .:.. · ,MB B f/f) = erispetrappresenta= B'alla losedueè ilsimili loroSeOSSERVAZIONE motrici loallora stesso1 rongosono: , MBMB(f) un(A) rufA (f)BPer rcerselorio =: = ==, Y endomorfismostessoIf V-V lineore: B' di7 losiB v,A horro determinentesimiliB stessolo

OSSERVAZIONE alloraSe2 sonoe: ,P"BFrfolti A P il teorema BINETdise = . 1. per= /P" de(P)P) detp-) det(A)Adet detB . -= = .. Adet=L'osservazioneOSSERVAZIONE reversilie3 1 2: e sononon4d (0 :(i) det A det Bi 0v B == := però similinon sono(2)B = impossibilaru(A)fosseroSe lo èrk(B) questoma=, "11rk(B)rk(A) me= new 1similisono : ( )%11AEMnxe(k) 1.Aè simile allaSe motrice cena. = 1=: .,e scoloreuno"p" (p" (p"p) p)(x 11nAInfolti 11) P 0a a == -se . - == ..·. .invertibile↑l'unicaIn è Insimileparticolare Inmotrice a,A( 1n) fosse Insimile es e) se Bis= a =3 ==> me vo n

Determinante dell'endomorfismo

DEFINIZIONE dimf endomorfismoSie V-sV V: =: n, delladefinisce il det(f) determinanteilSi determinante fdi come,,ad losemotrice Bassociata qualsiasi dif rispettoa vuna(MB(81) didat det(8) coseD: , MB) MBB' di alloraCosese simierVcambio a, loss 2)STESSO DETERMINANTE=>GCOROLLARIO endomorfismo det(f)e invertibileV-V solo tose: e se: 1IlBif Bigdet ee inverteite,B dilose Vendomorfismofconclusione Sia dim vvesu:: = r,MBg) Mexnkdi ARoseB V ESie =,[P"API inverticilalyPEMnxe(k)L'insieme è l'insieme diBEMp(kiTUTTE Le ASIMILI AD· f rispetto alleTutie basiMatricile possibiliadassociate vsu· ?"semplice"esiste diagonalenotrice in tolaPROBLEMA possibileinsieme più assia: una , MB/f)B'd t ètrovere diegonalepossibile Bloseèossia V: =cwe . . (D"ABesistetole invertibilePBallone PESEMPIO Se = cauna: . ., ,1nIl(p P"- " BP) B/PP")A BP)/P BPAA ==. = P B2P=(2) ()=B == (0)A B" B"p"Analogamente pFr = an. . =.,

Funzione diagonalizzabile

:.8 Cineore vettorialev V v- spazio dim V z=, MBI)B èè Ldi& Case motrice diegediagonalizzabile Vesistese c unauna ..MB(1)Ber eval , xdiagonaleSir e2da edi c-- ~, , . gavicoordinate di givalCoordinate di~RISPETTO BA RISPETTO BA f(valf(val hyVz yavaon+0 ovy+firilidivi +...firi) X v. + =,OVr+ == +...+ore= ,v ,, ,l'immagineInve seflunl èdi scaltreMultiono stesso=> dive= un

DEFINIZIONE XEKdoto X.vXrelativoVEV dice finisi diautovettoreche fve: se =a, ,* chiame Autoratore fsi Di (MBSe Evlose DIAGONALIZZABILE)valB /Ovveroesiste vdi= =una .........B XiAllora dedivettori gfi autovaloriautovettori disono sonodi e i ...,vi3SviB 3xiEkdiViceversa fdi Filose tautorettoridav compostade siasupponiamo : ..-= = n, ...., , ..., ,Xi'flui) vil=Migl no,è diegoeleAllora è diedefinizionInfatti matricedella di seassocione, ,1 diagonalizzabilità ENDOMORFISMICriterio : B Evf 3IV diagonalizzalierV Givisdiè solo ViviVloseesiste t cento=se see unv: perc, :., ..., . .Xik Vi 1, n= ...,,NB Nonostante È (perché lineare)gio) èdefinizionef e altrimenti: autovettorenon è ,per ,: un,., XXEK (de evitere)flöl 1siccome :

DEFINIZIONE XekSe fruiJvEVfdiautovalore qualenullo: è Xil siossia percon pore:un v. ,,v3Vx XSvev / fri = .= 50313Sautovettori relatividi f va=glAutospazio di diX Vve sottospozioRELATIVO vettorialeA è:

DEFINIZIONE adUna AEMilkInatrice Diagonalizzabile simile: quadrata ègenerica serxm è unaPAJPEMn(k) inventeilematrice t Pdiegonale diagonaleDassir c =-. ., simieE'A Da(39 (IR)A EM diegondeESEMPIO1 Sie motrice=: , IR2 <IR) anA lamotrice Faè rispettoassociale cosealla: cooica (3x,(i) /Y)A:1 =.A Adiagonale è diagonalizzabile FaIR'B diautovettoriloseesiste di decompostauna=> M(FA) enla FacileA Essere diche di Frefferno è autovettoricose= :, , "I A A X 22L : = .. ,()(30)(1)Fa(e) A die autoveloe 3· == =. .: 1111Il A-() di.. Faautovettore relativo aA(3( (ele velivoFacen A· en c= =. : . e/ )! eB

Esempio non diagonalizzabile

Esempio non diagonalizzabile=: ! ) IRh= formata B/Fisdi de :eutovettaricose 3(Fi)IRSFi IR B: = 22((y) (4)(y) *B+ =.via) è /oCerco quando B)equivalentementeFrautovettare di di↓ (e)(e)Fis()XEKdeve =t Besistere c .=. . pe () S X &aitaz = .= ,= Xaz az: .↓ Xauto 1, en ase az+1 === ,W 21 0=# (8) Xan+ an: v =W X0an0 ,)az ===↓ FB/B= diautovelareunicoaifo 11 (9)dendi a errelativientovettori esteFi vettorigli i= sonoa , ,(81) (81(0) 18Infolti B . :: . XA 1Autospazio FB RELATIVODi = (0) [(0)EIM onEIR3& FB3vGb :diautovettori = =IRI FBIformata AUTOVETTORIEsisteNON dadiBase di=>↑ due divettori dipFis linqualsiasi sono

Come trovare gli autovalori

COME TROVARE AUTOVALORIGLI :f endomorfismoV iv: JueV tXEK =1.vo favidiautovalore fè = cun . ., , M~ 5Xf(x) =v.- idu Vf(x) =X V >idn(u :-- =(f-X idr)(r) +- vV.#ENDOMORFISMO VDIFreV tvföl (f-Xidr)KerVec. .,,X idnf- è iniettivoNon= .MB fSe A die Bnatrice/81 Coseassociale vrispettoe= 1n)(A-Xdet/f-X ide) detAllora .=. ↓49(id)

DEFINIZIONE EMn(kIAData eil Caratteristicopolinomio: di a,/A-Xdet 11) dipolinomioè gradoPa(X) = nun. ,-MATRICE nXm g eDato endomorfismof il polinomio caratteristicove V di: ,MB/f)Adove f Bmotricequalsiasi associataPa() daDipendenonPf(x) a== ,dim degV Pf(x)=FATTO XEK f pf(x)è polinariodi delle rodiciautoveloce: medinsal più01 · sono= => AEMr(KI algli autovalori di più· sono n