Appunti completi della prima parte del corso di Laboratorio di programmazione e calcolo

Appunti laboratorio di programmazione e calcolo

GiacobelliGinevra 19103

Point floating arimetica errori

In del adsignificative zealedi didilimitatezzada conduzze eccociafee numeronumero un può accotondamento, incolommamento cancellazione.

Errore di arrotondamento

MeARROTONDAMENTO:ERROREDI10+0,6342* no*0,4964 nell'azitmeticaro esallasultato gloating point deve mozmalizzarecambia point* perché si si1,1306 D - pointfloating100,131* metterezisuetab quindi devesi 0,......

Errore di incolonnamento

INCOLONNAMENTO:ERRORE DIS G= 10- /0,1234* A 0,1234000 -10D* 10 *0,00072310,7231 0,12267694103100,1227*- --isvetal esattoasvetato-gloating-point di potezli sottazzediversiordiniIn grandezzaduequesto mumezii e peravevamo sommaze ezacaso oall'ordine delgrandezzapiccolopostare grande.diilmecessazio più più noeffettuataL'operazione 10", 18-0,0070,123440-0,72314 *zealmente stataè 0,1234non maandatoIn parte del contributo del secondomodoquesto ènumerogeam perso.

·S c= 10t*10t D* 0Gz100000,4721 /103* D no0,00002107*0,2107 no 18-07**0,472- esattoasultatoziscetatogeoating-point lepsilon macchimalottenutocisultato addendoalugualeje↳ primoè approssimata deidaL'ezcoze zappresentazionezisultato statomel causatoèN.B. non una all'operazione.due necessitàdidalla procedereaddemdi, incolommazei potezpezma

Errore di cancellazione

CANCELLAZIONE:DIERRORE·SG= 10*0,1234 -80,1233* esatto zisvetatodiversocisvetato dovutomozmalizzazeperché hoieè pez100,0001 pointgloatingno Azisultato* dell'n.dopoeliminaze gli zezi viegolala prima10000 e/ e significativizezi non pointgoatingLa sottrazione ottemutozisuetato cozzettoil èspecialeimduzze gemomemo:unopuòsigmigical Nella alcunezimozmalizzazionenormalizzato. dellaive, posizionicifre - èa ma nonsu significato.mantissa ziempite dipaivizezisono con·y=G185 -4 =ge(5) 102=0,4955ge(a) 2=0,1954 no4* 100,4454.no10 0,010,4455 0,1 === -risultatoil esattoMa 0,011274...è troppose dalmato dueproblema sottazze vicimi.mumeziè

Pez evitaze questo contracio:alzazionalizzazionecancellazione, possibiledi lafazeèezzoce-B =+XA stimapunto,vesto la sazá:peznuova y9- 0,1122.n84** l R=0,4455.102 +0,4454:102=0,0909.12L'eccoze di deveduecancellazione sottzazze ugualimanifeste emet numerisinumericaN.B. quasievitato opportume strategie di calcolo.esseze comEo *x·ex = K allX opportunamentetroncazeaconsidezaze formulaquesta chebaseSevogeno ezzoceposso e ine,voglio. bene;dicituza funzionequestaSexso,· elevato positivopresenta negativola quindi iltermineSexto,· pacinumecosezie eun , peza enegativo ha alternidispaci quindi sezie segnisipeak è una a IE 1utilizzazeIvoquando megativogozmula cheQuindi, e=eaconviene x-megax è comIx-epositivo,diventa altezmi.dellaquindi il segniproblemaè seziepiùnone a

Conseguenze degli errori

DEGLICONSEGUENZE ERRORIazitmetica finita, associative.operazionileNeeè precisione non sonoa

Propagazione degli errori

PROPAGAZIONEDEGLI ERRORI deglimatematico ziguardaquantoDato distingueze, la ilproblema propagazione ezzozi,si perun può utilizzatodiil algozitimocomportamento particolazecomportamento zisolvezeo.del problema pezune(I zetteltersezione di dueEs.

Comportamento del problema

MA COMPORTAMENTO PROBLEMA:DEL coefficienti(cambiando punto!didelle quanto· cette sposta ilpendenzacambioSe la sii meno.(secettedelleDipende dalla paralleleposizione quasisono o1A

Comportamento dell'algoritmo

DELLALGORTMO:COMPORTAMENTO Ipetrabato, l'algoritmo sballaSetzovo algoritmo adbase problema -anchein èun un Izette perturbatodelle zetteil zisuetanel le quasiproblemacaso sonose- cambiando di coefficienti, ilpazallele, tanto cisvetato.dicambiaiperché pocoA ilstudiaze,Bisogna problema.quindi, condizionamento delPROBLEMACOMPORTAMENTO DEL

Problema ben posto

PROBLEMA POSTOBEN (secondo Hadamazd)bempostoproblemaUn è se:

• Ammette soluzione;
• La soluzione unicar;è
• Dati.continua daidipendela soluzione manieza. in datipeatuabazioni

Problema ben condizionato

PROBLEMABENCONDIZIONATO: zisultati;"piccole"vaziazioni"piccole" suicozzispondonosuia l'ordine dell'escoze zisultatidi deve ugualegrandezzaimoltze sui essere odell' dati, deve amplificate.siconneimimoze eczoce commesso non vaziazioni zisultati."gzamdi"dati"piccol"pectuzbazioni coozispondonosui sui

Problema mal condizionato

MALCONDIZIONATO:PROBLEMA a malcondizionato,dell'intersezione quasiNel delle zette parallelezette, le problemail è secaso sonosedisegnate bemposto.problemametta figura, ilinvece primasono ècome bencondizionato malcondizionatostabilizePez calcolideibisogna effettuateproblemaN.B. se è oun

Esempio problema mal condizionato

MALCONDIZIONATOPROBLEMAESEMPIOz)(x E=-P(x,z): - G 0ax Ex =-+2x2DX2 0 ===18 2 2-18Dx x2E == =* -Pectuzbazione Pectubazione suisui ↓ noasvetati:dati:noLa no,diamplificata malposto.peatuabazione fattoze il problemaquindisi unè èz)(x·P(x) = - coincidentiP(x) ugualiazadici zealiha az -18°noiSepectubiamo R(x)=P(x)mototermine otteniamoil di modificatoP(x) da ilpetrabazionezadici hazeali:ha: 1,99 2,01z e zadici!zadici dellecomplesser: di appartenenza210,01:z. campo·

Caso due rette quasi parallele

CASO DUERETTE PARALLE:QUASIDELLEE 7,259 -3,449523726xr+61,5x2 = ESATA:XeSOLUZIONE =74,4843630,55x2 0,4545714251,5x = x2 =+E 7,259 -2,218222217ESATA:6x+61,5x2 SOLUZIONE X= =76,4061,5x1+630,6X2 0,334açac= x2 =D18 malposto fattore di amplificazioneproblemaERRORE DATINEIRELATIVO comD10° dell'ezzoze=104· RISULTATIERRORE NEIRELATIVO

Indice di condizionamento di un problema

PROBLEMADI UNCONDIZIONAMENTODIINDICEDetti:8 l'ezzoze datimei Icoccispondentel'ezzoze soluzione,nella&posto: 5 M8= deldetto condizionamentodi problema.indiceèM condizionato;benproblemail·Man è condizionato.problema malil·se èDi M8.del tipo:solito zelazionead 5pezvieneN.B. si =una

Esempio errore assoluto

ASSOLUTOERROREESEMPIO punto·Valutazione meldi funzionef x.una valutataaggetto di zoumdoff,daSe f in x+DX.è sazaezzocex f(x))xx)(f(xf(x))Quindi (f(xn)Dfx* Dxx = -e == -+ +L'eccoze dati dato dalla pectrebazionesui che inèèN.B. x f(x))↓'ezzoze f(x))(f(x) Dx)(f(xallaeisultati, diffezemzaDfugualesui invece, e =- -= +quantitàf(x+Dx)=f(x):dezivabileSe fà sviluppare lasecieinpossof(x)(x) R(X)xx)f(x f(x) R(Dx)einn= com+ 0++ =Ax- DO DXdi presentedell'eccoce assolutoQuimdi(/~)(x) fattoreDIf(x)) amplificazioneilè cappresenta di condizionamento assoluto.l'indicedati,Ma mei quindi-

Esempio errore relativo

ERRORERELATIVO)ESEMPIO 2 punto·Valutazione meldi funzionef x.una valutataaggetto di zoumdoff,daSe f in x+DX.è sazaezzocex f(x))xx)(f(xf(x))Quindi (f(xn)Dfx* Dxx = -e == -+ + quantitàf(x+Dx)=f(x):dezivabileSe fà sviluppare lasecieinposso comeR(Dx)f(x)DxAf = + 1g(x) dell'x)g(x) (9,x) difattoze=quimdi amplificazioneA ilx eccoceè=e ↓ 1f(x)|f(x) enene l'indicedati, zappresentaquimdicelativo presente meiI- MR di condizionamento zelativo.

Esercizio

ESERCIZIOCalcolace l'indice condizionamento Xdi della efunzione x eGpossiamo avvicimace adestra.solo da2: 12x1· x MA = 412x.x) 2 2Mr x= ==2x·r 1MA. = 25X-l caso:1teò", questoSupponiamo1 indi aveze x=XMR = .aulx - hox- - L'indice condizionamentodi che ci siCresce manomanavvicima 1.a hacondizionato dianalizzandoSe bentroviamoproblema indiail che momèN.B. un7 /o contometteredobbiamocondizionamento attomolto possiamo asolvezo, inoppurepropriomondi dall'ezzoce.dipendonoalaumepezdeze cheafee, 17103

Indice di condizionamento e stabilità

CONDIZIONAMENTODIINDICE (pdMd5 = condizionamento baseal del dell'possibile studiateoltre problema, laancheè ·ome ezzozepropag inaldell'algorall'algoritino questo stabilitàutilizzato, troparla diin sicaso IINSTABKESTABKEGORIMOA E l'eccoze instabile.limitalalgocitino attimenti dicemantiene siparla di stabileSi -sise S algoritmodizisolvereil malcondizionato,problema stabile,problemailSe si pensanze comè umnon può lamalcondizionato disoluzio problemaproblema peschezigoemulaz·omesi neim cercagemece umpe ununabemcondizionato.maecondizionato dacontana problemaquella delè

Risoluzione di un sistema lineare di equazioni

RISOLUZIONE DI LINEAREUN SISTEMA DIEQUAZIONI3beaumx=anxetQzxat +.... Nx(x)e,b(aien,x (bi)bcomAAxb2&zexetazzx2t.... +azmXn = === =ii ii bmammxamexetamzXzt.... = invertibile),simgolace/hadiLa detto edsistema Aesistesoluzione questo ed solounica è èse nonèaltamenti infinite soluzioni.sonoci quindi,Supponiamo, A simgolace.che è non

Sistema triangolare

TRIANGOLARESISTEMA beaanxe anzxztan3x3t... Xn=+ + bza23X3t... +azmXmazzx2 =+ b3+a3mxma33x3t =.............. ibrammXm = singolace,matzicePezzisolvere deve tuttilaquesto sistema dellateiangolace,quindi, nelessere non casoelementi diagonale devonogli sulla essere to SUBSTUTION/FORMULATRIANGOLARERISOLVERELAPERALGORIMO MATRICE BACKWARDDImatriceje della sceirezediagonale,sistema gemezale,im si come:puòbiaiixitaiteXit+...famXn=Goë: M bidijx5=aixit -ax5bi matematicamente pezie,valexi i= IithI = algoritmicamente valeai i m-1,=pez tuttimativadividere quindiSi la simgolace, gliaivaii perché stato suppostoN.B. èchepee èpuò non osono

Algoritmo backward substitution

ALGORIMO:(i) b(m)(asm,m);= Afoti m-r:-1:1 ai,s) X(5)= (i+*m) e:m)a);x(i) b(i); SUMATLABD it: x= / --fotj:it:m(i) a(i,5).x(5);x(i) x= -end x(i)/a(i,i);x(i) =end NUMERO VOLTEDIo INCUIVIENE ESECUTO:5 L'ALGORITMOEDELL'ALGORIMO: 2min1COSTO n -D 1:n2m m- - er3n ne&

Matrice triangolare superiore

TRIANGOLARESUPERIOREMATRICE arm913anzam ..... MATRICE SUPERIORE:TRIANGOLARE il5aijazz 0azm = pera23.... D13m&33 . . . . :.... am· . tziamgolaceStesso vale sistemadiscorso infezione.per un /FORMULA SUBSTITUTIONINFERIORETRIANGOLARE FORWARDDISISTEMA branxe =b2azzX2azexe + =b3033x3832x2&31x1 ++ =! ibiam3x3+...amexetamzx2 amm+ =+L'algoritmo triangolaze cambianosistemaquello il indicisolouguale glichesuperiore, iè ej:peza1:ii e1imej= = - ELa sommatoria diventa. biaiixi=invece aijxjt aixsL'inesimo elemento diventa, bi- i=,...minvece:xi=·x, comai

Matrice triangolare inferiore

INFERIOREMATRICETRIANGOLAREar it]INFERIORE:&22 TRIANGOLAREMATRICEaz ai5 pez0=*933.ababe: .! annamz an3....--amn PIENAMATRICE bearm913anzam ..... beazz azmalaz . . . . b313ma33d3zabe . . . .als.... :ânez ibran devoSe dimatricesistera sobstitutionsfruttare sobstitution,il fozwaedgemule backle ciduzzeha piena, epermatrice l'eliminazione dila Gauss.conCome sistema lineaterisolvere piemoun3x X2 GEs. =+ 1x 2x2 =--Riduzione scala:a bearm913anz Ram ..... beazz azm Rzalaz . . . . b313ma33 Rd3zabe . . . .i :·nas.... ibram Rink n=

Riduzione a scala e algoritmo di Gauss

PASSO K:k llir -= lini k= + l'elementotoze3 da ammullazealmumezamik c'è pirotl'elementodemominatore cozzispondenza sullaal zigac'è inakeRix-Ri-mikRKIn diventa:laseguito matrice Aalla scala,ziduzione aAl A=Al al alPASSOK deglipostodaleama13..... zighe chemodifico= 1,anzam zamprimo avannopasso alm,e= tuttiazz azm compaionoaes0 zezo.. . . . ----13ma33....0 d3z ICi :i Aei colonnasullaK-esimo K-esimaoperopasso- dall'elementoparticeL l'elementosottostaam cheanz....anz0 a K.--~ --Alz arm913..... alKPASSO chelasecondo zighemodifico daanzam 2,=- vannopasso am.3azz azmaes0 . . . . 13m0 a330 . . . .i :i ananz....② 0 ->MATRICEATTIVA (ALGORITMO GAuss):

Algoritmo per riduzione sistema lineare pieno

ALGORIMO PER DION LINEARE PIENORIDUZIONE SISTEMALA DIge eim -r=fozi=k+1:ma(i,)(a(k,k);m(,k) =%Rix m(,k).R(x)R(i)- -foj kim= a(i,j) a(k,j);m(i,)a(i,j) -=endb(i) b(k);b(i) m(i,)*= -endendIn algoritmo usandoquesto stiamo contienebidimensionale coefficienti delA, sistemache laiazzayum edell secondoinoltrealgoritmo, utilizzandoalla stiamomatrice finescalimi anchecidotta azzane una costituito moltiplicatoribidimensionale di ogniche daiè passo.S tutto algozitimo,zealtá, possibile ciducendoIm il delecosto solo chein quindimemorizzare unico azzay,unè leggibile.l