Appunti completi del corso di Metodi e modelli matematici

Università di Modena e Reggio Emilia

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Appunti di Metodi e Modelli Matematici

Autore: Docente: Filippo Viappiani Sergio Polidoro

Anno Accademico 2022/2023

Indice

• 1 Convergenza uniforme 1
• 1.1 Convergenza delle successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.1.1 Teoremi di passaggio al limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.2 Convergenza della serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.2.1 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 1.2.2 Serie di potenze in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2 Analisi complessa 19
• 2.1 Funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 2.2 Integrali di linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 2.2.1 Integrali di linea di funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 2.2.2 Serie di Laurent e residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• 3 Trasformata di Laplace 45
• 3.1 Teoremi dei limiti della trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 3.2 Teoremi della trasformata di operatori integro-differenziali . . . . . . . . . . 52
• 4 Serie e trasformata di Fourier 59
• 4.1 Interpretazione geometrica della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 4.1.1 Base ortonormale di uno spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 4.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 4.2.1 Convergenza della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 4.2.2 Esempi di calcolo di serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 4.2.3 Serie di Fourier in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 4.3 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 5 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine alle derivate parziali 72
• 5.1 Problema di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
• 5.1.1 Costruzione di una soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
• 5.2 Equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

I Convergenza uniforme

1 Convergenza uniforme

1.1 Convergenza delle successioni di funzioni

R C,nSia A un sottoinsieme di o di si definiscono le seguenti funzioniR C Nm→ ∈f : A oppure k (1)k R Cm→f : A oppure (2)

Si dice che la successione di funzione (f ) converge puntualmente alla funzione f per kk k∈Nche tende a infinito, se vale la seguente proposizioneN∈ |f − ∀k→ ⇔ ∀x ∈ ∀ε ∃k : (x) f (x)|< ε > kf f A > 0k kk→+∞

Si dice che la successione di funzione (f ) converge uniformemente alla funzione f per kk k∈Nche tende a infinito, se vale la seguente proposizioneN∈ |f − ∀k ∀x ∈⇔ ∀ε ∃k : (x) f (x)|< ε > k Af f > 0⇒ kk k→+∞

Dal punto di vista della scrittura, l’unica differenza tra la definizione di convergenza puntuale∀x ∈e di convergenza uniforme è la posizione del blocco A all’interno della proposizione.

Dal punto di vista operativo questo implica che, nella convergenza puntuale, il k che rendevera la proposizione dipende da x e da ε mentre, nella convergenza uniforme, k dipende soloda ε.

La definizione di convergenza uniforme si può riscrivere in maniera equivalente, togliendoil valore assoluto, nel seguente modoN∈ − ∀k ∀x ∈⇔ ∀ε ∃k : f (x) ε < f (x) < f (x) + ε > k Af f > 0⇒ kk k→+∞

Che dal punto di vista grafico si può rappresentare come seguef + εfk−f ε

Inoltre, è banale la seguente affermazione 1Convergenza uniformeProposizione 1. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale⇒ →f f f f (3)⇒k k k→+∞k→+∞

Infine, la nozione di convergenza uniforme è equivalente alla seguente proposizione⇔ |f −f f lim sup (x) f (x)|= 0⇒k kk→+∞k→+∞ x∈A

Esempio 1

Esempio 1. Si verifichi la convergenza uniforme della seguente successione di funzioniR→(f ) : [0, 1] (4)k k∈N k −f = x (1 x) (5)k

Per individuare una funzione f candidata a essere il limite della convergenza uniforme, sicalcolino alcuni limiti puntuali k≤ − →se 0 x < 1 f (x) = x (1 x) 0 (6)k k→+∞→se x = 1 f (x) = 0 0 (7)k k→+∞

Quindi o la successione (f ) converge uniformemente a f = 0 oppure non converge. Sik k∈Nverifichi la convergenza uniforme mediante l’equazione 3k k|x − − −sup (1 x) 0|= sup x (1 x)x∈[0,1] x∈[0,1]k

Siccome la funzione x (1−x) è una funzione continua ed è definita su un insieme compatto, peril teorema di Weierstrass ammette massimo e tale massimo coincide con l’estremo superioredella funzione. k k− −sup x (1 x) = max x (1 x)x∈[0,1]x∈[0,1]

Siccome la funzione negli estremi dell’intervallo è nulla mentre nei punti interni è positivi, ilmassimo si troverà fra questi ultimi e per trovarlo è sufficiente il teorema di Fermat′k k k+1 k−1 k k−1 − − ⇒ − − −f (x) = x (1 x) = x x f (x) = kx (k + 1)x = x (k 1) k (k + 1)xk k

La derivata si annulla per i seguenti punti k∨x =0 x = k +1

Siccome il punto x = 0 è stato scartato, si calcola la funzione nel secondo punto per trovarneil massimo k k k k k k 1−f = 1 =k k +1 k +1 k +1 k +1 k +1

Quindi si è trovato k 1kk −max x (1 x) = k +1 k +1x∈[0,1] 2 Convergenza uniforme

Per verificare la condizione di convergenza uniforme, tale quantità deve tendere a zero per kche tende a infinito k k 1 1 1lim = lim =0k +1 k +1 e k + 1k→+∞ k→+∞

La condizione di convergenza uniforme è verificata quindif 0⇒k k→+∞

Esempio 2

Esempio 2. Si verifichi la convergenza uniforme della seguente successione di funzioniR R→(f ) : (8)k k∈N kxf = (9)k 2 2k x +1

Per individuare una funzione f candidata a essere il limite della convergenza uniforme, sicalcolino alcuni limiti puntuali kx̸ →se x = 0 f (x) = 0 (10)k 2 2k x + 1 k→+∞→se x = 0 f (x) = 0 0 (11)k k→+∞

Quindi o la successione (f ) converge uniformemente a f = 0 oppure non converge. Sik k∈Nverifichi la convergenza uniforme mediante l’equazione 3|f − |f − |fsup (x) f (x)|= sup (x) 0|= sup (x)|k k kx∈R x∈R x∈R

Siccome la funzione è dispari, si può restringere lo sguardo solo agli x non nulli|f |fsup (x)|= sup (x)|= sup f (x)k k kx≥0 x≥0x∈R

In analogia con quanto visto in precedenza, l’estremo superiore della funzione è equivalenteal suo massimo, trovabile con il teorema di Fermat2 2 3 2−kx k(k x + 1) 2k x k′ 2 2⇒ −f (x) = f = (1 k(x) = x )k k2 2 2 2 2 2 2 2k x + 1 (k x + 1) (k x + 1)

La derivata si annulla solo nel punto 1±x = k

Se si calcola la funzione nel punto si ottiene 1 1f =k k 2

Si è trovato che 1sup f (x) = max f (x) =k k 2x≥0x≥0che non tende a zero quando k tende a infinito, quindi la successione (f ) non ammettek k∈Nconvergenza uniforme. 3Convergenza uniforme

Esempio 3

Esempio 3. Si verifichi la convergenza uniforme della seguente successione di funzioniR R→(f ) : (12)k k∈N 1f = (13)k − 2(x k) + 1

Si individui il candidato limite con un limite puntuale1 → 0se x = 0 f (x) =k 2k + 1 k→+∞

Quindi o la successione (f ) converge uniformemente a f = 0 oppure non converge. Sik k∈Nverifichi la convergenza uniforme mediante l’equazione 31 11|f −sup (x) f (x)|= sup = max= supk − − −2 2 2(x k) + 1 (x k) + 1 (x k) + 1x∈Rx∈R x∈R x∈R

Si proceda allo studio della derivata  > 0 se x < k−2(x − k) ′f (x) = = 0 se x = kk 2− 2(x k) + 1  < 0 se x > k

Quindi il punto x = k è il punto di massimo; perciò si ottiene1 = f (k) = 1= max k− 2(x k) + 1x∈Rche non tende a zero quando k tende a infinito, quindi la successione (f ) non ammettek k∈NR.convergenza uniforme in R,

Siccome l’estremo superiore della funzione è sempre uno, se si guarda tutto forse re-stringendo lo sguardo a un altro insieme si riesce a dimostrare la convergenza uniforme.

Per esempio si valuti la convergenza uniforme nell’intervallo (−∞, 0].

Siccome k è sempre positivo, nell’intervallo (−∞, 0], la funzione f è certamente semprekcrescente, quindi 11|f − = f (0) =sup (x) f (x)|= max kk − 2 2(x k) + 1 k + 1x∈(−∞,0]x∈(−∞,0]che tende a zero quando k tende a infinito, quindi in questo intervallo la successione difunzioni converge uniformemente a zero.

1.1.1 Teoremi di passaggio al limite

RTeorema 1. Sia I un intervallo di e siano f , f e g tre funzioni definite come seguek R N→ ∈f : I k (14)k R→f : I (15)R→g : I (16)

Valgono le seguenti implicazioni 4 Convergenza uniforme

• 1. Se f è continua per ogni k naturale ed (f ) converge uniformemente a f , allorak k k∈Nanche f è continua.
• 2. Se f è integrabile secondo Riemann per ogni k naturale, I è un intervallo compattokdi estremi a e b ed (f ) converge uniformemente a f , allora anche f è integrabilek k∈Nsecondo Riemann e vale b bZ Zf (x)dx = lim f (x)dxkk→+∞a a ′1∈
• 3. Se f C (I) per ogni k naturale, (f ) converge puntualmente a f ed (f )k k k∈N k∈Nk1∈converge uniformemente a g, allora anche f C (I) e vale′ ∀x ∈f (x) = g(x) I

Dimostrazione del primo punto

DimostrazionePrimo punto Sia x un punto qualsiasi di I, si verifichi che f è continua in x , ovvero che0 0valga la seguente proposizione∀ε ∃δ(ε) ∀x ∈ |x − |< |f −> 0 : I : x δ si ha (x ) f (x)|< ε0 0

Siccome la distanza fra f (x ) ed f (x) deve essere minore di qualunque numero positivo ε0scelto, deve essere vera anche per 3ε∀ε ∃δ(ε) ∀x ∈ |x − |< |f −> 0 : I : x δ si ha (x ) f (x)|< 3ε0 0

Si consideri la seguente quantità|f − |f − − −(x ) f (x)|= (x ) f (x ) + f (x ) f (x) + f (x) f (x)|0 0 k 0 k 0 k k

Per la disuguaglianza triangolare si può scrivere|f − |f − − −(x ) f (x)|≤ (x ) f (x )|+|f (x ) f (x)|+|f (x) f (x)| (17)0 0 k 0 k 0 k k

Dall’ipotesi secondo la quale (f ) converge uniformemente a f si hak k∈N N⇔ ∀ε ∃k ∈ |f − ∀k ∀y ∈f f > 0 : (y) f (y)|< ε > k I⇒k kk→+∞

Sostituendo nella disequazione 17 si ottiene|f − |f −(x ) f (x)|≤ 2ε + (x ) f (x)|0 k 0 k

Scelto k = k + 1 e dall’ipotesi che f sia continua per ogni k naturale, si ha chek∃δ |f − ∀x ∈ |x − |<> 0 : (x ) f (x)|< ε I : x δk 0 k 0

Quindi |f − ∀x ∈ |x − |<(x ) f (x)|≤ 3ε I : x δ0 05Convergenza uniforme

Dimostrazione del secondo punto

Secondo punto Non verrà dimostrato che f è integrabile in [a, b] ma solo che valeb bZ Zf (x)dx = lim f (x)dxkk→+∞a a

Si consideri la seguente quantitàb b b bZ Z Z Z− − ≤ |f −f (x)dx f (x)dx = [f (x) f (x)]dx (x) f (x)|dxk k ka a a a

|f −L’ultima quantità rappresenta l’area sottesa alla funzione (x) f (x)| nell’intervallo [a, b]kche è sicuramente minore o uguale dell’area del rettangolo che ha come base lo stesso intervalloe come altezza l’estremo superiore della funzione in [a, b]bZ |f − ≤ − |f −(x) f (x)|dx (b a) sup (y) f (y)|k ky∈(a,b)a

Siccome (f ) converge uniformemente a f , dall’equazione 3 si hak k∈N |f − →sup (y) f (y)| 0k k→+∞y∈(a,b)

Quindi si ha bb ZZ →− 0f (x)dxf (x)dxk k→+∞aae allora bb ZZ → f (x)dxf (x)dxk k→+∞ aa

Dimostrazione del terzo punto

1∈ ∈Terzo punto Siano x, x I, poiché f C (I) per ogni k naturale, per il teorema0 kfondamentale del calcolo integrale si ha xZ ′f (t)dtf (x) = f (x ) +k k 0 kx 0

′Siccome (f ) converge puntualmente a f ed (f ) converge uniformemente a g, passandok k∈N k∈Nkal limite per k che tende a infinito si ottiene xZf (x) = f (x ) + g(t)dt0 x 0

Allora per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha′ ∀x ∈f (x) = g(x) I

Per la trattazione dei prossimi argomenti, sarà utile la nozione di successione di Cauchy.6 Convergenza uniforme

Una successione (a ) di valori reali soddisfa la condizione di Cauchy se vale la seguentek k∈Nproposizione N N∀ε ∃k ∈ |a − |< ∀k, ∈> 0 : a ε m k > kk+m k

In particolare, per le successioni di Cauchy vale la seguente proposizioneProposizione 2. Una successione rispetta la condizione di Cauchy se e solo se converge⇔(a ) è di Cauchy (a ) convergek k∈N k k∈N

Teorema 2 del passaggio al limite

C RnTeorema 2 (del passaggio al limite). Sia A un sottoinsieme di oppure , x un punto0di accumulazione di A e siano f ed f due funzioni definite come seguek R C Nm→ ∈f : A oppure k (18)k R Cm→f : A oppure (19)tali che (f ) converga uniformemente a f e che ogni f tenda a un opportuno l quandok k∈N k kx tende a x .0

Allora esiste l tale per cui l = lim l = lim f (x)k kk→+∞ k→+∞

Dimostrazione L’enunciato del teorema scritto in forma intuitiva è il seguente lim lim f (x) = lim lim f (x)k kx→x x→xk→+∞ k→+∞0 0

Si dimostri che la successione (l ) soddisfa la condizione di Cauchy, ovverok k∈NN N∈ |l − |< ∀k, ∈∀ε ∃k : l ε m k > k> 0 k+m k

Come visto in precedenza, se la condizione deve valere per qualunque ε, deve essere veraanche per 4ε N N∀ε ∃k ∈ |l − |< ∀k, ∈> 0 : l 4ε m k > kk+m k

Si consideri la quantità|l − |= |l − − − − |l f (x) + f (x) f (x) + f (x) f (x) + f (x) lk+m k k+m k+m k+m k k k

Applicando la disuguaglianza triangolare si ottiene|l − |≤ |l − − − − |l f (x)|+|f (x) f (x)|+|f (x) f (x)|+|f (x) lk+m k k+m k+m k+m k k k

Poiché (f ) converge uniformemente a fk k∈N N∃k ∈ |f − ∀x ∈ ∀k: (x) f (x)|< ε A > kk 7Convergenza uniforme

Poiché ogni f tende a l quando x tende a xk k 0∃δ |f − |< ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 : (x) l ε A x δ (20)k k k 0 0 k

∃δ |f − |< ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 : (x) l ε A x δ (21)k+m k+m k 0 0 k+m

Quindi, se si sceglie x tale da verificare tutte e due le condizioni precedenti|x − |< }x min{δ , δ0 k k+msi ottiene N|l − |< ∀k, ∈l 4ε m k > kk+m k

Ne segue che la successione (l ) sia convergentek k∈N C∃l ∈ : l = lim lkk→+∞

Ora si deve dimostrare che f tende a l quando x tende a x , ovvero0∀ε ∃δ |f − ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 > 0 : (x) l|< ε A x δ0 0

Nuovamente, se la condizione deve valere per qualunque ε, deve essere vera anche per 3ε∀ε ∃δ |f − ∀x ∈ − {x } |x − |<> 0 > 0 : (x) l|< ε A x δ0 0

Si consideri la quantità|f − |f − − − |f − − −(x) l|= (x) f (x) + f (x) l (x) + l l|≤ (x) f (x)|+|f (x) l (x)|+|l l|k k k k k k k k

Poiché (f ) converge uniformemente a f si ha chek k∈N N∈ |f − ∀x ∈ ∀k∃k : (x) f (x)|< ε A > kk

Poiché (l ) converge a lk k∈N N∃k ∈ |l − &foral