Appunti completi del corso di Fisica 1

Università di Modena e Reggio Emilia

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Appunti di Fisica Generale I

Autore: Filippo Viappiani

Docente: Sergio D’Addato

Anno Accademico 2021/2022

Indice

• 1 Cinematica 1
• 1.1 Moto rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.2 Derivata di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.2.1 Derivata di un versore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.3 Moto nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.3.1 Moto circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.3.2 Moto parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.4 Sistemi di riferimento fissi e mobili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.4.1 Moto di trascinamento per pura traslazione . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.4.2 Moto di trascinamento per pura rotazione . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 2 Dinamica 13
• 2.1 Principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 2.1.1 Primo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 2.1.2 Secondo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 2.1.3 Terzo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2.2 Forze d’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2.2.1 Forze d’attrito radente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 2.2.2 Forza di attrito viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.3 Esempi di moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.3.1 Moto del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.3.2 Forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.4 Sistemi non inerziali e forze apparenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 2.4.1 Equazione del moto di trascinamento per pura traslazione . . . . . . 18
• 2.4.2 Equazione del moto di trascinamento per pura rotazione . . . . . . . 18
• 2.5 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 2.5.1 Lavoro della forza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 2.5.2 Lavoro forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 2.5.3 Lavoro della forza d’attrito radente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 2.5.4 Teorema del lavoro e dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 2.5.5 Forze di tipo conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 2.5.6 Funzione energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 2.5.7 Energia potenziale della forza peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 2.5.8 Energia potenziale della forza elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 2.5.9 Principio di conservazione dell’energia meccanica . . . . . . . . . . . 26
• 2.6 Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 2.6.1 Momento di una forza rispetto a un polo . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 2.6.2 Momento di una forza rispetto a un asse . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 2.6.3 Momento di inerzia o momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 2.6.4 Conservazione del momento della quantità di moto . . . . . . . . . . 29
• I
• 3 Sistemi di punti materiali 31
• 3.1 Prima equazione cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 3.2 Seconda equazione cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 3.3 Sistema di riferimento del centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 3.3.1 Teorema di König per il momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 3.3.2 Teorema di König per l’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 3.4 Teorema dell’energia cinetica per i sistemi di particelle . . . . . . . . . . . . 37
• 3.5 Sistemi di forze applicati in punti diversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 3.5.1 Coppia di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 3.5.2 Sistema di forze parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 4 Corpi rigidi 41
• 4.1 Moto di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 4.1.1 Moto di traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 4.1.2 Moto di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 4.2 Momento di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 4.2.1 Calcolo momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 4.3 Equilibrio del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 4.3.1 Corpo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 4.3.2 Corpo vincolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 4.4 Moto di rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 4.4.1 Forza motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 4.4.2 Momento motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 4.4.3 Moto di rotolamento su piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 4.5 Leggi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 4.5.1 Conservazione della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 4.5.2 Conservazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 5 Urti 61
• 5.1 Urto perfettamente anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 5.2 Urto elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 5.3 Urto anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 6 Onde e oscillazioni 67
• 6.1 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
• 6.1.1 Oscillatore armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
• 6.1.2 Oscillatore armonico semplice forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
• 6.2 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 6.2.1 Smorzamento forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 6.2.2 Smorzamento critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 6.2.3 Smorzamento debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 6.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 6.3.1 Risposta in funzione di ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
• II
• 7 Gravitazione 73
• 7.1 Forza centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
• 7.1.1 Momento delle forze centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
• 7.1.2 Velocità areale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 7.2 Forza gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 7.2.1 Leggi di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 7.2.2 Energia potenziale gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• 7.3 Campo gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• III

Cinematica

1 Cinematica

La branca della fisica che si occupa della descrizione del moto dei corpi prende il nome di cinematica.

Per semplicità si studia il moto del punto materiale, ovvero un corpo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle dell’ambiente in cui si trova ma con massa m.

Il moto di un corpo è noto quando, una volta scelto il sistema di riferimento, si conosce il valore delle sue coordinate, rispetto a quel sistema di riferimento, nel tempo.

L’insieme di tutti i punti che il corpo occupa nello spazio al passare del tempo è detta traiettoria.

Le grandezze fondamentali della cinematica sono

• 1. Posizione, indica quanto dista il punto materiale dall’origine e il valore delle proprie coordinate rispetto al sistema di riferimento scelto.
• 2. Velocità, definita come la derivata prima della posizione rispetto al tempo, indica come varia la posizione nel tempo.
• 3. Accelerazione, definita come la derivata prima della velocità rispetto al tempo, indica come varia la velocità nel tempo.

1.1 Moto rettilineo

Un punto materiale si muove di moto rettilineo quando la sua traiettoria giace su una retta.

Per descrivere questo tipo di movimento è sufficiente conoscere il valore di una sola coordinata, poiché il movimento è solo un asse.

O P x x(t)

La posizione x(t) può essere rappresentata graficamente in un diagramma orario prendendo come variabile indipendente il tempo t.

x t t t t0 1 2 3

1 Cinematica

La velocità è definita come la derivata della posizione.

tZ′ ⇒ − v(t)dt v(t) = x (t) x(t) x = 0 t0

Analogamente, l’accelerazione è definita come la derivata della velocità.

tZ′ ⇒ − a(t)dt a(t) = v (t) v(t) v(t ) = 0 t0

Se la velocità è costante, il moto si dice rettilineo uniforme e le equazioni precedenti si semplificano in ′ ⇒ − − v(t) = x (t) = v x(t) x(t ) = v(t t ) (1)0 0 ′ a(t) = v (t) = 0 (2)

Se l’accelerazione è costante, il moto si dice rettilineo uniformemente accelerato e le sue equazioni sono ′ ⇒ − − a(t) = v (t) = a v(t) v(t ) = a(t t ) (3)0 0 t 1Z′ 2⇒ − − − v(t) = x (t) = v x(t) x(t ) = v(t)dt = a(t t ) + v(t )(t t ) (4)0 0 0 02t0

Un esempio di moto rettilineo uniformemente accelerato è il moto di un oggetto in caduta libera da un altezza h trascurando la forza di attrito.

x h −g O

Si noti che l’oggetto al tempo t = 0 è fermo all’altezza h e che l’accelerazione è negativa poiché è opposta al verso dell’asse scelto; si sceglie di prendere l’origine dell’asse dei tempi per t = 0.

′ −g ⇒ −gt a(t) = v (t) = v(t) = (5)

t 1Z 2− ⇒ − x(t) h = v(t)dt x(t) = h gt (6)2t0 (7)

2 Cinematica

Se si considera il tempo t come il tempo di caduta, esso è il valore che risolve l’equazione c s 2h⇒ x(t ) = 0 t = c c g

Se si definisce la velocità v come la velocità con la quale il corpo arriva al suolo essa sarà c p− v = v(t ) = 2gh c c

Se il corpo, invece di partire da fermo, all’istante iniziale ha una velocità v diversa da 0 i ′ −g ⇒ − a(t) = v (t) = v(t) = v gt (8)i t 1Z 2⇒ −− v(t)dt x(t) = x(t) h = gt + v t + h (9)i 2t0

Procedendo analogamente per trovare t e vc c s 2 2h vvi i⇒ + + (10) x(t ) = 0 t = c c 2g g g q 2− v = v(t ) = v + 2gh (11)c c i

Si definisce t come il tempo per cui la posizione ha un massimo, ovvero dove la velocità è M pari a 0 v i⇒ v(t ) = 0 t = M M g

Analogamente l’altezza massima raggiunta x sarà pari alla posizione x(t) calcolata al tempo M tM 2vi x = x(t ) = M M 2g

Infine se l’accelerazione è proporzionale allo spostamento con una costante di proporzionalità negativa, il moto assume il nome di armonico e la posizione x(t) diventa la soluzione di un’equazione differenziale omogenea del secondo ordine.

p p ′′ |k|t |k|t −|k|x(t) ⇒ + c cos a(t) = x (t) = x(t) = c sin 211.

1.2 Derivata di un vettore

Sia w(t) un vettore che varia in funzione del tempo. Esso può essere scritto come prodotto del suo modulo w(t) con il versore u(t) che indica la sua direzione.

w(t) = w(t)u(t)

La derivata di tale vettore è uguale, secondo le regole di derivazione del prodotto, alla somma di due vettori così composti.

′ ′ ′ w (t) = w (t)u(t) + w(t)u (t)

3 Cinematica

ovvero, il primo che dipende dalla variazione del modulo del vettore iniziale, mentre il secondo è legato alla rotazione del versore.

Mentre nel primo addendo figura una derivata di uno scalare, nel secondo è presente la derivata di un versore.

1.2.1 Derivata di un versore

Si noti che il versore u(t), per definizione ha modulo unitario e quindi il prodotto scalare di u(t) con sé stesso è ancora unitario.

· u(t) u(t) = 1

Allora, la derivata di quel prodotto scalare deve essere pari alla derivata di 1, ovvero 0.

· d u(t) u(t) = 0 (12) dt

′ ′· · u (t) u(t) + u(t) u (t) = 0 (13)

′ · 2u (t) u(t) = 0 (14)

Ne consegue che un versore e la sua derivata sono sempre ortogonali fra loro.

Quindi la derivata del versore u(t) è un vettore che può essere scritto come ′ ′ u (t) = u (t) n(t) dove n(t) rappresenta un versore che individua la direzione perpendicolare a quella di u(t).

Resta solo da calcolare il modulo del vettore derivata di u(t).

∆u(t) u(t) u(t + ∆t) ∆φ(t)

La derivata del versore u(t) è definita come il limite per ∆t che tende a 0 del rapporto fra ∆u e ∆t.

∆u(t)′ u (t) = lim ∆t ∆t→0

4 Cinematica

Se si scelgono ∆t e ∆φ(t) positivi si può trovare il modulo di ∆u(t) in funzione di ∆φ(t) come la base di un triangolo isoscele.

∆φ(t)|∆u(t)| = 2 sin (15)2 ∆u(t)|∆u(t)| ∆φ(t)= (16) ∆t ∆φ ∆t ∆φ(t) sin ∆φ(t)2 (17)= ∆φ(t) ∆t2 → →

Considerando che se ∆t 0 allora anche ∆φ 0 si può riscrivere la definizione di derivata in modo da trovare il risultato.

∆u(t)′ u (t) = lim (18) ∆t ∆t→0 ∆u(t)′ u (t) = lim (19) ∆t ∆t→0 ∆φ(t) sin ∆φ(t)2 (20)= lim ∆φ(t) ∆t ∆φ(t)→0 2 ∆φ(t) ′ = lim = φ (t) (21) ∆t ∆φ(t)→0

In conclusione si è trovato che ′ ′ u (t) = φ (t)n(t)

1.3 Moto nel piano

Per descrivere il movimento di un punto materiale nel piano è necessario conoscere come varia nel tempo una coppia di valori.

5 Cinematica y P (t) r(t) sin θ(t) )t(r x θ(t) r(t) cos θ(t)

Si possono conoscere le coordinate polari, ovvero la coppia r(t), θ(t) oppure le coordinate cartesiane, rappresentate da r(t) cos θ(t), r(t) sin θ(t).

1.3.1 Moto circolare

Un corpo che si muove lungo una circonferenza, si dice che sia in moto circolare.

Per studiare con più semplicità questo moto, si definiscono la posizione, velocità e accelerazione angolare in analogia con quanto visto nel moto rettilineo.

La posizione angolare θ(t) è definita come l’angolo in radianti che il vettore posizione forma con il verso positivo dell’asse x.

La velocità angolare ω(t) è definita come la derivata prima della posizione angolare.

tZ′ ⇒ − ω(t) = θ (t) θ(t) θ(t ) = ω(t)dt0 t0

L’accelerazione angolare α(t) è definita come la derivata prima della velocità angolare.

tZ′ ⇒ − α(t) = ω (t) ω(t) ω(t ) = α(t)dt0 t0

Analogamente a quanto visto nel moto rettilineo, la velocità lineare del corpo che percorre una circonferenza è pari alla derivata rispetto al tempo del vettore posizione.

r(t) = r(t)u(t) (22)

′ ′ ′ ′ ′ v(t) = r (t) = r (t)u(t) + u (t)r(t) = r (t)u(t) + θ (t)r(t)n(t) (23)

′ = r (t)u(t) + ω(t)r(t)n(t) (24)

6 Cinematica

Visto che il corpo si muove sempre lungo la stessa circonferenza, il modulo del vettore r(t) rimane costante e quindi la sua derivata risulta nulla.

v = rω(t)n(t)

In conclusione, la velocità lineare è un vettore perpendicolare al vettore posizione, e di conseguenza alla traiettoria, ed è proporzionale al raggio della circonferenza percorsa e alla velocità angolare.

Nel moto circolare è anche possibile definire l’accelerazione lineare come la derivata della velocità lineare rispetto al tempo.

′ ′ ′ 2 − a(t) = v (t) = r ω (t)n(t) + ω(t)n (t) = rα(t)n(t) rω (t)u(t)

ovvero la somma di una componente parallela alla velocità e proporzionale al raggio e all’accelerazione angolare e di una componente che punta verso il centro della circonferenza ed è proporzionale al raggio della circonferenza e al quadrato della velocità angolare.

Spesso quest’uguaglianza viene scritta rinominando i coefficienti delle due componenti.

− a(t) = a n(t) a u(t) T R dove a prende il nome di accelerazione tangenziale e a quello di accelerazione centripeta. T R

Se la velocità angolare è costante, il moto prende il nome di circolare uniforme.

La posizione angolare θ(t) è una funzione di primo grado del tempo, mentre l’accelerazione angolare α(t) è nulla, visto che è la derivata di una costante.

θ(t) = ωt + θ(t ) (25)0 α(t) = 0 (26)

La velocità lineare v(t) è anch’essa costante in modulo e pari a v(t) = rωn(t)

L’accelerazione lineare a(t) è costante in modulo e pari a 2−rω a(t) = u(t)

Si noti che nel moto circolare uniforme, l’accelerazione lineare è puramente centripeta.

1.3.2 Moto parabolico

Supponiamo che un corpo parta dall’origine di un sistema di riferimento cartesiano con una velocità iniziale v inclinata di un certo angolo θ rispetto all’orizzontale. 0

Se si trascura ogni tipo di attrito il corpo si muoverà di moto parabolico, ovvero la composizione di un moto rettilineo uniforme lungo x e un moto rettilineo uniformemente accelerato.

7 Cinematica

Lungo y.

In particolare, lungo la verticale il moto è del tutto analogo al moto di caduta di u