Appunti Analisi matematica - parte 3

ANALISI MATEMATICA 1

Parte 3 di 3

Equazioni differenziali e più

variabili

Problemi di Cauchy • curve • gradienti • Hessiano • campi vettoriali • potenziali

Guida ai contenuti

01 Equazioni differenziali del primo ordine

02 Equazioni lineari del secondo ordine

03 Curve e integrali curvilinei scalari

04 Derivate parziali, gradiente e differenziabilità

05 Hessiano ed estremi in due variabili

06 Campi vettoriali, lavoro e potenziali

Come usare il riassunto

Ogni scheda raccoglie le definizioni essenziali, le ipotesi dei teoremi, le formule operative e

uno o più esempi svolti. Prima di applicare una regola, controlla il dominio e le condizioni che la

rendono valida.

Nota sul contenuto

Sintesi originale di ripasso degli argomenti presenti nella raccolta

“Analisi_Matematica_1_Domande_Risposte_Unico.pdf” del 9 novembre 2026 (lezioni disponibili 004–078). Non

riproduce il questionario né le dispense. Gli esempi sono sviluppati per spiegare i metodi; non costituisce una

copertura delle lezioni successive non presenti nella raccolta.

Analisi Matematica 1 · Riassunti · Parte 3 1

PARTE 3 / SCHEDA 01

Equazioni differenziali del primo

ordine

Soluzioni e problemi di Cauchy

Un’equazione differenziale lega una funzione incognita alle sue derivate; l’ordine è quello della

derivata più alta presente. Una soluzione deve essere sufficientemente derivabile su un

intervallo e verificare l’equazione in ogni suo punto. Un problema di Cauchy aggiunge valori

iniziali nello stesso punto: per il primo ordine, y(t₀)=y₀.

Esistenza e unicità locale

Per y'=f(t,y), se f è continua e localmente lipschitziana rispetto a y in un intorno del dato

iniziale, esiste un’unica soluzione locale. La continuità di ∂f/∂y è una condizione sufficiente per

la proprietà lipschitziana locale. La sola continuità di f non garantisce l’unicità; il teorema

locale non assicura che la soluzione esista per tutti i tempi.

Variabili separabili: y′=a(t)b(y) ⇒ ∫dy/b(y)=∫a(t)dt.

Lineare: y′+p(t)y=q(t), μ(t)=e^(∫p(t)dt),

(μy)′=μq ⇒ y=[∫μq dt+C]/μ.

Esempi svolti

Per y'=2y cos t e y(0)=2, la soluzione è y=2e^(2 sin t). Si verifica derivando e imponendo il

dato. Per y'+2y=eᵗ, moltiplicare per e^(2t): (e^(2t)y)'=e^(3t). Ne segue y=eᵗ/3+Ce^(−2t). La

costante si trova dal valore iniziale.

Soluzioni perse e intervalli

Dividere per b(y) può far perdere le soluzioni costanti che annullano b: vanno controllate

separatamente. Per y'=y/t il campo non è definito in t=0; y=Ct risolve l’equazione su ciascun

intervallo che non attraversa zero. Un’espressione prolungabile oltre una singolarità non è

automaticamente una soluzione del problema originale lì.

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PARTE 3 / SCHEDA 02

Equazioni lin